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1、投资学第四讲,利率敏感性 Bond Price Sensitivity,利率敏感性,市场利率的升降对债券投资的总收益具有影响：利息收入和再投资收益。债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），使得债券组合对利率变化不敏感。,Bond Price Sensitivity,PVBP,Management of Bonds Portfolio,Duration,Convexity,1 一个基点的价格,一个基点的价格（price value of a basic point PVBP）代表利率变动1 bp时，某固定
2、收益证券的价格变动量，在数学上表示为：,dP/dy衡量y变动10000bp 的价格变动量，所以上式代表y变动1bp所造成的价格变动。因为利率上升，多数固定收益证券价格下跌，所以公式前加负号。,例：某投资者认为某债券的价格低估，买进该债券。他计算债券当时的PVBP为5.79元，由于期待价值回归，而不愿受利率影响，所以希望卖空另一债券避险。假定他选择的另一债券面值相同，PVBP为2.895元，应该放空2份该债券。建立头寸后，如果利率上升1bp，则多头亏损5.79元，空头获利22.895元，反之一样。如此就免于承受（immunize）短期利率变动的风险。,一个投资组合的PVBP，相当于组合中个别证券
3、PVBP的加权和。PVBP是衡量某特定面值债券的价格敏感性。已知两个债券，一个PVBP是5.79元，另一个是4元，如果不知道面值，则无法判断谁对利率变动更敏感。,PVBP,Bond Price Sensitivity,PVBP,Management of Bonds Portfolio,Duration,Convexity,2 久期(Duration),D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。,Macaulay Duration,麦考利久期 Macaulay duration 是现金流对应期间的加权和，单位是年.,例如，某债券息票率为8%，收益率为10%，面值100
4、0美元，每年支付一次票息，三年后到期，一次性偿还本金。求其麦考利久期。,修正久期 D*D/(1+y)=2.78/1.1=2.527(年),P/P=D*y 久期可以解释为利率变动一单位，债券价格相应变动率。以上例来说，2.527被解释为：当利率上升1，债券价格下降2.527%。当收益率上升1，此时债券价格是多少？,（P2-P1）/P1=0.02527 P2=926.24元,久期：现金流现值翘翘板的支点,时间,以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果,债券久期,Macaulay久期定理,定理1：只有零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。,定理2：附息债券的Mac
5、aulay久期小于它们的到期时间。,定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。,定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。,定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越高，久期越短。,组合的久期Duration of a Portfolio,如果组合中各证券的现值为Pi，久期为Di i=1.m.那么整个组合的现值和久期可以表示为：,where,这个公式同时适用于Macaulay久期和修正久期,组合的久期Duration of a Portfolio,Assume we have two cash flow st
6、reams.,What is the duration of A+B.,Bond Price Sensitivity,PVBP,Management of Bonds Portfolio,Duration,Convexity,P/P=-D*y,P(y),4%,30,8,6%,10%,12%,实际价格变化久期近似值,P/P=D*y,y,50,40,60,P1,P2,误差,泰勒展开式 Taylor Expansions,可以把价格函数在收益率取一定值的附近展开,Duration,Convexity,3 凸性（convexity）,久期可以看作是债券价格对利率的一阶估计。凸性则是二阶估计，衡量（dP
7、/dy）因利率变动而产生的变动。久期和PVBP考虑的是利率走势，而凸性考虑的是利率的波动性。,泰勒展开与凸性,久期犹如双刃剑，久期增加时，任何利率的变动（下降或上升）都会带来更大的盈利或亏损。当凸性为正，利率的波动性越大，无论上升或下降，都会使价格上升。所以人们偏爱正凸性。,P(y),y,P(y),y,Low Convexity High Convexity,y,P(y),可赎回债券的价格利率关系图,负凸性 Concave,凸性 Convex,小结：凸性的好处,1、在衡量利率敏感性时，久期再配合凸性，可以提升衡量的精确性，对于避险和资产/负债管理的效果更好。2、提高正凸性，利率波动越大，都会使
8、投资组合受益：获利更多或者损失更小。,组合的凸性：,Bond Price Sensitivity,PVBP,Management of Bonds Portfolio,Duration,Convexity,投资组合管理,许多银行、储蓄机构、保险公司和养老基金的资产/负债在期限结构方面天然存在不匹配的情况。调整资产/负债的久期或凸性，减少利率波动带来的风险：免疫 Immunization。,免疫 Immunization,组建固定收益投资组合，使得组合的收益免受利率变化的影响。,1 year:reinvestment risk,5 year:too sensitive to interest r
9、ates,Solution:用 1年期和 5年期的债券构建一个投资组合，与你的负债具有相同的现值 present value和久期 duration,免疫 Immunization,建立一个组合，使得组合的现值P与久期D和到期支付相等:,Two Equations:,PV:,Duration:,Solve for x and y to determine your portfolio.,Example：零息债券面值$100,年复利一次,Let x be the number of Bond 1,y be the number of Bond 2 held.,(1)Match prices:,(
10、2)Match durations:,Solving gives:,由于负债的到期日接近，会导致债务和资产的久期不一致，就需要再平衡rebalancing。问题：是否意味着每天需要调整？债券免疫策略：资产管理者匹配资产与负债的久期，在再平衡和进出市场导致的交易成本之间寻求一个折衷方案。,现金流匹配 Cash flow matching,选择零息或票息债券以使每一期提供的现金流可以和一系列的负债相匹配，无需再平衡，完全不受利率变化的影响。现金流匹配没有得到广泛应用是因为对债券选择限制严格。投资管理者一般愿意挑选被低估的债券来实现免疫。,作业 Problems,以下是面值1000元的几种零息债券当前的价格表。期限（年）当前价格（元）1 943.40 2 898.47 3 847.62 4 792.16某附息债券面值100元，票息率6，每年支付一次票息，4年后到期，当前市场利率为10%（1）根据上表，求该附息债券的调整久期（2）如果该附息债券凸性28.35,当市场利率从10变动为8，请计算该附息债券价格如何变动。,
