检测系统的误差合成.ppt

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1、第2章 检测系统的误差合成,2.1 测量误差的基本概念 2.2 随机误差及其处理 2.3 系统误差的处理2.4 测量粗大误差的存在判定准则 2.5 测量系统的误差计算方法 2.6 测量系统最佳测量方案的确定,参考书：费业泰，误差理论与数据处理，机械工业出版社,研究误差的意义,由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们的认识能力的限制等，测量和实验所得的数据和被测量的真值之间，不可避免的存在差异，这在数值上即表现为误差。为了充分认识，并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。在科学实验与工程实践中，任何测量结果都存在误差。,研究误差的意义：,正确认

2、识误差的性质，分析产生误差的原因，以减小或消除误差。,正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。,正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。,从根本上，消除或减小误差,通过计算得到更接近真值的数据,根据目标确定最佳系统,2.1 测量误差的基本概念,2.1.1 测量误差的名词术语,（1）真值 指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的真实数值。真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念。在测量中，一方面无法获得真值，而另一方面又往往需要运用真值。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用“约定真值”和“相对真值”。约

3、定真值是指对给定的目的而言，他被认为充分接近于真值，因而可以代替真值来使用。在实际测量中，被测量的实际值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。相对真值叫实际值，是在满足规定准确度时用来代替真值使用的值。,（2）标称值 计量或测量器具上标注的量值。如:标准砝码上标出的1kg，受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于他的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出他的误差范围或精度等级。,（3）示值 由测量仪器给出或提供的量值，也称测量值，显示值。,（4）测量结果 由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还应包括测量不确定度和有关影响量的值。,（5）测量结果的精度 反映测量结

4、果与真值接近程度的量。他与误差大小相对应，即：误差大，精度低；误差小，精度高。也就是说精度是从另一角度评价测量误差大小的量，可细分为：（a）准确度（反映测量中系统误差的大小，即测量结果偏离真值的程度），（b）精密度（反映测量中随机误差的大小，即测量结果的分散程度），（c）精确度（反映测量中系统误差与随机误差综合影响的程度）。,任何一次测量中，系差和随差都是同时存在的，而且两者之间并没有严格的界限。,图2.1 测量的准确度与精密度,A为被测量真值，Aa、Ab分别是两组测量的平均值。精密度与准确度的区别由图2.1可知，曲线1表示准确却不精密（小，大）的测量，曲线2表示精密却不准确（小，大）的测量。

5、要同时兼顾准确度和精密度，才能成为精确的测量。,（6）测量不确定度 表征被测量的真值在某量值范围内不能肯定程度的一个估计。即不确定度就是测量误差极限估计值的评价。通常采用统计方法和非统计方法估计不确定度。,（7）测量误差 测量结果与被测量真值之差，即：测量误差=测量结果真值。,2.1.2 测量误差的分类,为便于分析与处理误差，按照其特点与性质，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。,（1）系统误差 在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，出现某种保持恒定或按一定规律变化着的误差称为系统误差。系统误差根据其变化规律又可分为已定系统误差（误差大小和符号已知）和未定系统误差（误差大小

6、和符号未知，但可以估计其范围）。在测量中，已定系统误差可以通过修正来消除，且应当消除此类误差。系统误差按误差的规律可分为不变系统误差（误差大小和方向为固定值）和变化系统误差（误差大小和方向为变化的）。变化系统误差按其变化规律又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差等。,图2.2 系统误差a不变系统误差；b线性系统误差；c非线性系统误差；d周期性系统误差；e复杂规律系统误差,（2）随机误差 在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，受偶然因素影响而出现误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化着，则此类误差称为随机误差。引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和数理统计方法

7、计算它出现可能性的大小。随机误差不可能修正，但在了解其统计规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果的影响。,随机误差具有以下特性：1）绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的可能性相等；2）在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一限度；3）绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出现的机会多（概率大）；4）随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。,（3）粗大误差 在测量结果中有明显错误的误差称为粗大误差，也称为寄生误差。这种误差主要是由于某种不正常的原因造成的，在数据处理时，应该剔除含有粗大误差的数据，但必须有充分依据。,2.1.3 误差产生的原因,误差的来源

