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1、第二章 分离变量法,齐次发展（演化）问题的求解齐次稳定场问题的求解非齐次问题的求解多变量推广本章小结,2.1 齐次发展方程的分离变量法,一 分离变量法简介,研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题,设,代入上述波动方程和边界条件得,方程、边界条件均齐次,用 遍除,两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作-,这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离,称为固有值（本征值）问题,1、在0时，方程的解是,积分常数 和 由边界条件确定,由此解出=0,=0，从而,2、=0 时方程的解是,则仍然解出,3、0的情况,方程的解是,只有 才能保证，方
2、程有非零解,此时,再看关于T 的方程,于是 或,称为固有值，称为固有函数,这个方程的解,分离变量的形式解,(n=1,2,3,),由叠加原理，一般解为：,现在要求出叠加系数 和,满足初始条件,方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得,，则可得原问题的解：,按上述公式计算出系数 和,注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。,如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。,分离变量流程图,固有值（特征值）问题,偏微分方程,【例题1】,磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，
3、它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题,【解】,设 并代入方程得,分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下,分离变量流程图,固有值（特征值）问题,现用 遍除各项即得,经讨论，当 时有解,于是得固有值问题,当 时有解,由定解条件得 任意，于是有固有值和固有函数,现确定积分常数，由条件知,由第一式可得,而 只有,，因此第二式变为,于是有固有值和固有函数,现在需要求解,综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为,当 时有解,当 时有解,其中 均为独立的任意常数。,由初始条件得,把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数，得,由叠加原理，一般解为,【解】杆
4、上温度满足下列泛定方程和定解条件,试探解,代入方程和边界条件得 固有值问题,【例题2】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上温度的变化。,和常微分方程,分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下,分离变量流程图,固有值（特征值）问题,经讨论知，仅 时有非零解，且,只有,由 得,由 得,于是得固有值和固有函数为,由此得,下面求解,得,由叠加原理，得,确定系数,由初值条件知,于是,如取，则,从而下列问题,的解为,图形如下:(程序:my1),(a)精确解图,(b)瀑布图,思考题：如何求解下面的波动问题,习题：习
5、题1（1）、（3）；习题2；习题3（2）；,2.2 稳定场齐次问题的分离变量法,1 矩形区域上拉普拉斯方程,【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边 处于较高温度，边处于冷却介质中而保持较低的温度,其他两边，温度保持为零，求解这横截面上的稳定温度分布.,【解】先写出定解问题定解问题,方程齐次,这组边界条件齐次,用分离变量法,分离变量流程图,固有值（特征值）问题,设形式解为：,代入上述泛定方程,得到,得到固有值问题,和常微分方程,得固有值：,固有函数：,而,于是有,叠加得,为确定叠加系数，将 代入非齐次边界条件,将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得,联立求解得,故原问题的解为,小结
6、：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件是齐次的，则可使用分离变量法求解。,图形如下：（程序：my2）,(a)精确解图,(b)瀑布图,【例2】求解下列问题,特点：边界条件 均非齐次,则，而上面两个定解问题分别用例1的方法求解。,称为定解问题的分拆。,【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。,【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴，,物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆,柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程,（在柱外）,可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。,在极坐标下研究该问题，在极
7、坐标下，上述问题可表示成,2 圆形区域问题,设分离变数形式的试探解为,代入拉普拉斯方程，得,令,此条件是根据电学原理加上的,移项、整理后得：,分离为两个常微分方程,（自然边界条件，附加）,得固有值和固有函数为,和,固有值问题,解得,将本征值代入常微分方程，得到欧拉型常微分方程,作代换 则，方程化为：,于是通解是,解得,即,一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,即：,由此得：,由条件 得,主要部分是 项,可见在表达式中不应出现高次幂，于是,最后得柱外的静电势为：,由 知,结合前面系数关系，有,习题6、8,2.3 非齐次方程的求解,设该问题的解为：,例1 求解有界弦的受迫振动问题（）,我
8、们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为,又设,因 已知，所以,固有函数展开法（又称傅立叶级数法）,代入非齐次方程和初始条件得：,用Laplace变换求解得：,方法总结：将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。,设：,【解】对应齐次问题的固有函数系为,代入泛定方程，得,于是有,例2 求解有界弦的受迫振动问题（）,代入初始条件,于是：,当 时：,的解为,解释,设非齐次方程的特解为，解得,于是非齐次方程的通解为,由定解条件,得,代入整理即得。,故原问题的解为,解释,【例题 3】均匀细导线，每单位长的电阻为R通以恒定
9、的电流I，导线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换。设导线的初始温度和两端温度都是零度，试求导线的温度变化。,其定解问题为：,对应的齐次问题的固有函数为：，故令,而,其中,代入方程，比较系数得：,由常微分方程的知识：,的解为,知,其中,代入初始条件得：,于是：,从而原问题的解为,习题10（2）、（3）,2.4 非齐次边界条件问题,上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。现在讨论非齐次边界条件下的情况。,【解】物理问题的定解问题,按照叠加原理，将 的定解问题分解为两部分之和，,满足定解问题,即,解得,满足定解问题,解释为什么？,由分离变量法知，其解为,由初值条件知,故,小结：,满足定
10、解问题,即可边界条件齐次化。,【例2】求下列定解问题,解：令,满足,解得,满足,方程也非齐次,则边界条件可齐次化。,【例题3】求解长为 的均匀杆的振动问题,【解】仍然要利用叠加原理，取,是一振动源，不防设,适当选取，使 满足下述方程和边界条件,注意,于是，得到了方程,解得,关于另一方程为：,用分离变量法，知,由初值条件，知,所以,从而,解的动画截取图形。注意级数解有无穷多项，计算时取有限项。这里取前100项。(程序：my5),解的瀑布图形,解：令,【例】求下列定解问题,设满足,解得,满足,习题：习题11（1）、（4）,2.5固有值问题,常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。,用分离变量
11、法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数,些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。,的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题,中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这,固有值及固有函数：,一、,其固有值和固有函数分别为,三、,其固有值和固有函数分别为,其固有值和固有函数分别为,五、,其固有值和固有函数分别为,练习：习题14（2）、（4）,本章小结：,对演化方程：方程与边界条件均为齐次,对稳定场方程：在矩形区域上方程与一对边边界条件均为齐次；圆域上的Laplace方程,用分离变量法,对演化方程：方程为非齐次，边界条件为齐次,用固有函数法,对演化方程：
12、方程与边界条件均为非齐次,做函数变换，边界条件齐次化，得到前两种情形之一。,补充习题：,求解薄膜的限定浓度的扩散问题 薄膜厚度为，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积 下杂质总量为，此外不再有杂质进入薄膜。对于较大 的 t 简化所得到的答案。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。,解：定解问题,由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故,代入初始条件：,此定解问题还可以写成：,由于：,代入边界条件得：,练习求解两端固定弦的自由振动问题,其中,解为,其中,该解所表示的物理过程可以从下面动画图中得到。注意级数解有无穷多项，计算时取有限项。,
