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1、1,“数学是无穷的科学”赫尔曼外尔,第三章 幂级数展开,2,学习要求与内容提要,目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,3,无穷级数：一系列无穷多个数w1，w2，w3，wn，写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？,为什么要研究级数？(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)常微分方程的级数解。研究级数需关心的问题：(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、
2、判据；(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。,4,3.1 复数项级数,复数项级数定义 形如 的表达式被称为复数项级数，其中 是复数。,每一项收敛性问题归结为两个实数项级数,极限存在并有限,部分和,级数最前面n项的和,收敛性问题,5,收敛的充要条件,柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于任一小的正数，必存在一 N 使得 nN 时有,式中 p 为任意正整数,绝对收敛,判别法：的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。,6,两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。,复变函数项级数：,每一项都是复变函数,实际上，对于 z 的一个
3、确定值，复变函数项级数变成一个复数项级数。,复变函数项级数有一个定义域 B。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。,7,一致收敛,收敛,复变函数项级数在其定义域 B中每一点都收敛，则称在B中收敛。它满足柯西判据：,对于一小正数，必存在一N(z)使得nN(z)时有,N 与 z 无关,收敛，但N(z)与复变量 z有关,给定，有一个统一的 N 使判据得到满足,8,绝对一致收敛,即在各点都绝对收敛,一致收敛级数的性质,性质1：若级数 在B内一致收敛于s(z)，且其各项均为B内的连续函数，则s(z)也是B内的连续函数。,性质2：若级数 在曲线l上一致收敛于s(z)，且各项均为l上的连续函数，则级数
4、可沿l逐项积分：,9,3.2 幂级数,为以 为中心的幂级数.,1 定义,幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广,时,定理(阿贝尔Abel)如果级数 在z=z0(0)收敛，那么对满足 的z，级数必绝对收敛；如果在z=z0级数发散，那么对满足 的z，级数必发散。,复常数,复常数,幂级数的敛散性,10,证,由收敛的必要条件,有,因而存在正数M,使对所有的k,有,因为级数 收敛，,而,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分的证明请课后完成.,证毕,故级数 是绝对收敛的。,11,2.收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:,(1)对所有的正实数都收敛.,由阿贝尔定理知:,级
5、数在复平面内处处绝对收敛.,例如,级数,对任意固定的z,从某个k开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,12,(2)对所有的正实数除 z=0 外都发散.,此时,级数在复平面内除原点外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,如图:,故级数发散.,13,.,.,收敛圆,收敛半径,14,在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,15,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,16,3.收敛半径的求法,方法1:比值法(定理二):,17,18,所以收敛半径为,证毕,19,如果:,即,(极限不存在),即,20,21
6、,方法2:根值法(定理三),那末收敛半径,说明:,(与比值法相同),如果,22,4.复变幂级数在收敛圆内的性质,23,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导,逐项积分.,(常用于求和函数),24,记 CR1上点为，CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为,利用柯西公式,用有界函数,相乘后，在CR1上一致收敛,6 幂级数的和与回路积分。,25,乘以,幂级数在收敛圆内可任意逐项求导，还可以逐项积分。,结论：幂级数的和可表为连续函数的回路积分。,26,5、典型例题,例1 求幂级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,27,级数,收敛,级数,发散.,在此圆域内,级数绝对收敛
7、,收敛半径为1,28,29,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,30,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有 级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,31,故收敛半径,解,32,解,所以,33,解,利用逐项积分,得:,所以,34,解,35,例7 计算,解,36,一、问题的引入,问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？,3.3 泰勒级数展开,37,由柯西积分公式,有,其中 K 取正方向.,则,38,39,由高阶导数公式,上式又可写成,其中,可知在K内,40,令,则在K上连续,即存在一个正常数M,41,从而在K内,泰勒级数,42,由上讨论
8、得重要定理泰勒展开定理,43,二、泰勒定理,44,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),45,因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.,注意,问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,46,那末,即,因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.,47,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法:直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,例如，,故有,48,仿照上例,49,2.间接展开法:
9、,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.,50,例如，,51,附:常见函数的泰勒展开式,52,53,例1,解,四、典型例题,54,上式两边逐项求导,55,例2,分析,如图,56,即,将展开式两端沿 C 逐项积分,得,解,57,例3,解,58,例4,解,59,例5,解,60,例6,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,61,62,3.4 解析延拓,例：,和,解析延拓：将解析函数定义域加以扩大,概念：若f1(z)和f2