8、测量装置误差环境误差方法误差人员误差,测量误差的表示方法,（1）绝对误差 被测量的测量值与其真值之差称之为测量绝对误差，简称误差，即 测量误差=测量结果真值,用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为5V，则修正后的测量结果为226+(5V)=221V。,测得值,相对真值,绝对误差,修正值：为了消除固定的系统误差用代数法加到测量结果上的值。修正值=相对真值测量结果测量误差,定义：被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对误差，即：,（2）相对误差 绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。比如，测量两个电阻

9、R110、R21000，测量过程中的误差R10.1、R21,但不能说R1比R2测量地准确。,例：用两种方法测得工件 的误差分别为：，无论从绝对误差还是相对误差看，显然第一种方法精度较高，但若用第三种方法测得：时的误差为，从绝对误差上不好判定精度的高低，因为 不是同一被测量，此时三者的相对误差为：,由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法最差。,（3）引用误差 引用误差为仪器仪表示值误差与仪表测范围上限的百分比，即：,引用误差是为了评价测量仪表精度等级而引入的。,测量仪表的精度等级应用最大引用误差，即绝对误差的最大绝对值|x|m与量程Xm的比值m：,国家标准GB776-76测量指

10、示仪表通用技术条件规定，电测仪表准确度等级指数分为7个等级：0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0，它们表示仪表的最大引用误差不能超过其等级指数的百分数。,例如，1.5级的电表，表明其m1.5%,例2-2：检定一台量程为5A的1.5级的电流表，在电流为2.0A处，其绝对误差为0.1A，问此电流表精度是否合格？解：由题意Im5A，1.5，I2.0A，I0.1A,此电流表精度不合格。,例2-3：测量一个约80V的电压，现有两块电压表，一块量程为300V 0.5级，另一块量程为100V 1.0级，问选择哪一块电压表好？解：使用量程为300V 0.5级电压表，测量的最大相对误差为：,使

11、用量程为100V 1.0级电压表，测量的最大相对误差为：,因此，应使用量程为100V 1.0级的电压表。选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满量程的2/3。,（4）分贝误差分贝误差定义为：分贝误差的单位为dB。,随机误差：服从大数统计规律的误差。在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的总体却服从正态分布。,2.2 随机误差及其处理,随机误差的特点正态分布 若测量结果中不含系统误差和粗大误差，测量列中的随机误差一般有以下几个特点：误差的对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数（概率）相等；误差的单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数

12、多（概率大）；误差的有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；误差的抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。,随机误差 是测量结果与在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值（真值）A之差。即,式中：,正态分布的随机误差 的概率密度 为,为均方根误差：,随机误差的概率分布 由于随机误差是由测量中一系列随机因素所引起的，因而随机变量的分布函数可用来描述随机误差取某一范围值及取值的概率。若有一非负函数，使得对任意的实数 有分布函数：则称 为的概率分布密度函数，即,为误差在a与b之间的概率。,1、正态分布如果用函数 来表示各个测得值出现的概率密度

13、分布函数，则：,称为正态分布函数或高斯分布函数。由此可见，只要参数m和已知，正态分布曲线就确定了。所以m和是决定正态分布曲线的两个特征参数，其中m表示测得值分布的集中位置，称为正态分布的位置特征，m值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状不变。则表示测得值的分散程度，称为离散特征。当改变时，分布曲线位置不变，但形状改变。,为均方差（标准偏差），而即2为方差，即,小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，大，曲线平坦，表示所测得值分散。当测量次数趋于无穷大时，m即为真值。,通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就是针对测量

14、次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言的。,实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前处理方法，即设标准单位利用标准正态分 布进行分析考察，如式 表2.1给出了标准正态分布 的一些 与 的代表数值。,表2.1 正态分布的概率密度和置信概率的数值表,测量结果在区间a,b内的概率为：,在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在哪个范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概率，两者是相互关联的。置信区间：定义为随机变量取值的范围，常用正态分布的标准误差 的倍数来表示，即，其中 为置信系数。置信概率：随机变量在置信区间 内取值的概率，即：置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率，即：,置信

