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1、第一章极限与连续,数列的极限函数的极限无穷大量与无穷小量极限的运算法则二个重要极限无穷小的比较函数的连续性极限概念在经济学中应用,1.数列的定义 一个定义在正整数集合上的函数(称为整标函数),当自变量按正整数依次增大的顺序取值时，函数值按对应的顺序排成一串数：称为一个无穷数列，简称数列数列中的每一个数称为数列的项，称为数列的一般项。,数列的极限,下面我们来看几个无穷数列的例子,先找出它们的通项,截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,我们再来分析一下这几个数列的变化趋势,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,数列极限的定义未给出求极
2、限的方法.,例,证,所以,注意：,说明：,数列是一种特殊的函数，以项数为自变量的整标函数如果一个数列有极限，我们就称此数列是收敛的，否则就称它是发散的常数数列的极限为此常数,一自变量趋向无穷大时函数的极限,二自变量趋向有限值时函数的极限,三极限的性质,第二节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,1+,y,一般的对于函数 和常数A，若 时，无限趋近于A，则称A为 时函数 的极限，记为,当,注意：是刻划（x）与A的接近程度的，是任意给定的，M是随 而定的。,两种特殊情形:,当 沿 轴的正向趋向无穷时，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为+时，函数 的极限。记为,当 沿 轴的负向趋向无穷时
3、，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为-时函数 的极限。记为,二、自变量趋向有限值时函数的极限,例1 函数,由观察可知，当 趋 近于1（记为 1）时，函数 的值无限趋近 4，我们称4为 1时，的极限。记为,无限接近于0,例2 的值无限接近8。,换言之，当 1时，,（此时可以说 8就是 1,函数 的极限）,那么8就是当 1时，函数 的极限,（此时可以说 13就是 2时，函数 的极限）,例3=5+3,当 2时，的值无限接近13。,换言之，当 2时，,就说当 2时，函数 的极限是13,无限接近于0（无限小）,2.几何解释:,注意：,定理4(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一
4、的,函数极限的性质,定理5(有界性定理)若函数f(x)当x x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界,定理6(两边夹定理)如果对于x0的某邻域内的一切 x(可以除外)，有，且,则,3.单侧极限:,例如,当 从0的左侧趋向于0时，有,当 从0的右侧趋向于0时，有,左右极限存在但不相等,例8,证,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,一、无穷小,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,无穷小与无穷大,2.无穷小与函数极限的关系:,3.无穷小的运算性质:,定理2 在
5、同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,定理4:有限个无穷小的乘积也是无穷小.,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,四、小结,1、主要内容:,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数
6、；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,一、极限运算法则,定理,第四节极限的运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,二、求极限方法举例,例1,解,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,例7,解,左右极限存在且相等,三、小结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷
7、小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,第五节 两个重要极限,一 极限存在准则,二 两个重要极限,三 小结,四 思考题,一、极限存在准则,1.夹逼准则,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,例3,解,二、两个重要极限,(1),例,例 求,(2),例4,解,令,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则;单调
8、有界准则.,一、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,无穷小的比较,定义:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,二、等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,例3,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例4,解,解,错,三、小结,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无
9、穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,函数的连续性,一 连续函数的概念,二 函数的间断点,三 连续函数的运算法则,四 闭区间上连续函数的性质,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,二、函数的间断点,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.区间上的连续函数;,四、四则
10、运算的连续性,定理1,例如,极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,六、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例如,在0点的邻域内没有定义.,例3,例4,解,解,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,七 闭区间上连续函数的性质,推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,定义:,几何解释:,例1,证,由零点定理,四、小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,反函数的连续性.,