10、(z)分别在D1,D2内解析，且在D1与D2重叠的区域中有f1(z)=f2(z)，则称f2(z)为f1(z)在D2中的解析延拓，f1(z)为f2(z)在D1中的解析延拓。,同一个解析函数在不同区域内有不同的表达式，如例子,63,问题：已知 f(z)在 b 中解析，是否存在 F(z)在 B 中解析bB，且在 b 中 F(z)=f(z)。这个过程叫解析延拓。,解析延拓的方法,在 b 中取点z0，又取z0 的一个邻域，将 f(z)展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。,可以证明，无论采用何种方法，
11、函数 f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。,证明：利用解析函数零点的孤立性,64,含参量积分：,称为格马(Gamma)函数（写作函数）.,它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，,称为贝塔(Beta)函数（写作B函数）.,下面分别讨论这两个函数的性质.,3.4.1 函数与函数,65,1.积分区间为无穷;,函数,特点:,函数,2.当 s-1 0 时，x=0 为瑕点;,写函数为如下两个积分之和：,其中,当 s 1 时，为正常积分，当 0 s 1时收敛.,66,对任何实数 s，都是收敛的，特别当 s 0 时收敛.,所以函数,在 s 0 时收敛.,即函数的定义域为
12、s 0,1.函数在定义域 s 0 内连续且可导,2.递推公式,3.函数图象的讨论,函数的性质,67,4.延拓,5.,的其他形式,令 x=y2,有,令 x=py,就有,68,函数,当 p 1 时，I(p,q)为正常积分，当 0 p 1时收敛.,当 q 1 时，J(p,q)为正常积分，当 0 q 1时收敛.,所以，当 p 0,q 0 时,B(p,q)收敛.,即B(p,q)函数的定义域为 p 0,q 0,69,1.B(p,q)在定义域 p 0,q 0 内连续,2.对称性：B(p,q)=B(q,p),3.递推公式,B(p,q)函数的性质,70,4.B(p,q)的其他形式,令,则有,令,则有,令,则有,
13、函数与函数之间的关系,71,例,计算,解,72,73,例,计算,解,74,75,一、问题的引入,问题:,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,3.5 洛朗级数展开,76,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,77,结论:,常见的特殊圆环域:,78,例如，,都不解析,2.问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?,79,所以,也可以展开成级数：,80,二、洛朗级数,定理,C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,81,证,对于第一个积分:,82,对于第二个积分:,z,z,z,d,),(,2,1,R2,-,C,z,f,i,所以,8
14、3,其中,84,下面证明,85,则,86,如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,证毕,87,说明:,在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.,1),2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是 f(z)的洛朗级数.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,88,三、函数的洛朗展开式,常用方法:1.直接法 2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,缺点:计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,优点:简捷,快速.,2.间接展开法,89,四、典型例题,例1,解,90,故由柯西古萨基本定理
15、知:,由高阶导数公式知:,91,另解,本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,92,例2,内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,93,94,由,且仍有,95,此时,96,仍有,97,说明:,98,回答：不矛盾.,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛,99,解,例3,100,例4,解,101,例5,内的洛朗展开式.,解,102,103,104,洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;,思考题答案,是一般与特殊的关系.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题
16、,105,3.6 孤立奇点的分类,定义：若函数f(z)在点z0处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域 内解析，则称点z0为f(z)的孤立奇点。,一、孤立奇点的概念,106,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,107,定义 设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，f(z)在点z0的某去心邻域 内的罗朗展式为,(1)若展式中不含有z-z0的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点；,(2)若展式中只含有z-z0的有限个负幂项(即存在m0，使a-m0，而当nm时，a-n=0)，则称z0是f(z)的极点，称m为极点z0的阶，按照m=1或m1，称z0是f(z)的单极点或m阶的极点；,(3)若展式中含有
17、z-z0的无穷多个负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。,二、孤立奇点的分类,108,说明:(1),补充定义,1可去奇点,如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1)定义,109,2)可去奇点的判定,(1)由定义判断:,(2)判断极限,若极限存在且为有限值,如果补充定义:,时,110,解,无负幂项,另解,111,2.极点,即,或写成,1)定义,负幂项,112,说明:,1.,2.,特点:,(1),是二级极点,是一级极点.,113,2)极点的判定方法,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(1)由定义判别,(2)由定义的等价形式判别,114,本性奇点,3
18、.,例如，,含有无穷多个z的负幂项,115,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,116,三、函数在无穷远点的性态,1.定义,117,令变换,规定此变换将:,映射为,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,映射为,映射为,118,结论:,规定:,m级奇点或本性奇点.,119,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点;,2)m 级极点;,3)本性奇点.,判别法1(利用洛朗级数的特点),2.判别方法:,120,不含正幂项,121,含有无穷多的正幂项,122,判别法2:(利用极限特点),如果极限,123,解,124,所以,因为,125,