15、系数Z越大，置信区间就越宽，置信概率就越大，对测量精度的要求就越低。,随机误差的估计,1、随机误差的表示方法由前面分析可知，在一定的置信概率P下，真值 一定落在以测得值 为中心，以误差限 为区间的一个范围内，即（2.16）式中 由于所取置信概率不同，以及表示误差的习惯差异，误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。,标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数k1，即真值 处于 范围内的可信程度为68.3%。,从正态分布曲线的几何图形上看，当 处正好是曲线的拐点，也即当 以后，概率密度变化比较慢，这就是选用标准差作为误差限的理由之一。,1)标准偏差,当置信系数 时，置信度P=99.73%

16、，故可以认为真值落在 范围内的概率已接近100%。因此，在工程测试中常以 这个参数来表示测量精度，称为极限误差或最大误差，用 表示，即,2)极限偏差,当每个测量结果 按 正态分布时，一组测量数据 的平均值为：,2、真值与标准偏差的估计,测量的主要任务是求得被测量的真值。真值是对同一检测量在同样条件下进行无限多次测量所取得的测量平均值。由于实际测量中的测量次数是有限的，所以测量平均值并不等于真值。,其数学期望值恰好就是真值m，即：,说明数据平均值就是真值 的无偏估计，即当 时，。,由于 也属于正态分布，因此可以用 的标准偏差来表征 的离散度，由误差传递法则可得：,其标准偏差为：,此式表明，子样平

17、均值的方差 并不等于母体方差，而只是它的N分之一。由这一结论可推论到等精度测量条件下，多批次测量（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值的平均值）要比单批次测量所获得的结果精确，而且测量次数越多，越小，越向母体真值 集中，即用 作为 的最佳估计值的离散度越小。然而，由于 与 成反比，随着测量次数增加，值的减小逐渐不显著了，故并非N越大越好。,由上所述，通常把测量数据的算术平均值作为被测量真值m的最佳估计值，即,定义残差：把测量值与算术平均值之差称为剩余误差（残余误差），简称残差，即,因为无法得到真值，实际中用各个残差来代替各个随机误差。,3、标准偏差的估计,例：测量某物理量10次，估计

18、其真值并计算每次测量的残差。测量结果：1879.64、1879.69、1879.60、1879.69、1879.57、1879.62、1879.64、1879.65、1879.64、1879.65,平均值：,残差：,先考虑残差平方和S,则的期望值为：,即,标准偏差的估计：,所以，方差的无偏估计为：无偏标准偏差为：,平均值的标准偏差的无偏估计值 为：,由于真值A未知，无法使用：,来计算随机误差，故用平均值代替真值，即用残余误差来代替随机误差。可以证明，测量列单次测量标准差的估计值为：,上式称为贝塞尔（Bessel）公式，根据此公式可由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。,（1）测量列中测量的标

19、准差,测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散性，此分散性说明了测量的不可靠性，由单次测量列的标准差来作为其不可靠的评定标准。,总结：,算术平均值的标准差：,（2）测量列算术平均值的标准差,在测量中，是以算术平均值作为测量结果的，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准测量列算术平均值的标准差。,由此可知，在n次测量的测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的。当测量列的测量次数n越大，算术平均值越接近测量值的真值，测量精度也越高。在实际测量中，一般取n次左右即可。,例 甲、乙二人分别用不同的方法对同一电感进行多次测量结果如下（均无系统误差及粗差）：甲(mH)：1.28，1

20、.31，1.27，1.26，1.19，1.25 乙(mH)：1.19，1.23，1.22，1.24，1.25，1.20试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及其标准差）解：算术平均值：,求各个残差：,使用贝塞尔公式求甲乙二人测量的标准差：,求算术平均值的标准差：,可见两人测量次数虽相同、但甲的算术平均值的标准差估计值相差较大，表明乙所进行的测量精密度高。,例：对某量进行6次测量，测得结果如下：802.40,802.50,802.38,802.48,802.42,802.46,求算术平均值及置信概率为95.44%（正态分布）时算术平均值的极限误差。解：,算术平均值：,标准差：,算术

