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1、第六章 离散变量和随机变 量的最优化方法,主要内容,6.1 引言 6.2 离散变量优化设计的基本概念 6.3 离散变量优化设计的数学模型 6.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件 6.5 随机变量优化设计的基本概念 6.6 随机变量优化设计的数学模型 6.7 随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解,6.1 引言,一.变量类型：,工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变量的混合。有：连续变量 确定型 整型变量 离散变量 随机变量 不确定型 混合变量 所以需要相应的优化方法。,6.1 引言（续）,二.工程实际设计的需要：,例：决定修建一条防洪堤坝。根据历年的水文资料，台风的年最大风
2、速：,现在需要设计堤坝的截面尺寸 b 和 h，在保证不受灾害的概率不低于99.9%，堤坝不受冲压损坏的概率不低于 99.0%的要求下，使投资最小。,6.1 引言（续2）,三.传统方法的局限：,例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。,x*,X(1),X(2),X(3),左图中：x*是连续变量最优点；x(1)是圆整后最近的离散点，但不可行；x(2)是最近的可行离散点，但不是离散最优点；x(3)是离散最优点。,x1,0,x2,6.2 离散变量优化设计 的基本概念,一.设计空间：,1、一
3、维离散设计空间：,在 xi 坐标轴上有若干个相距一定间隔的离散点，组成的集合称为一维离散设计空间。,2、P 维离散设计空间：P 个离散设计变量组成 P 维离散设计空间。每个离散变量可取有限个数值，这些数值可用矩阵 Q 来表达。,注：因为离散变量是有限个，所以离 散空间是有界的。某个离散变量的取值不足 l 个，其余值可用预先规定的自然数补齐。,qij-1,qij,qij+1,6.2 离散变量优化设计 的基本概念(续）,3、N-P 维连续设计空间：N 个设计变量中有 P 个离散变量，此外有个N-P 连续变量。N-P 维连续设计空间:,4、N 维设计空间：其中：离散设计空间为：连续设计空间为：,若
4、Rp 为空集时，Rn 为全连续变量设计问题；若 Rp-n 为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。,6.2 离散变量优化设计 的基本概念(续2）,二.整型变量和连续变量的离散化：是均匀离散,1、整型变量的离散：整型变量可看作为是离散间隔恒定为 1 的离散变量。是离散变量的特例。,2、连续变量的离散化：有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。方法：,6.3 离散变量优化设计 的数学模型,注：设计空间有离散空间部分。但约束面不离散，也不一定分布有离散点。K-T 条件不再适用。,D,6.4 离散变量优化设计的 最优解及收敛条件,一、离散单位邻域 UN(x)和坐标邻域 UC(x)：,例
5、，二维离散空间中，离散单位邻域共 3n 个点，UN(x)=x,A,B,C,D,E,F,G,H；离散坐标邻域共 2n+1 个点：UC(x)=x,B,D,E,G。,x,B,G,D,E,A,F,C,H,i,i,0,x1,x2,6.4 离散变量优化设计的 最优解及收敛条件(续),二、离散最优解：,三、收敛准则：,设当前搜索到的最好点为 x(k)，需要判断其是否收敛。在 x(k)的单位邻域中查 3n 1 个点，若未查到比 x(k)的目标函数值更小的点，则收敛，x*=x(k)。,D,D,D,6.4 离散变量优化设计的最 优解及收敛条件(续2）,四、伪离散最优解和拟离散最优解：,1、伪离散最优解：,在判断x
6、(k)是否收敛时，只在 x(k)的坐标邻域中查点，所得到的最优点是伪离散最优点。,2、拟离散最优解：用以连续变量优化设计方法为基础的“拟离散法”、“离散惩罚函数法”等，先求得连续变量最优解（A点），再圆整到可行域内最近的离散点（C点）,是拟离散最优点。B点才是离散最优点。,6.5 随机变量优化设计 的基本概念,二、随机变量的概率特性（略）：,一、随机变量：,随机现象的每一个表现，通称为随机事件。随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量。,例如，加工了3000根直径为 的轴。抽取测量了300根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围
7、内的有297根轴。,加工直径为 d 的轴，是一个随机事件；直径 d 为 随机变量；加工3000根轴，是事件的总体；测量300根轴的直径，是事件的样本空间。合格 99%是事件的概率。,6.5 随机变量优化设计 的基本概念（续）,三、随机参数：,已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随机变量。在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参数是不随设计点的移动而变化的。随机参数的向量表示如下：,T,T,T,T,6.5 随机变量优化设计 的基本概念（续2）,四、随机设计变量：,在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需要通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为随机
8、设计变量。随机变量的向量表示方法如下：,五、分布类型及其参数的确定：,方法 一：由试验或观察，测量得到随机变量的相关数据，作出样本的直方图，然后选择分布类型，进行假设检验和分布参数的估计。,T,6.5 随机变量优化设计的 基本概念（续3）,方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一种分布类型，再调整分布参数或特征值。,一般认为：加工误差服从正态分布；寿命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的强度极限服从对数正态分布。,若已知离差系数 cx，则可根据 直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和离差系数求得最优解。,若 xi 服从正态分布，一般容差,同样可直接在优化过程中迭代均值，通
9、过调整均值和容差求得最优解。,6.6 随机变量优化设计 的数学模型,一、随机设计特性：,当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时，称为随机设计特性。,二、目标函数：,由随机设计特性定义优化准则函数。,注：工程问题的优化设计中，根据工程实际情况选择目标函数的类型。,6.6 随机变量优化设计 的数学模型（续）,三、约束函数：,四、随机型优化设计数学模型：,说明：min.和 s.t.只能从概率空间的意义来理解；采用不同的样本组，最优点 x*()是不同的；模型的类型有很多种，最有实际意义的是概率约束型。,T,T,T,6.7 随机变量概率约束问题 的优化设计模型及最优解,一、概率约束问题
10、的优化设计模型：,T,6.7 随机变量概率约束问题的 优化设计模型及最优解（续）,二、概率约束模型的最优解：,1、最优解：在概率空间（，T，P）内，存在一个用均值表示的设计点 x*，x*=x*X Da，使不等式 E f(x*,)E f(x,)对于某个邻域 N(x)内的所有 x 都成立，则称 x*为概率约束问题的最优点，E f(x*,)为最优均值。,三、概率约束模型的几何解释,1、概率约束的几何解释：p gu(x,)0-u=0 是概率约束超曲面。p gu(x,)0 0.5=0 相当于E gu(x,)=0，即 gu(x,)0 的连续变量空间中的约束超曲面。,6.7 随机变量概率约束问题的 优化设计模型及最优解（续2）,2、随机设计变量的模体：概率约束的可行域：,D,3、概率约束模型的最优解的几何解释：,
