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1、案例1：如何估计池塘中鱼的数量,一、问题：要估计一个池塘里有多少条鱼，可以采用“标志重捕法”，即：先重池塘中捕出r条，每条鱼都做上记号，经过一段时间后，再从池塘中捕出s条（sr），统计其中标有记号的鱼的条数t,利用这些信息，估计池塘中鱼的条数N.,需要作哪些假设？,1、实验期间，标记个体不会变化。2、标记不会对鱼造成伤害。3、期间没有迁出、迁入、新生和死亡。4、所有鱼被捕获的概率相等。,模型假设,二、问题的分析与求解,解法一：用概率的统计定义方法求,从而，N的估计为：,可用参数估计方法求解,解法二：用矩估计方法求,易求得：,与解法一结果一致！,解法三：二项分布与最大似然估计,评述：,1、同一问
2、题可用不同方法求解。2、类似问题可用同样方法去考虑。3、估计动物群体数量还可用其它方法，如“轰赶法”.,案例2：产品质量验收中抽样方案的确定,一、问题：一批产品出厂之前，要进行质量验收，一般采用抽样检验法，即从一大批产品中随机抽出n件，用这n件产品的质量信息推断整批产品的质量状况，以确定这批产品是否合格。在抽样之前要确定抽样方案，即样本容量及接受这批产品的准则。,二、问题的分析与模型的建立,显然，接受概率L是p的函数，记为L=L(p)，称为接受概率曲线，或抽样特征曲线，也称OC曲线.L(p)是p的减函数.,由于抽样的随机性，有可能拒绝一批高质量的产品，犯这类错误的概率记为，称为生产风险；也有可
3、能接受一批低质量的产品，犯这类错误的概率记为，称为使用风险。,只有增大容量n才能同时降低这两类错误的概率，但这样做通常是不可行的！,一种折衷的方案是生产者和使用者都承担一定的风险.,高质量的产品(p较小)使用方以高概率接受，以保护厂方利益；低质量的产品(p较大)使用方以低概率接受，以保护使用方利益。,由于L(p)是p的减函数，所以n,d也可由下式确定,现要验收一批产品，如果该批产品的次品率p0.1就拒绝这批产品。并且要求当p0.1时接受这批产品的概率为0.1，试为验收者制定验收抽样方案。,三、举例,抽查112件产品，如果抽得的不合格品数不超过8件，就接受该批产品，否则拒绝该批产品。,四、问题的
4、扩展,也可用上述方法确定计量质量指标抽样检验方案,因此，抽样检验检验方案可以用(n,c)表示。,解上述方程组，得,五、问题的进一步思考,一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.每份报纸订购价格为b，零售价格为a，退回价格为c(a b c).请你为报童制定一个最佳订购方案.,案例3：报童的订报模型,二、问题的分析,报童每天卖出报纸的数量是一个随机变量，因此报童每天的收入也是一个随机变量,所以作为优化模型的目标函数,不能是报童每天的收入,而应该是他长期卖报的日平均收入.,从大数定律的观点来看,这相当于他每天收入的期望值.,另一方面,如果报纸订得太少,供不应求,报童就会失
5、去一些挣钱的机会,将会减少收入;但如果订多了,当天卖不完,每份得赔钱,报童也会减少收入.,设报社有足够的报纸可供定购；当天卖不出去的报纸只能退回；报童除了订购报纸费用外,其它费用(如交通费、摊位费等)一概不计；报童每天订购n份报纸,实际能卖出r份报纸,且P=r=p(r).（分布律是什么？泊松分布还是正态分布？）,三、模型的假设,如果0rn,则售出r份报纸增加收入(a-b)r,退回n-r份减少收入(b-c)(n-r)；如果rn,则售出n份报纸增加收入(a-b)n.因此报童每天收入的期望值：,问题归结为在a,b,c,p(r)为已知时,求n使f(n)最大.,四、模型的建立,期望值模型,将r视为连续变
6、量,五、模型的求解与结果,结果解释,取n使,a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱,六、模型结果的模拟检验,poisscdf(104,100)ans=0.6784,此时，平均每天收益的期望,cleara=2.0;b=1.0;c=0.5;n=104;x=0:n;p=poisspdf(x,100);d=(a-b)*x-(b-c)*(n-x);f=sum(d.*p)f=f+n*(a-b)*(1-poisscdf(n,100),f=94.5115,这是解析计算的结果！,利用伪随机数产生函数poissrnd作随机模拟,clearN=5000;G=zeros(N,1);m=104;a=2.0;b=
7、1.0;c=0.5;X=poissrnd(100,N,1);for I=1:N if X(I)=m G(I)=(a-b)*m;else G(I)=(a-b)*X(I)-(b-c)*(m-X(I);endend f=mean(G),f=94.5863,f=94.7597,再算一次！,每天平均的收益的模拟值,随机模拟求最佳订购数量,cleara=2.0;b=1.0;c=0.5;M=50:150;k=length(M);A=zeros(k,1);for J=1:kN=5000;G=zeros(N,1);m=M(J);X=poissrnd(100,N,1);for I=1:N if X(I)=m G(
8、I)=(a-b)*m;else G(I)=(a-b)*X(I)-(b-c)*(m-X(I);endend A(J)=mean(G);end Y,I=max(A)n=M(I)Y,n=105Y=94.6011,再算一次！,n=104Y=94.8050,七、模型的推广,报童订报模型适用于一些季节性强、更新快、不易保存等特点的货物订货模型.但是模型中有一个严格的限制条件：两次订货之间没有联系,这种策略是决策论中的一种定期定量订货策略.,案例4：轧钢中的浪费,轧制钢材两道工序,粗轧(热轧)形成钢材的雏形,精轧(冷轧)得到钢材规定的长度,粗轧,钢材长度正态分布,均值可以调整,方差由设备精度确定,粗轧钢材长