21、平均值的标准差：,置信概率为95.44%（正态分布），得到置信系数t=2,算术平均值的极限误差：,单次测量的极限误差：,即单次测量的误差绝对值不超过0.094的概率为95.44%,即多次测量的平均值误差的绝对值不超过0.038的概率为95.44%,5、测量结果的数字表示方法）如果已知测量列标准偏差为，作一次测量，测得值为X，则通常将被测量X的大小表示为）当用n次等精度测量的算术平均值 作为测量结果时，其表达式为,2.3 系统误差的处理,系统误差的特点是在一定条件下，其数值服从某一确切函数规律，故其处理方法原则上可结合专业知识，通过理论分析或实验方法加以掌握。由于系统误差常涉及到对具体测量对象、

22、测量原理及测量方法的具体分析，因此，系统误差的发现与处理往往比随机误差困难得多，而系统误差的存在对测量结果的影响也比随机误差严重，所以，必须消除系统误差的影响，以将其降低到允许限度之内。对系统误差的处理，通常涉及到以下几个方面：1）判断系统误差是否存在；2）分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除；3）在测量过程中采取某些有效措施，尽量消除或减小系统误差的影响；4）设法估计出残存系统误差的数位或范围。,1、恒值系差的判别 实验对比法。这种方法主要是用于发现不变系统误差（恒值系差）。例如0级量块，公称尺寸 时，由于制造偏差，其中心长度相对 有一不变系统误差，多次重复测量不能发现此误差，当用一等

23、量块与其比较测量时，就可检定出0级量块中心长度实际值，系统误差 可以找出来。,系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。系统误差不具有抵偿性，它是固定或服从某一确定规律变化的误差。系统误差有恒值系差和变值系差两种情况，下面分别介绍这两种系差的常用判别方法。,2.3.1 系统误差的判别,2、变值系差的判别残余误差观察法 残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。这种主要用来发现有规律变化的系统误差。若测量列含有变值系差，其测得值为：。设其系统误差为：，其

24、不含系统误差测量值为：，则有：取算术平均值：。其中 表示不含系差的测得值的平均值，表示系统误差的平均值。因为，相应（不含系差测量值与其平均值之差），所以有,式中 系差的算术平均值。由于=不含系差测量值-不含系差测量值的平均值，故 主要反映了随机误差的影响，当测量列中系统误差显著大于随机误差或测量次数比较大时，可以略去，则，由于 为确定值，所以测量列中残余误差 的变化主要反映测量中系统误差 的变化。若将测量列的 按序作图进行观察，并与下图的图形比较，即可判断有无系统误差。,由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的残余误差约为系统误差与测量列系统误差平均值之差。,图2.6 含系差的测量

25、列（a）大体上正负相间无显著变化规律不存在变化的系差；（b）有规律地向一个方向成比例变化有线性系差存在；（c）有规律地重复交替呈周期性变化周期性系差存在；（d）呈周期性与线性复合变化复杂系差存在。,例：对恒温箱温度测量10次，数据如下：20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.14,20.18,20.18,20.21。判断该测量有无有规律变化的系统误差。解：1、求测量值的算术平均值：2、求残差：3、按测量的顺序作图：,规律曲线可见有近似线性的系差存在,3、不同公式计算标准差比较法按贝塞尔公式：按捷尔斯公式：令若则怀疑测量列中存在系统误差。,2.3.2 减小或

26、消除系统误差的方法 一般来说，消除或减小系统误差的方法有：（1）从产生误差根源上消除 在测量前，通过分析比较尽量发现并消除（或减小）产生系统误差的来源。例如按测量规程调整仪器，测量前后都必须检查仪器零位是否变化，选择合理的支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。,（2）用修正方法消除恒值系差 引用修正值对测量结果进行修正，即对仪器不仅要正确选择和使用，且要定期检定和校准。例如，将测量出的系统误差数值做成误差表或误差曲线，或作为修正值，将与其大小相等、符号相反的数值加入到测量结果中，即可基本消除测量结果中系统误差的影响。（3）采用一些专门的测量技术和测量方法。典型测量方法有以下几种：1）

