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1、1,数学物理方法,特色：在于数学与物理的紧密结合。课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程,在高等数学和普通物理学的基础上论述古典数学物理中的常用方法,普通物理,专业物理,数学物理方法,描述物理模型的数学方法,2,教材及指导书,一、教材：梁昆淼编，数学物理方法，第四版，高等教育出版社,二、主要的参考书：吴崇试编著，数学物理方法 北京大学出版社,成绩测定：作业20%考试80%联系方式：,Mathematical methods in the physical science(Mary L.Boas),3,第一篇 复变函数论,微积分,复变函数论,？为什么,（两者的差别）,实数,复数,微积分：,f
2、 可微 左极限=右极限,4,复变函数：,f 可微 任意路径的极限相等,说明：微积分中存在一些不好的性质,在x0各阶导数均存在,在x=0各阶导数均存在,其值为0,例,f(x)可微 存在,（满足泰勒展开条件）,5,复变函数论（theory of complex functions）：研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，主要研究对象是解析函数。,复数函数发展简史,早在16世纪，一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了虚数的基本思想，给出了虚数的符号和运算法则。,1,复数起源于代数方程求根,1484 年,法国数学家舒开(N.Chuquet,14451500)在算术三编中指出二次方程 的根
3、,没有意义。这是历史上首次形式上出现负数的平方根。,6,1545年,意大利数学家卡丹(G.Cardano,1501-1576)在大术中提出“把10分为两部分,使其乘积为40”的问题,并给出,书中给出了卡丹公式,与卡丹同时代的意大利数学家邦贝利(R.Bombelli,约15261573)是第一个认真看待虚数并认识到虚数应用价值的人。他在代数中建立了虚数运算法则。,如对于,邦贝利发现有一个根,他证明了,7,法国的笛卡尔（R.Descartes,1596-1690）称其为虚数(“虚幻数”imaginary number),由于 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到19世纪中叶，这类数仍然是不合法的
4、。,2,Bernoulli和Leibniz的争论 17121713,Bernoulli：负数的对数是实数,Leibniz：不可能有负数的对数,只对正数成立,3,Euler 在1747年对这场争论作了中肯的分析,差一常数,8,1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：,和,是同一个微分方程的解，因此应该相等,1743年，发表了Euler公式,欧拉(L.Euler,1707-1783)先确立了负数的对数,又给出了复数对数的适当定义,欧拉像使用实数一样有效地使用复数,数学家们也因此对复数产生了一些信心。在18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复数,但无论欧拉还是别的数学家对这些数都还不
5、甚清楚。,9,Euler 认为复数仅在想象中存在，1777年，Euler采用 i 代表,5,十九世纪，有三位代表性人物：柯西(Cauchy，17891857)维尔斯特拉斯(Weierstrass，18151897)黎曼(Rieman，18261866),经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论,4,复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777-1855),1799年，他把复数的思想融入到对代数学基本定理的证明中。,10,11,1.1 复数与复数运算,（一）复数的基本概念,复数定义：复数形如 z=x+iy 的数（x,y 为实数，i2=1，i：虚数单位，一种记号约定）
6、,将有争议的虚数合法化：,一维实数 二维实数,第一章 复变函数,核心问题：如何定义复数？复数是否有物理意义？-1的平方根是否有意义？,复数的本质：有序实数对(x,y),12,复数定义：设一对有序实数(x,y)遵从下列运算规则,x 为其实部，y 为虚部,加法(x1,y1)(x2,y2)(x1 x2,y1 y2)乘法(x1,y1)(x2,y2)(x1 x2y1y2,x1y2 x2y1),则这一对有序实数(x,y)定义了一个复数，z(x,y),复数相等：两复数的实部和虚部分别相等,实数复数,扩大数域，定义运算规则,复数：i2=1，为什么？,高斯：正十七边形作图,简单概念的引入可解决世界性的难题,13
7、,(1,0)具有和实数1同样的运算效果,特殊的复数：实数1,(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)(x,y)(x,y),(1,0)1,定义了虚数单位 i(0,1),特殊的复数：虚单位 i,(0,1)(0,1)(1,0)1,i 21,复数 z 可记为,特殊的复数：0,(x,y)+(0,0)(x,y)(x,y)(0,0)(0,0),14,复数减法：复数加法的逆运算,复数除法：复数乘法的逆运算,复数的共轭：,与,互为共轭,15,z,y,x,0,几何表示,x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面,复数 z 为此平面上的一点,从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量，为矢量长度，为幅角。记,主值,复共轭