9、度大于规定,切掉多余 部分,粗轧钢材长度小于规定,整根报废,问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小,背景,分析,设已知精轧后钢材的规定长度为 l，粗轧后钢材长度的均方差为,记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m,2),切掉多余部分的概率,整根报废的概率,存在最佳的m使总的浪费最小,P,建模,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,粗轧N根,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,得到一根成品材平均浪费长度,更合适的目标函数,优化模型：求m 使J(m)最小（已知l,）,建模,粗轧N根得成品材 PN根,求解,求 z 使J(z)最小（已知）,
10、求解,例,设l=2(米),=20(厘米)，求 m 使浪费最小。,=l/=10,求解,97年赛题：零件的参数设计,一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。,进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制
11、造成本，容差设计得越小，成本越高。,试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。,一、模型的假设（略）,二、问题的分析与建模,该优化问题的目标是：由产品的质量损失L和零件的成本C二者构成的费用函数最小，质量损失取决于产品参数偏离目标值y0的大小，由所给数据，可设质量损失函数,function z=ff(x)z=174.42*(x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)0.85*sqrt(1-2.62*(1-0.36*(x(2)/x(4)(0.56)1.5*(x(4)/x(2)1.16)/(x(6)*x(7);,function y=ff1(x)y=-8721/250000*(3*
12、x(1)-20*x(2)*x(3)*10(1/2)*(6250*x(2)-3275*(25-9*(x(2)/x(4)(14/25)(1/2)*x(4)*(x(4)/x(2)(4/25)+1179*(25-9*(x(2)/x(4)(14/25)(1/2)*x(4)*(x(4)/x(2)(4/25)*(x(2)/x(4)(14/25)/x(2)/x(6)/x(7)(1/2)/x(5)/(-x(3)/(-x(2)+x(1)(3/20)/(-x(2)+x(1)2;,function f,g=jianm97(x,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10)%本函数为优化目标函数K=10
13、0000;%t=0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.05,0.05;t=0.05,p1,p2,p3,0.1,p4,p5;C=25+p6+p7+p8+50+p9+p10;a=0.075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625;b=0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935;%C=275;f=K*(ff(x)-1.5)2+(K/9)*(ff1(x)*x(1)*t(1)2+(ff2(x)*x(2)*t(2)2+.(ff3(x)*x(3)*t(3)2+(ff4(x)*x(4)*t(4)2+(ff5(x)*x(5)*t(5)2+
14、.(ff6(x)*x(6)*t(6)2+(ff7(x)*x(7)*t(7)2)+C;g=a-x x-b;,%97年建模题 零件参数的设计(A题)%本文件为可执行文件（主程序）clear allx1=0.075,0.375,0.125,0.1185,1.1616,19.96,0.5626;f=100000;N=0;ch2a=0.1,0.05;%第二个零件的等级ch3a=0.1,0.05,0.01;ch4a=ch3a;ch6a=ch3a;ch7a=0.05,0.01;cb2n=20,50;%第二个零件的成本cb3n=20,50,200;cb4n=50,100,500;cb6n=10,25,100;
15、cb7n=25,100;for I=1:2 for J=1:3 for K=1:3 for L=1:3 for M=1:2x,opt=constr(jianm97,x1,ch2a(I),ch3a(J),ch4a(K),ch6a(L),.ch7a(M),cb2n(I),cb3n(J),cb4n(K),cb6n(L),cb7n(M);,N=N+1if opt(8)f f=opt(8);ch2=ch2a(I);ch3=ch3a(J);ch4=ch4a(K);ch6=ch6a(L);ch7=ch7a(M);cb2=cb2n(I);cb3=cb3n(J);cb4=cb4n(K);cb6=cb6n(L);cb7=cb7n(M);xx=x;end end end end endendfxxch=0.05,ch2,ch3,ch4,0.1,ch6,ch7cb=25,cb2,cb3,cb4,50,cb6,cb7,三、模型的结果,参数的标定值：,容差等级：（B,B,B,C,C,B,B）,平均每件产品的总费用Z=748.7（元）,