27、替代法消除恒值系差 替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量 接在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然后用与被测量相同的同类标准量 替代，调节标准量，使测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，即=。可见替代法的特点是测量装置的误差不影响测量结果，但测量装置必须有一定的稳定性和灵敏度。,例如：在电桥上用替代法测电阻，先把被测电阻，调节电桥比例臂 和比较臂 使电桥平衡，则。显然桥臂参数的误差会影响测量结果。若以标准量电阻 代替被测 接入电桥，调节 使电桥重新平衡，则。由此可知，=，且桥臂参数的误差不影响测量结果，仅取决于 的准确度等级。2）交换法消除恒值系差 交换法又称对照法。它将测量

28、中的某种条件相互交换，使产生系统误差的原因对测量结果起相反的作用，从而抵消了系统误差。例如：如图2.8所示测量物体重量装置，x与P平衡后，则，然后将x与P交换位置，由于臂长 与 不可能绝对相等，即，则，二式相乘即可得到：,将上式按级数展开，舍去高阶项，即得：图2.8 代替法消除不变系差,2.4 测量粗大误差的存在判定准则,在无系统误差的条件下进行等精度测量时，对残差绝对值较大的测量数据，可列为可疑数据，它对平均值，特别是对标准误差的估计将会产生较大的影响。如果可疑数据确实是由粗大误差所引起，则称其为坏值。坏值必须剔除，否则会造成测量结果错误。但并不是所有可疑值均为坏值，它可能预示着测量仪器、测

29、量方法、测量条件的不正常、不稳定，甚至于预示着一种新的物理现象被发现。故发现可疑数据时，要仔细分析或增加观测次数，进行重复测量，尽可能正确判断所产生的原因，决不能轻易将其示为坏值的数据，应根据误差理论来决定取舍。根据误差理论判定粗大误差的基本方法是：给定一个置信概率，并确定一个置信区间，凡超过此区间的误差即认为它不属于随机误差而是粗大误差。,拉依达准则 准则 一般呈正态分布的随机误差分布在 以外的概率为0.0027，即约0.3%，相当于，为小概率事件，故当测量值的时，则可认为 对应的测量值含有粗大误差，应予以剔除。式中 被怀疑为坏值的测量值；所有测量值的算术平均值；被怀疑为坏值的测量小残差；包

30、括坏值在内的全部测量值的标准误差的估计值。,例：对某量进行了15次等精度测量，结果如下：20.42,20.43,20.40,20.43,20.42,20.43,20.39,20.30,20.40,20.43,20.42,20.42,20.39,20.39,20.40。这些测量值已经消除了系统误差，试判断结果中是否有含有粗大误差的测量值。解：1、求平均值：2、求残差：3、求标准差：,根据 准则，第8个测量值的残差：,因此，第8个测量值含有粗大误差，应剔除。剔除后，再根据剩下的14个数据重新计算。,剩下的14个数据的残差均满足：故可以认为这14个数据不再含有粗大误差。,数据处理实例,例：对某一轴径

31、等精度测量9次，得到数据如下（单位mm）：24.774,24.778,24.771,24.780,24.772,24.777,24.773,24.775,24.774。分析测量结果（假定不存在恒值系统误差）。解：1、求算术平均值：2、求各个残差：,4、判断粗大误差（根据 准则）：所有数据的残差均满足：故可以认为这9个数据未含有粗大误差（如果含有粗大误差应剔除，然后重新判断剩下的数据）。,3、求单次测量的标准差（贝塞尔公式）：,5、判断有无按一定规律变化的系统误差：方法1：将各个残差按照测量的顺序绘制图形，观察。（图略）通过图形可以判断该测量列没有变化的系差存在。方法2：不同公式计算标准差比较法

32、。捷尔斯公式：,因为：,故可判断无有规律变化的系统误差。,6、求算术平均值的标准差：7、算术平均值的极限误差（置信概率为95.44%，正态分布）8、最后，写出测量结果：,2.5 测量系统的误差计算方法,一个测量系统总是由若干子系统所组成，每个子系统都具有不同的误差，这些误差再通过一定的传递从而形成系统的总误差。,比如，要测量电阻的功率，就需要测得电阻、电流和电压中的任意两个，如：PUI 被测量相当于函数，直接测量得到的U、I为函数的变量。显然，直接测量的变量含有误差，被测量的误差（函数误差）必然与自变量的误差有关。,任何测量结果都包含一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用

