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1、3 二元函数的连续性,一、二元函数的连续性,二、有界闭区域上二元连续函数的性质,定义2,一 二元函数的连续性概念,设 z=f(X)=f(x,y),在区域D上有定义.,则称 f(X)在 X0 连续,X0 称为 f(X)的连续点.,否则称 f(X)在 X0 间断,X0 称为 f(X)的间断点.,X=(x,y)D,X0=(x0,y0)D,1.二元函数连续的概念,若 f(X)在 D 上每一点都连续,则称 f(X)在 D 上连续,记为 f(X)C(D).,易知,例2中 f(x,y)在(0,0)间断(极限不存在),每一点都间断.,注,1.二元函数 f(X)在 X0 连续必须满足三个条件.在 X0 有定义,
2、在 X0 的极限存在,两者相等,2.多元连续函数的和,差,积,商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.,定义可推广到三元以上函数中去.,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,2.连续函数性质：,（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为）都是连续函数；,例1 求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,例2,解,解,取,故函数在(0,0)处连续.
3、,当 时,例4 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,3.多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.,所谓多元初等函数是指以 x,y,z,为自变量的基本初等函数 f(x),(y),g(z),以及常函数,经有限次四则运算和复合所构成的函数.,如 f(x)=exy sin(x2+y),=e0 sin0=0.,4.二元连续函数的几何意义:,定义在区域 D 上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有 空洞,没有 裂缝 的连续曲面.,这里条件 D 是一区域 是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续
4、曲面.,例.设 D=(x,y)|x,y 均为有理数 R2.z=f(x,y)是定义在 D 上的,在 D 上恒等于1,在别的点上无定义的函数,即,f(x,y)=,1,当(x,y)D时,无定义,当(x,y)D时.,如图,可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意义下的连续曲面.,二 有界闭区域上二元连续函数的性质,性质1.,性质2.,思考:,若 在某一区域 内对变量 为连续，对变量 满足李普希兹条件，即对任何有其中 为常数，则此函数在 内连续。,证明,因为 对变量 连续，所以,使得当 时，,取,当 时，,小结,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,多元函数的定义,
