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1、第四章 微分中值定理与导数应用,第一节 微分中值定理第二节 洛必达法则第三节 泰勒公式第四节 函数的单调性与函数的极值第五节 曲线的凹凸性与拐点,第一节 微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理,看右图，函数连续，且两端点处的函数值相等，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，在C点和D点的切线有何特点？,观察：,费马（Fermat）引理,通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）。,一、罗尔(Rolle)定理,例如,几何解释:,证,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗
2、日中值公式又称有限增量公式.,定理,例2,证,例3,证,由上式得,即,即,三、柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,特别地,这时,即为,第二节 洛必达法则,证,定义辅助函数,则有,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,方法：将它们化为 或 未定式的类型，再求解.,例6,解,例7,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例8,解,例9,解,此极限不存在，洛必达法则失效，但不能由此断定所求极限不存在。,注意：洛必达法则的使用条件,第三节 泰勒公式,一、问题的提出二、泰勒中值定理,一、问题的提出 当函数比较复杂时，为了便于研究，常用多
3、项式来近似表达函数。,不足:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,二、泰勒(Taylor)中值定理,证明:,拉格朗日型余项,佩亚诺型余项,麦克劳林(Maclaurin)公式,解,代入公式,得,由公式可知,估计误差,其误差,常用函数的麦克劳林公式,解,第四节 函数的单调性与函数的极值,一、函数单调性及其判断二、函数的极值与最值三、曲线的凹凸性与拐点四、曲率五、函数作图,一、函数单调性的判断,定理,证,应用拉格朗日中值定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例2 讨论 y=|x|的单调性。,解：
4、此函数的定义域为,例3,解,例4,解,单调增加区间为,单调减少区间为,例5,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,二、函数的极值与最值,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,1.函数的极值,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2(第一充分条件)设函数 在 处连续，且在 的某一个去心邻域 内可导，,求极值的步骤:,例6,解,列表讨论,极大值,极小值,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,例7,解,图形如下,注意:,例8,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,2.函数的最值 常会遇到下面这类问题：在一定条件下，怎样使
5、“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上归为求某一函数的最大值和最小值问题。,步骤:,（1）求驻点和不可导点;,（2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),例9,解,计算,比较得,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例10,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大
6、收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,第五节 曲线的凹凸性与拐点,一、曲线的凹凸性与拐点二、曲率三、函数作图,一、曲线的凹凸与拐点,如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,定理2,证(1),如何判断曲线的凹凸性？,例11,解,注意到,方法1:,拐点的求法,例12,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例13,解,例14,解,注意:,二、曲率,规定：,单调增函数,如图，,弧微分公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),),弧段弯曲程度
7、越大转角越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,曲率的定义,),),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,曲率的计算公式,注意:,(1)直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,例15,解,显然,定义,曲率圆及曲率半径,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,三、函数作图,定义:,1.铅直渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例16,解,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,函数作图,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,例17,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极小值,间断点,作图,例18,解,偶函数,图形关于y 轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,例4,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,