33、的结果。本章前面部分主要介绍了直接测量的误差计算，本节将介绍间接测量中的误差问题。,研究函数误差理论主要解决三个问题：已知函数关系和自变量求函数误差误差的合成；已知函数关系和函数误差求各个自变量的误差误差的分配；寻找使函数误差达到最小值的条件。,一、误差的合成 间接测量是通过直接测量与被测量有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系计算出被测量，间接测量的误差则是直接测量值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，对于这种具有确定关系的误差计算，也称之为误差合成。1、函数系统误差的计算：（系统误差的合成）设被测量y与n个独立变量x1,x2,xn具有函

34、数关系：,对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示：,若已知各个直接测量值的系统误差为：由于这些误差值都较小，可用来近似代替上式中的 从而可以近似得到函数的系统误差为：,上式称为函数系统误差公式。,如果函数形式为线性公式：,则函数系统误差为：,例：用弓高弦长法间接测量大直径，直接测得弓高h和弦长s，然后通过函数关系计算出直径D。若弓高与弦长的测量值及其系统误差为：求测量结果。,已知函数关系式：,解：若不考虑测量的系统误差：,直径D的系统误差：,通过修正可消除直径D的系统误差，则被测直径的实际尺寸为：,2、函数随机误差的计算（随机误差的合成）随机误差用表征其取值分散程度的标准差来评定，对于函数随

35、机误差也用函数的标准差来评定。因此，函数随机误差的计算，就是研究函数y的标准差与各测量值x1,x2,xn的标准差之间的关系。如果将各测量值的随机误差 代替函数全微分式中的：则只能得到函数的随机误差，而得不到函数的标准差。,为了得到函数随机标准差，要对函数的每一个变量都进行n次测量，这样可得到每个变量的标准差：可推导出，当各测量值x1,x2,xn相互独立时，函数随机误差公式为：,例：用弓高弦长法间接测量大直径，直接测得弓高h和弦长s，然后通过函数关系计算出直径D。（假设测量过程中无系统误差）若经多次测量得弓高与弦长的算术平均值和标准差为：求测量结果。,已知函数关系式：,解：若不考虑测量的误差：,

36、直径D的标准差：,测量结果为：,二、误差的分配 函数误差是由函数的各个变量的误差综合影响所决定的，那么，当如果给定了测量结果允许的最大总误差，如何来确定各个变量的误差，这就是误差分配问题。误差分配问题在设计实验中经常遇到。比如用伏安法测电阻：要求满足一定的，就要首先确定、，以进一步选择所用电压表、电流表的精确等级。误差的分配主要是研究随机误差的分配问题。,若已经给定，需要确定 或相应的，使满足：,显然，式中 可以是任意解，为不确定解，因此需要按以下步骤求解。,设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则由函数随机误差公式：,式中：,1、按等作用原则分配误差 等作用原则认为各个部分对函数误差的影响相

37、等，即：由此可得：,2、按可能性调整误差 等作用原则分配误差可能出现不合理的情况，所以必须根据实际情况对按等作用原则分配的误差进行调整，对于难以实现测量的误差适当扩大，对容易实现测量的误差尽可能的缩小。,3、验算调整后的总误差 调整后，再用函数随机误差公式验算，看调整后函数误差是否适合给定的要求。,例：根据下面公式测量一个圆柱体的体积V，其中D为圆柱直径，h为高。若要求测量体积V的相对误差为1%，试确定D和h的测量精度。已知直径和高的标称值为：D020mm，h050mm,解：不考虑误差体积为：,允许的体积的最大绝对误差为：,按等作用原则分配误差，可得直径D和高h允许的最大误差为：,接下来选择测

38、量器具：1、选择某千分尺测直径D，在20mm测量范围内，测量的最大误差为0.013mm；高度h用分度为0.10mm的游标卡尺测量，50mm内测量的最大误差为0.150mm。那么用这两种器具测量体积的函数误差为：,因为：,显然用这两种器具测量可以满足测量要求，但不够合理，需要进行调整，选用精度较低的器具。,2、改用分度值为0.05mm的游标卡尺测量直径和高，在50mm内，最大误差为0.08mm。调整后，测量结果的最大误差为：,调整后，用一把游标卡尺测量即能保证测量精度。,作业,1、用两种方法测量L150mm、L280mm，测量结果各为50.004mm和80.006mm，试评价两种测量方法测量精度

