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1、Outline,一、描述性统计二、随机数的生成三、参数假设检验四、正态性检验*五、方差分析六、回归分析,一、描述性统计,直方图均值标准差 偏度峰度,1.直方图(histogram),hist(x),hist(x,m),histfit(x,m)%带正态拟合的直方图,2.描述性统计量,mean(x)%均值,std(x)%标准差,median(x)%中位数,sort(x)%顺序统计量,sum(x)%和,var(x)%方差,kurtosis(x)%峰度，正态是3,skewness(x)%偏度，正态是0,二、随机数(random number),均匀分布随机数正态分布随机数指数分布随机数卡方分布随机数
2、t分布随机数 F分布随机数离散分布随机数,1.均匀分布的随机数,rand(n)%0,1区间上,rand(m,n)%0,1区间上,unifrnd(a,b,m,n)%a,b区间上,2.正态分布的随机数,randn(n)%N(0,1),randn(m,n)%N(0,1),normrnd(a,b,m,n)%N(a,b2),或等价地，x=randn(m,n);x=a+b*x,3.指数分布的随机数,exprnd(lambda)%1个随机数,exprnd(lambda,m,n),4.卡方分布的随机数,chi2rnd(df),chi2rnd(df,m,n),5.t分布的随机数,trnd(df),trnd(df
3、,m,n),6.F分布的随机数,frnd(df1,df2),frnd(df1,df2,m,n),7.二项分布的随机数,binornd(N,p),binornd(N,p,m,n),8.Poisson分布的随机数,poissrnd(lambda),poissrnd(lambda,m,n),9.离散型分布的随机数,以标准的均匀分布U作为模拟变量,若 U 0.20,则X值x1;若0.20U 0.35,则X值x2;若0.35U 0.60,则X值x3;若0.60U 1,则X值x4.,clearn=5000;for i=1:n u=rand(1);if u=0.2 x(i)=1;elseif u=0.35
4、x(i)=2;elseif u=0.6 x(i)=3;else x(i)=4;endend%sum(x=1)/n,三、单样本与两样本的t检验,单样本的t检验两样本的t检验检验的水平检验的功效（势）,1.单样本的t检验,设总体的分布为，从总体中抽取容量为n的样本，要检验的问题是,设总体的方差未知，则使用的是单样本t检验：,取检验的水平为，则检验的拒绝域为：,clearn=20;mu0=0;x=randn(1,n);%样本观测值xbar=mean(x);s=std(x);t=sqrt(n)*(xbar-mu0)/s;if abs(t)2.093%2.093是临界值 c=1;else c=0;end
5、c,例：,h=ttest(x,mu0)%x是样本;%muo缺省时为0;%h输出值0和1，分别表示接受和拒绝H0.,单样本t检验的Matlab实现：,h,sig,ci,stats=ttest(x,mu0,alpha,tail)%alpha:显著性水平,缺省时为0.05.%tail:取0表示双侧检验(可缺省);取-1或1表示单侧检 验,其中-1对应H1:mumu0.%h输出值0和1,分别表示接受和拒绝H0.%sig:检验的p-值,sig0.05等价于h=1.%ci输出置信区间,stats输出统计量的值和自由度.,单样本t检验的Matlab实现：,2.两样本的t检验,设有两个总体 和,分别从这两个总
6、体中抽取容量为n1和 n2的样本，要检验的问题是,设总体的方差未知，则使用的是两样本t检验：,取检验的水平为，则检验的拒绝域为：,h=ttest2(x,y)%x，y是样本;%h输出值0和1，分别表示接受和拒绝H0.,两样本t检验的Matlab实现：,h,sig,ci,stats=ttest2(x,y,alpha,tail)%alpha:显著性水平,缺省时为0.05.%tail:取0表示双侧检验(可缺省);取-1或1表示单侧检验,其中-1对应H1:mu1mu2.%h输出值0和1,分别表示接受和拒绝H0.%sig:检验的p-值,sig0.05等价于h=1.%ci输出置信区间,stats输出统计量的
7、值和自由度.,两样本t检验的Matlab实现：,3.检验的水平*,在零假设成立下，重复执行检验过程，考察零假设被拒绝的概率，这就是犯第一类错误的概率，即检验的实际水平。,clearn=20;N=10000;mu0=0;for i=1:N x=randn(1,n);a(i)=ttest(x,mu0);endsum(a)/N%t检验的实际水平,4.检验的功效*（势,power）,在备择假设成立下，重复执行检验过程，考察零假设被拒绝的概率，这就是不犯第二类错误的概率，即检验的功效。检验的功效越高，检验就越好。,clearn=20;N=10000;mu0=0.5;for i=1:N x=randn(1