8、,称为模,定义指数复数 具有实指数函数相同的性质,练习,16,补充：欧拉公式的证明,设,可以证明级数,在整个复数范围是绝对收敛的,定义它的和函数为,z为纯虚数iy时,指数函数的性质,17,小结：复数 z 是两个独立变量(x,y)的集合。它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。,练习：证明复数的运算服从下列规律,交换律,结合律,分配律,两个复数相乘，其模等于它们模的乘积，其幅角等于它们幅角的和。,定理：,是超越实数，,四个似乎毫无关系的,数，极其美妙地结合在一起，这反应了欧拉公式的深刻内涵意义。,18,（二）无限远点,复平面上有些个点比较特殊，比如：零点和无穷远点。(1)复数零的幅角无
9、意义，模为0。(2)无穷远点的模为，幅角没有意义。关于无穷远点的定义需要借助测地投影法。,复球面,复平面的无限远处看成一个“点”无限远点包括有无限远点的复数平面称为扩充了的复平面,实数：(-,+)-,+,模有限的复数跟复平面上的有限远点一一对应模为无限大的复数也跟复平面上一点对应（无限远点）,19,如图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连，直线与球相交于 A。由此，每一有限的复数 投影到球上一点。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。,所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。,20
10、,(1)的实部，虚部及幅角都无意义，,(2)b0(但可为)时，,(3)a时，,(4)运算，0，无意义,关于新“数”还需作如下几点规定：,扩充复平面的一个几何模型就是复球面,21,加法,减法,乘法,除法,幂（n整数）,根,逼近,（三）复数的运算,交换律、结合律、分配律成立,22,例 求1的n次方根，讨论根在复平面单位圆周上的位置.,复数的方根,23,课后阅读：正17边形问题复数在几何学的一个应用,费马数,24,作业：P6，1,3（7）（8）,例：不等式,所确定的点集,25,26,例：,27,1.2 复变函数,在复平面上一点集 E 中每一点z，都有一个或几个复数w与之对应，称w为 z 的函数，E
11、为定义域，记 w=f(z)，z E。,实函数定义:对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x 都有唯一的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。B为此函数的定义域，记 y=f(x)。连续：可微：Cn：n 次可微,C：无限可微,(一)复变函数的定义,例,28,(二)区域的概念,邻域定义由不等式(为任意小的正数)所确定的平面点集(简称点集)，就是以z0为中心的邻域或邻域。由不等式,所确定的点集为z0的去心邻域或去心邻域。,实函数定义域,复函数定义域,推广,（区域）,29,定义设G为点集，z0为G中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称z0为G的内点；若点z0的某一个
12、邻域内的点都不属于G，则称点z0为G的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于G的点，也有不属于G的点，则称点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边界。,内点，外点，边界点 开集,注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,定义 若点集G的点皆为内点，则称G为开集,30,定义点集G称为一个区域，如果它满足：(1)G是一个开集；(2)G是连通的，就是说G中任何两点z1和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起来。,区域就是一个连通的开集,区域G加上它的边界C称为闭区域，记为,闭区域中连续函数性质：|f(z)|有界，并达到它的上下界；f(z)一致连续。,31,邻域,z,复平面上
13、圆内点的集合,内点,z 和它的邻域都属于 B，则 z 为 B 的内点,外点,z 和它的邻域都不属于 B，则 z 为 B 的外点,境界点,不是内点，也不是外点的点,境界线,全体境界点的集合,z,区域,内点组成的连通集合,闭区域,区域和境界线的全体,区域,区域概念总结,32,多项式,有理分式,根式,指数函数,三角函数,双曲函数,对数函数,幂函数,(三)复变函数例,实周期2,纯虚数周期2i,纯虚数周期2i,33,复变函数w=u+iv是两个函数的组合，实部 u 和虚部 v。如果函数没有特殊的性质，如解析性，这两个部分将是相互独立的。函数关系很难用图形表示。,连续：,或：,视 z 为矢量，可以设矢量函数