39、的高低。2、被测电压实际值大约为21.7 V，现有1.5级、量程为030 V的A表，1.5级、量程为050 V的B表，1.0级、量程为050 V的C表，0.2级、量程为0360 V的D表，四种电压表，请问选用哪种规格的电压表进行测量所产生的测量误差较小?,3、对某量进行10次测量，测得数据为：14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0。使用不同公式计算法，判断测量列中是否含有系统误差。4、对某信号源输出电压的频率f进行8次测量，数据如下（单位Hz）：1000.82，1000.79，1000.85，1000.84，1000.78，1000.

40、91，1000.76，1000.82。求测量列的数学期望及标准差的估计值。,5、测量某电路的电流I22.5mA，电压U12.6V，测量的标准差分别为：求所耗功率PUI及其标准差。（随机误差的合成）,6、按公式 求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于1%，试问r和h测量时误差应为多少。（按等作用分配）,测量系统随机误差的计算 一般常用初等多元函数表达系统中各直接测量值 与 函数的内在联系，即，而多元函数的增量可用其全微分表示，即（2.36）式中 函数误差，可认为是系统总随机误差；各分项随机误差的大小（）；误差传递系数（）。,下页,上页,返回,式（2.36）可以作

41、为随机误差计算的通用公式。当函数关系 确定后，函数总随机误差 可求。在一般情况下，常采用标准偏差作为随机误差的统计平均估计。式（2.36）中用 代替后，其传递关系将发生变化。一般情况下，随机误差按方差传递计算为：（2.37）当各测量值的随机误差为同一分布时（即在同概率水平下），可用随机误差极限值进行计算：（2.38）若 时，则（2.39）,下页,上页,返回,式（2.38）和式（2.39）可作为广泛使用的极限误差合成公式。2.5.2 测量系统系统误差的计算（1）已定系差的计算由式（2.36）知，当各分项误差为已定系差时，可视为其增量，即：（），则函数增量为系统误差，即：。故（2.40）只要函数关

42、系 及（）确定后，总可求得系统误差。（2）未定系差的计算 在一定测量条件下，未定系差只能估计取值范围（），而不能确定其具体值，在取值范围内，,下页,上页,返回,随机测量条件的改变，往往未定系差也随之变化，多次测量取平均值也消除不了其影响。因此在（）区间，未定系差具有与实验条件密切相关的概率分布。由于实际上此分布很难求出，故往往按均匀分布或正态分布去处理，这样就可以像随机误差一样用未定系差分布的标准差或极限误差来表征其取值的布散性。若有 项未定系差，其标准差分别为，相应的误差传递系数为，设各测量值 相 互独立，即相关系数，协方差（）。则项未定系差合成后的总标准差为（2.41）,下页,上页,返回,

43、若各单项未定系差的极限误差为。项合成后总未定系统误差为：（2.42）将式（2.41）代入可得：（2.43）（2.44）在同概率同分布时，有相同的置信系数，因此，则（2.45）,下页,上页,返回,需要说明的是：式（2.43）中的置信系数，在各 分布不同时，可用卷积求出；在正态分布时，式（2.45）仍是一般计算的通用公式。2.5.3 测量系统总误差的计算（1）按极限误差合成 若测量系统中有r项已定系差，s项未定系差，q项随机误差，其极限值分别为：（相当于）（相当于）为处理方便，假设其传递系数，协方差简化 为，则系统总的极限误差为：,下页,上页,返回,（2.46）其中 可用卷积积分求出。在r、s、q

44、较大时已趋于正态，故上式多项不同分布之总和分布可简化为：（2.47）若修正系差确定后，则总的极限误差为：（2.48）考虑到测量中常常以多次测量平均值为结果，系统 中随机误差由于有抵消性而减至，未定系差则不变，故上式为,下页,上页,返回,（2.49）（2）按方差合成 此时只考虑未定系差与随机误差。设系统中有：s项未定系差，其标准差为；q项随机误差，其标准差为。假设其传递系数，协方 差为，不管未定系差、随机误差分布如何，总的标准差为：（2.50）取算术平均值后其结果为：（2.51）,下页,上页,返回,2.6 测量系统最佳测量方案的确定,面对各种各样的被测对象和被测量，由于所采用的测量设备及条件不同

