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1、1,角动量变化定理和角动量守恒 1.质点的角动量 2.质点角动量变化定理 3.质点系角动量变化定理和角动量守恒定律,2,1 质点的角动量,质点对O点的角动量：,角动量的大小：,右手螺旋定则：右手四指由r经小于180角转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。,必须指明是对哪个点而言的,3,(2)的大小在0 之间变化，如果把动量分解为径向分量 和横向分量，则仅横向分量才对角动量有贡献。,一般情形下，和 都是变化的，所以 没有确定的方向，但任一时刻，总垂直于 和 所确定的平面。在直角坐标系下，的三个分量为：,注意两点：,(1)质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此对不同的参考点，角动量 不同;,
2、4,作圆周运动质点对O点的角动量的方向垂直于圆周平面，大小为,把过O点并垂直于圆周平面的直线当成转轴，上式表示质点绕该轴转动的角动量。,5,直线运动的角动量,若质点m沿直线运动，任一时刻相对于参考点o的矢径为，动量为，如下图。在计算其角动量时，注意有两个特点：(1)o点到 方向的垂直距离 不变;(2)方向不变;,假如 的大小也不变，显然 的大小不变。这表明，自由质点对任意参考点的角动量保持不变。,6,质点角动量定理,质点对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点所受合力对该固定点的力矩,力矩：,方向用右手螺旋定则判断，大小为,7,证明：牛顿定律 角动量定理,因，则有,即,8,质点
3、角动量守恒定律：,当质点不受力，或所受合力矩M=0时,，常矢量,质点角动量的大小和方向都保持不变。,【例1.20】开普勒第二定律：行星相对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。,在微观物理现象中，角动量守恒起到十分重要的作用。,9,设 t 时刻，行星在 点，时刻在 点，矢径 扫过的面积为dA，由于dt很小，该面积近似为一三角形面积，即,式中，就是三角形的高，ds是三角形底边长度，也就是行星在dt时间内运动的距离，这样,10,而行星的角动量 大小恒定，所以,常量,如果一个力的方向始终指向某一点，这力称为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的力矩恒为0，因此，在有心力作用下的质点对力心的角动量守
4、恒。,这就是开普勒第二定律。,11,质点系角动量变化定理和角动量守恒定律,1.质点系角动量,2.质点系角动量变化定理,质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点系所受对该固定点的合外力矩,合外力矩：,12,证明：对第i 个质点应用角动量定理,对i 求和,任意一对内力的力矩之和为零：,内力总成对出现，则质点系所受合内力矩等于零，对总角动量没有影响。,13,3.角动量守恒定律,如果质点系所受合外力矩，则,实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的过程，都遵守角动量守恒定律。,14,【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球，开始弹簧处于自
5、然长度，两小球静止。今同时打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。,k,解,质心C点固定不动，相对C点系统的角动量守恒。,系统：弹簧和小球,初始时刻角动量：,15,弹簧达到最大长度时，小球只能沿垂直于弹簧轴线方向运动，则系统的角动量,机械能守恒：,16,例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点 A(该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A,点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略去不计求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速
6、度,17,解 小球受力、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,得：,18,考虑到,得,19,角动量定理：,合外力矩为0，角动量守恒。,20,二 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律,1刚体定轴转动的角动量,21,2 刚体定轴转动的角动量定理,由于刚体转动惯量为一常量,所以,即,称刚体定轴转动的角动量定理,22,非刚体定轴转动的角动量定理,3 刚体定轴转动的角动量守恒定律,对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 到 内，角速度从 变为，积分可得：,23,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守恒条件,若 不变，不变；若 变，也变，但 不变.,24
7、,许多现象都可以用角动量守恒来说明.,花样滑冰跳水运动员跳水,点击图片播放,25,刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。,26,27,28,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律,电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等,29,其中,m,讨论,水平方向动量守恒,？,30,例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为M、长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质量为m的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度v及杆的转动角速度。,解：在水平面上，碰撞过程中系统角动
8、量守恒，,（1）,31,弹性碰撞动能守恒，,（2）,其中,联立(1)、(2)式求解,32,例3 摩擦离合器 飞轮1：J1、w1 摩擦轮2：J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。,两轮对共同转轴的角动量守恒,解：,试与下例的齿轮啮合过程比较。,33,两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：,解：,例4 两圆盘形齿轮半径r1、r2，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1、J2，开始 1轮以 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。,34,得：,35,例5 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以
9、速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,36,解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒,37,由角动量定理,考虑到,38,例6一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来问演员N可弹起多高?,39,设跷板是匀质的，长度为l，质量为，跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,解碰撞前M落在 A点的速度,碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度,40,M、N和跷板组成的系统，角动量守
10、恒,l,l/2,C,A,B,M,N,h,41,解得,演员N以u起跳，达到的高度：,42,.,解：碰撞前的瞬间杆对 点的角动量为,.,式中 为杆的线密度,43,因碰撞前后角动量守恒，所以,44,45,解(1)设当人以速度 沿相对园盘转动相反的方向走动时，园盘对地转动的角速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为,(1),(2),46,(2)欲使盘对地静止则(3)式必为零即,.,(式中负号表示人的走动方向与上一问中人的走动方向相反,即与盘的转动方向一致)。,47,48,49,根椐角动量定理，有,解得,50,例3.2.3 重力有一特点，地球上任一物体受到的重力都指向地心;同样，在点电荷产生的静电场中，其
11、他点电荷受到的作用力都指向场源电荷。人们把物体所受的指向一固定点的力称为有心力，把对应的力场称为有心力场。证明：(1)在有心力作用下运动的物体，角动量守恒;(2)所有有心力都是保守力，因而有心力场中运动质点机械能守恒;(3)在与距离成平方反比的有心力场中，龙格-楞次矢量 守恒;(4)平方反比力场中质点的运动一定满足开普勒运动。,51,证明：,(1)在有心力场中，质点只受到有心力作用，有心力对力心的力矩始终为0，故质点角动量守恒;,(2)如图所示，质点受到的有心力指向坐标原点，于是有心力可表示为,质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做功为,(1),(2),52,由式(2)可知，有心力是保守力，它做功只与质点始末位置有关，因此，也可以引入相应势能,(3),将产生有心力场的场源和受有心力作用的质点看作一个系统，那么，该质点只受到保守力-有心力作用，根据质点系的功能原理，系统的机械能应当守恒。,(3)如果有心力是平方反比力，令,(4),53,式中，k为常数，考察,有心力作用，角动量守恒,54,即,(4)为证明平方反比有心力场中质点的运动一定满足开普勒运动，考察,55,式(10)表明，质点运动正是极坐标下的圆锥曲线方程(当 时，为椭圆方程，当 时，为双曲线方程;当 时，为抛物线方程),
