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1、1,材料力学,第十二章,2,121 超静定结构概述,12-4 连续梁与三弯矩方程,第十二章 超静定结构,123 用力法解超静定结构,122 弯曲超静定问题,3,超静定结构,用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为超静定结构或系统，也称为超静定结构或系统。,121 超静定结构概述,在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的超静定次数。,4,超静定问题分类,第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静 不定的，可称为外力超静定系统。,第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不 定的，可称为内力超静定系
2、统。,第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反 力和内力是超静定的。,超静定结构,5,第一类,第二类,第三类,超静定结构,6,122 弯曲超静定问题,1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解：建立静定基,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。,=,A,B,x,y,超静定结构,7,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,超静定结构,8,几何方程 变形协调方程：,解：建立静定基,=,例6 结构如图，求B点反力。,LBC,x,y,C,=,+,超静定结构,9,=,LBC,x,y,C,+,物
3、理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,超静定结构,10,123 用力法解超静定结构,一、力法的基本思路（举例说明）,解：判定多余约束反力的数目（一个）,选取并去除多余约束，代 以多余约束反力，列出变形 协调方程，见图(b)。,超静定结构,11,变形协调方程,用能量法计算 和,由莫尔定理可得(图c、d、e),超静定结构,12,求多余约束反力,将上述结果代入变形协调方程得,求其它约束反力,由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。,作弯矩图，见图(g)。,求梁中点的挠度,超静定结构,13,选取基本静定系(见图(b)作为计算对象。单位载荷如图(h)。,用莫尔定理
4、可得,注意：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图(i)所示的简支梁。,超静定结构,14,二、力法正则方程,上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式,X1多余未知量；d11在基本静定系上，X1取单位值时引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；D1P在基本静定系上，由原载荷引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；,变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。,超静定结构,15,对于有无数多余约束反力的超静定系统的正则方程如下：,由位移互等定理知：,dij：影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的 在X
5、i作用点沿Xi方向的位移；DiP：自由项，表示在基本静定系上，由原载荷引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。,超静定结构,16,例2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。,q,a,A,B,a,解：刚架有两个多余约束。,选取并去除多余约束，代以多 余约束反力。,建立力法正则方程,计算系数dij和自由项DiP,用莫尔定理求得,超静定结构,17,超静定结构,18,求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,求其它支反力,由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。,超静定结构,19,三、对称与反对称性质的利用,结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。,当
6、对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。,超静定结构,20,正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。,例如：,超静定结构,21,例3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。,A,B,C,P,P,a,a,解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。,用莫尔定理求D1P和d11。,超静定结构,22,则,由平衡方
7、程求得：,超静定结构,23,12-4 连续梁与三弯矩方程,为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。,一、连续梁与超静定次数,超静定结构,24,二、三弯矩方程,连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁琐。,如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链
8、，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。,这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M1、M2、Mn-1、Mn、作为多余约束力(见上图)，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角。,超静定结构,25,如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，由于是连续梁，挠曲线在n支座处光滑连续,则 变形协调条件为:,n-1,n+1,n,ln,ln+1,超静定结构,26,1.求qn左:(可查表,再用叠加法;也可用图乘法或莫尔积分),2.求qn右:,超静定结构,27,三弯矩方程,对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个
9、三弯矩方程.,所以可能列出的方程式的数目恰好等于中间支座的数目，也就是等于超静定的次数。,而且每一个方程式中只含有三个多余约束力偶矩，这就使得计算得以一定的简化。,如各跨截面相同,即 In=In+1,则三弯矩方程简化为:,超静定结构,28,例4 试用三弯矩方程作等刚度连续梁AC的弯矩图。见图(a)。,解：AC梁总共有二跨，跨长l1=l2=l。中间支座编号应取为1，即n=1。由于已知0，2两支座上无弯矩，故,(a),超静定结构,29,由图(c)和(d)图得：,代入三弯矩方程可得,解得,(方向与图(b)所示相反),超静定结构,30,将图(d)中的单位弯矩图乘以,便得到MB在简支梁上产生的M图，再与载荷引起的M图(c)相加，就得到梁AC的图，见图(e)。,超静定结构,31,本章结束,