45、，可设计出各种不同的测量方案，但哪种方案最佳，即能最经济保证测量精度要求，从而达到试验设计的目的，是测量设计必须研究的问题。2.6.1 微小误差准则在实际中，系统误差不可能完全消除，而只能减小到某种程度，使它对测量结果的影响小到可以忽略不计。在测量方案中，可不考虑此项误差时，测量方案既精减，而又减少了不必要的计算，则可大大简化工作量，这种误差称为微小误差。那么，如何确定微小误差呢？下面介绍几种常用的准则。,下页,上页,返回,（1）恒值系统误差的微小准则 设第 项系统误差为 微小误差，当 不超过总误差 的最后一位有效数的1/2时，根据舍入原则，可把 忽略掉。所以，当误差 仅用一位有效数字表示时，

46、恒值系统误差的消除准则为 即当小的恒值系统误差与用绝对值合成的总误差之比不大于1/20时，则认为该小误差是微小误差，可忽略。工程上，1/20要求太苛刻，故常常放宽到1/10，即1/10准则。即当 时，可视为微小误差而忽略。（2）随机误差的微小准则微小误差的1/3准则,下页,上页,返回,（2）随机误差的微小准则微小误差的1/3准则 设合成的总随机误差为，而第 项随机误差 为微小误差，令，则同样可得到此时的微小误差准则。当误差取一位有效数时，则即 则 即 所以其准则为：当小的随机误差不大于用方和根法合成的随机总误差的1/3时，则该误差为微小误差可略去。（3）不确定度的微小准则与随机误差微小误差准则

47、相似，设用广义方和根法合成的总不确定度为，第 项不确定度 为微小不确定度，若,下页,上页,返回,时，则 为微小不确定度，可略去。值得注意的是：这个准则是对系统不确定度和随机不确定而言的，当 为随机不确定度时，可选择1/3限制；当 为系统不确定度时，可选择1/31/9限制。在工程中常分不清系统不确定度与随机不确定度各占多少，因而可笼统地平均选择1/5限制。2.6.2 确定最佳测量条件 由式（2.37）可知，当时，若能使 为最小，即为最佳测量条件。一般可以从以下几个方面考虑：（1）选择使函数误差 值较小的测量方案,下页,上页,返回,一般情况下，同一种被测量可以有不同的测量方 案。若能使测量方案中包

48、含的局部误差 的组成项数愈少，测量结果的总误差就会愈小。因此，首先选用测量项目较少的函数公式；其次考虑当组成的项数相同时，应选取测量误差较小的测量方法，以达到最佳的函数误差传递。（2）使各个测量值的误差传递系数等于零或最小 若，则；若 为最 小，则 为最小。由式（2.37）知，在上述 条件下 或 为最小值。,下页,上页,返回,2.6.3 函数误差的分配 实际工作中，往往是根据测试目的和要求，先规定被测量的总误差要求，后根据测量精度要求设计或选择测试方案，确定各分项误差的允许大小，即合理地进行测量误差的分配，以保证测量精度。由于任何测量皆存在多个分项，所以从理论上讲，误差分配方案可有无穷多个。因此，只能在某些前提下进行分配。下面介绍两种常用的误差分配原则。（1）等精度分配等作用原则是指分配给各分项误差彼此相等，即：由此可得到分配给各项的误差为：,下页,上页,返回,通常，等精度分配用于各分项性质相同（量纲相同），大小相近的情况。（2）抓住主要误差项进行分配 当各项误差中第项误差特别大，而其他各项误差按微小误差准则可忽略，这时可不考虑次要分项的误差分配，只要保证主要项的误差小于总误差即可，即：当 时，可只考虑主要项的影响，即,下页,上页,返回,主要误差项也可以是若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，对影响较小的次要误差项可不考虑或酌情分给少量误差比例。,上页,返回,