14、,这是平面上的矢量场,34,补充讨论：,复变函数的可视化图形,四维数据的表示：三个空间坐标+颜色,xy平面(复平面),z轴(实部)+颜色(虚部),35,三个高峰对应实部的最大值：,三个低谷对应实部的最小值：,虚部的最大值（颜色轴）：,36,双值函数，二叶曲面，割线沿-x轴方向,幅角变化范围取-,37,定义：z1，z2，zn，是复数序列，记作zn。若任给实数0，存在自然数N，当nN 时，有zn-z0 N 时，所有的zn都进入圆C内，取值足够小，对于nN的n，非常接近于z0，这就是序列zn以z0为极限的几何意义。,补充讨论：,极限,连续,可导,复数序列的极限,38,定义：设w=f(z)是在区域D
15、中定义的单值函数。如果任给实数 0，若存在实数 0，当D 内的z 满足0 z-z0 时，有f(z)-w0，则称f(z)当z 趋于z0 时有极限w0，记作：几何意义当z 在Z 平面进入以z0为圆心，为半径的圆C时,相应的w=f(z)就在W平面进入以w0为圆心，为半径的圆C内。注：这里z 以任意方式趋于z0 时，其极限为w0,复变函数的极限,39,性质,40,复变函数的连续性函数在某点连续的定义：设w=f(z)是在区域D中定义的单值函数，并且z0为D 的内点，如果任给实数 0，存在实数0，使得当D内的z 满足z-z0 时，有f(z)-f(z0)即极限值等于函数值（求极限的一种方法）则称函数w=f(
16、z)在点z0 连续。,注：极限的定义要求z 以任意的方式趋于z0 时，极限均为f(z0)，而在实变函数中，f(x)在x=x0 处的连续性仅要求x 从小于x0 和大于x0两个方向趋于x0 时，f(x)有相同的极限值。可见在复变函数中，函数在某点连续的定义比实变函数中要求更严格。,41,连续函数：f(z)在区域D内点点连续,1.3 导数,存在，并且与z0的方式无关，则称f(z)在z点可导,定义：=f(z)是区域B上的单值函数，若在B上的某点z，极限,（实变函数、复变函数导数的定义形式上一样）,导数存在要求f(z)在点z连续，(连续不一定可导),42,导数计算：,43,x,y,z,可导：对任何方向的
17、z，极限都存在并唯一。,0,实数,复数,因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。,柯西黎曼方程,z沿实轴,y0,可导，要求二者相等,必要条件,z沿虚轴,x0,44,可导的充分条件:f(z)的,存在，连续且满足柯西黎曼方程。,证：,偏导数连续，则二元函数u 和v 的增量可分别写为,随着,则,柯西黎曼方程,这一极限是与,的方式无关的有限值,45,复变函数导数的几何意义,Z平面曲线L W平面曲线L,（实函数导数：切线的斜率）,模f(z0)表示长度的放大系数。辐角 Argf(z0)表示映射前后切线的转动角,46,作业：P6：3，（1）（4）；P8，1；P12，习题,指数函数,对数函数,幂函数
18、,例：,47,1.4 解析函数,在点 解析：,为区域 B 中解析函数,要求在这点及其邻域上处处可导,（在区域上的每一点解析）,例：函数,只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析,若函数f(z)在点z0不解析,则称点z0是f(z)的奇点,f(z)在点z0 无定义或无确定值；f(z)在点z0 不连续；f(z)在点z0 不可导；f(z)在点z0 可导,但找不到某个邻域在其内处处可导,48,解析函数性质：,(1)曲线族,相互正交。,即,由柯西黎曼方程,两族曲线的梯度正交,两族曲线正交,(2)满足拉普拉斯方程,由柯西黎曼方程,调和函数,49,已知 u 求 v,它们是某解析函数的实部和虚部,可由(1)曲
19、线积分(2)凑全微分显式(3)不定积分 求出,例,求,解:,u 是调和函数;,(1),全微分的积分与路径无关,共轭调和函数,50,(2),(3),视 x 为参量，对 y 积分,求 满足的方程,为什么能这样解？,51,小结,复变函数导数的定义是实函数导数定义的自然推广复变函数的可导性是很强的要求，必要条件是柯西黎曼方程。充分条件是函数的实部与虚部的导数存在，连续并满足柯西黎曼方程。解析函数是调和函数。,作业：P16，12：（1），（2），（4），（5）,52,命题：作变量变换，后，则复变函数,若函数在G内解析，则它不显含，即,成为 的函数，试证明，,证明：,结论：解析函数不显含 是直接由C-R方
20、程推导的，也是解析函数的必要条件。,53,例：已知解析函数实部 求虚部,对y积分,解：,u 为调和函数,由C-R条件,包含 的项自动抵消,54,1.5 平面标量场,恒定场：场与时间无关，如静电场,平面场：若所研究的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场称为平面场,平面静电场,电势满足二维拉普拉斯方程,解析函数为平面静电场的复势,若设,为电势,等势线族,电场线族,55,势，等势线,通量函数,AB的切线方向余弦,法线方向余弦,56,1.6 多值函数,根式函数定义：给定一个自变量z，凡是满足等式w2=z的w值，就是根式函数z的函数值，或者说是z的平方根。,多值性,
21、自变量z：根式函数z可取两个值,采用极坐标,则,相对于,相对于,57,支点：对于多值函数w=f(z)，若z绕某点一周，函数值w不复原，而在该点各单值分支函数值相同。,z=a,C1,w=0,Z平面,W平面,闭合曲线不包含a点,58,z=a,C2,Z平面,W平面,闭合曲线包含a点,黎曼面：多值函数的每两个相邻单值分支的z平面在割线处连接起来构成的“多叶平面”就是黎曼面,59,函数 的黎曼面,在z平面上割破(连接z=0和z=的)负实轴，可以得到 的两个不同的完全分离的单值函数。,设想两个z平面相重迭,在割破处交叉粘合：黎曼面,60,其它多值函数,对数函数：,反三角函数：,问：反函数中的根式前取“-”号行不行？,