8、,n);a(i)=ttest(x,mu0);endsum(a)/N%功效,四、正态性检验*,Q-Q图Kolmogorov-Smirov检验Lilliefors检验,1.Q-Q图（quantile-quantile）,clearn=40;x=randn(1,n);qqplot(x),Q-Q图：第i个点的纵坐标是排序的样本观测值，横坐标是,理论直线的方程为：,2.Kolmogorov-Smirov检验,检验的统计量是：,其中 是待检验的分布函数。,Matlab中的命令：h,p=kstest(x,alpha,tail),检验样本是否服从标准的正态分布，其中alpha:检验的水平tail:检验的类型，
9、0表示双侧检验，-1和1是单侧检验h:取值0和1，分别表示接受和拒绝零假设p:检验的p-值 简单用法：h=kstest(x),clearn=30;N=5000;for i=1:N x=randn(1,n);h=kstest(x);if h=1 a(i)=1;else a(i)=0;endendsum(a)/N%结果是什么?,clearn=80;N=5000;for i=1:N x=trnd(1,1,n);%样本来自于t(1)a(i)=kstest(x);endsum(a)/N%结果是什么?,3.Lilliefors检验,Matlab中的命令：h=lillietest(x)h,p=lilliet
10、est(x,alpha,tail),用来检验数据是否具有与样本相同均值和方差的正态分布。,clearn=30;N=5000;for i=1:N x=randn(1,n)+2;a(i)=lillietest(x);endsum(a)/N%？,五、方差分析(analysis of variance),例1：在实验室内有多种方法可以测定生物样品中的磷含量，现选取4种测定方法，测定同一干草样品的磷含量，结果见下表，试分析这4种方法之间差异是否显著。,不同方法测定的干草磷含量,例2：随机选取三种千足虫，测定了不同性别个体血淋巴中的丙氨酸含量（mg/L），试检验性别和物种对丙氨酸含量的影响有无显著性差异。
11、,p=anova1(x)%x是样本观测值构成的矩阵，每一列为 一个水平%p是检验的p-值.%输出结果除p-值外，还有方差分析表以 及箱形图。,1.单因素方差分析的Matlab实现：,例1的求解：,clearx=34 37 34 36 36 36 37 34 34 35 35 37 35 37 37 34 34 37 36 35;p=anova1(x)%1是数字,单因素方差分析表：,p=anova2(x,1)%括号中的1表示每个水平组合下只有一次观测，此时不考虑交互效应。p=anova2(x,m)%括号中的m表示每个水平组合下有m次重复观测。The number of rows must be
12、a multiple of reps.,2.两因素方差分析的Matlab实现：,例2的求解：,clearx=215 145 160 196 174 203 209 150 185 228 178 193 148 121 144 156 114 147 135 127 138 164 145 120;p=anova2(x,4),两因素方差分析表：,Columns:列因素 Rows:行因素 Interaction:交互作用,六、回归分析,一元线性回归多元线性回归,1.一元线性回归分析,设x为自变量，y为因变量，考虑y对x的线性回归。采用最小二乘估计法。,b=polyfit(x,y,1)%x是自变量
13、的样本观测值%y是因变量的样本观测值,一元线性回归分析的Matlab实现：,x=0.7608-0.9291-0.4007-0.1267-0.4829-0.6075-0.7594-1.3627 0.4069 0.4236;y=1.7159-1.2786-0.3744 0.5986-0.6290-1.0179-1.0921-2.6222 1.6396 1.8324;plot(x,y,*)%散点图a=polyfit(x,y,1)%a(1)是一次项系数，a(2)是截距项yy=polyval(a,x);hold onplot(x,yy),例：,2.多元线性回归分析,设x1,x2,xk为自变量，y为因变量
14、，考虑y对x1,x2,xk的线性回归:假设进行了n次观测.,b=regress(y,X)或b,bint,r,rint,stats=regress(y,X),多元线性回归分析的Matlab实现：,y：因变量的观测值所构成的列向量.X：自变量的取值构成的矩阵，X各列(除第1列外)就是自变量的n次取值。,b：最小二乘估计法得到的回归系数 bint：各回归系数的置信区间 r：残差 rint：各残差的置信区间stats:输出拟合优度R2、F值和p值,x=0.7608-0.9291-0.4007-0.1267-0.4829-0.6075-0.7594-1.3627 0.4069 0.4236;y=1.7159-1.2786-0.3744 0.5986-0.6290-1.0179-1.0921-2.6222 1.6396 1.8324;n=length(x);X=ones(n,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X),例：,The End!,
