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1、解：,错误做法：1 秒钟时的速率：,x=-4 时，t=2,加速度：,解:(1),大小:,方向:,t 时刻路程：,(3)由前面a t=-b 可知,质点作减速率圆周运动。,当 V 减到 0 值时，质点将终止顺时针转，而开始逆时针转。此时刻记为 t,也正是前求 a=b 的时刻 t。,例：雨天一辆客车在水平马路上以 20 m/s 的速度向东 开行，雨滴在空中以 10 m/s 的速度垂直下落。求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。,解：已知,方向向东,方向向下,所以雨滴相对于车厢的速度大小为 22.4 m/s，方向为南偏西。,例：一人骑车向东而行，当速度为10 m/s时感到有南风，速度增加到15 m/s
2、时，感到有东南风，求风的速度。,10 m/s,南风,45,m/s,=27,15 m/s,o,？考虑：在不同的参照系,对同一质点的运动状态进行描述,位矢变换关系式:,两边微分,再对上式求导得,我们能看出什么？,位移变换关系式:,例：质量都等于 m 的二物 A 和 B由两根不可伸 长的轻绳和两个不记质量的滑轮 I、II 连接。求:A、B 二物的加速度和两绳的拉力。,解：隔离物体，分别做受力分析：,列动力学方程：,A：mg-T1=ma1,B：mg-T2=ma2,滑轮 II：T1=2 T2,A、B两物关联：a2=-2a1,求解.,例 2：质量为 m 的物体通过不可伸长的轻绳和不记质 量的滑轮与弹簧（弹
3、性系数 k）连接，初始时刻 物体静止，弹簧为原长,让物体自由下落。求:物体的速度随位置变化的关系。,解：,mg-T=ma,列动力学方程：,T=kx,解:二维空间的变力情况。,(1)选 m 为研究物体；,(3)分析受力,(2)建坐标 xoy；,(4)列方程:,分量方程,分离变量,分别积分,(5)解方程:,消去 t，得轨道方程：,选自然坐标系列分量方程：,a 球离开地面前 b 做半径为 lb 的竖直圆周运动。,由切向方程式得：,(2)a 的受力和运动：,当 T=mg 时，a 球刚好离地。,由法向方程式得：,例 5：一匀质细绳，质量 m，长 L，一端固定在 O，另一端有一 质量为 M 的小球，其在光
4、滑水平面上以 绕 O 点旋转。求:绳上各点的张力。,隔离物体法分析绳上一小段 dm 的受力,解 I：,绳上张力是距 O 点距离 r 的函数:T(r),动力学方程：,求解,每点（无限小，m-0）合张力为0.,微元 r:,牛顿运动定律,建立坐标系，取 r 处 dr 长的一微元，其作圆周运动所需向心力为：,总向心力为：,例：质量为M，倾角为 的斜面放在光滑的水平桌面上，斜面光滑，长为l，斜面顶端放一个质量为m的物体，开始时斜面和物体都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。,其中 maM 就是惯性力。而 mg 和 N 是真实力。,分析物体受力,分析M(相对惯性系)运动，水平方向：N sin=
5、M aM,由此解得相对加速度 a=(m+M)sing/(M+msin2),列方程:,方向,例：水桶以 旋转，求水面形状？,解：水面 z 轴对称，选柱坐标系。任选水面一小质元，其在切线方向静止。,z,在旋转参考系中，做受力分析：,切线方向：,抛物线方程,解：(1),例:已知 m 在水平面内作半径为 R 的匀速率圆运动，(R,v)已知，求：(1)A 到 B 时动量的改变，(2)A 到 B 时向心力平均值及方向。,(2),建坐标系，规定正方向,解：子弹 m 在枪内水平只受力 F(t)，加速时间 0 t,子弹在枪筒内加速时间 t=?,例：一质量 m=1010-3 kg 的小球，从 h1=0.256 m
6、 的高处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度 h2=0.196 m，接触时间,求小球和桌面碰撞时对桌面的冲量是多少？若接触时间为(1)=0.01s，(2)=0.002s,试求小球对桌面的平均冲力。,解 I：,(N mg)=mv2(mv1),小球和桌面碰撞时对桌面的冲量,I=N=mg+,重力的40多倍,重力的200多倍,小球自重（0.1N),利用冲量定理解题时一般可忽略物体自身重力产生的冲量。,解 II：将动量定理应用于整个过程,N mg(t1+t2)=0,例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为 m 和 M 的物体，M m,M 静止在地面，当 m自由下落 h 后，绳子被拉紧，M 刚好离开地面，求
7、绳子刚拉紧时，m 和 M 的速度及 M 能上升的最大高度。,解：,m 自由下落h后速度,m:,M:,vm=vM=v,解：,dm=l dl,l=m/(R),例:求均匀半圆铁环的质心（半径为R）.,由对称性:xC=0,取长度为 dl 的一段铁丝,以 l 表示线密度,dl,由此式可见,弹力的功只与小球的初末位置有关,而与移动的中间过程无关,例如若先将 m 从 x1 点向右拉伸，然后再压缩至 x2 点,弹力的功仍为上式,解：m 受力和重力方向如图，,例：m 沿曲线由a b,求重力的功,与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起末位置，与中间过程无关。,解：,建立如图所示 h 坐标系，取离地面 h
8、处厚度为 dh 的一层水。,将这层水吸到地面需克服重力所作元功为：,例：地下贮水池横截面 S，池贮水深度 h1，水平面与地面间距 h0。求：将池中水全部吸到地面所需作功 A。,思路：将池中水全部吸到地面所需作 总功等于将每一层水吸到地面 所需元功的代数和。,总功：,例：长度为 L、质量为 M 的均匀链条，置于水平光滑桌面上。开始时，有少部分链条（长度为a）下垂在桌外。在重力作用下，链条下落。求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v=?,思路：链条下落是重力做功的结果，当下落长度变化时,重力大小也变化，因此为变力做功。,下落部分所受重力为：,在此下落部分重力作用下链条向下运动 dx 所作元功：,总
9、功,由动能定理,例:质量为 m 的小球经长为 l 的摆线悬挂于固定点 O，开始时把小球拉到水平位置,并自由释放，求摆线下摆角为 0 时小球的速率 v。,解：外力为绳子张力和重力，绳子张力始终与位移垂直，不作功。,mg l sin0=mvB2 0,由动能定理,例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量,三、几种典型刚体的转动惯量,相当于质量为 m 的质点对轴的 J,如果在 R 处有一质量为 M 的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：,例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量,dJ=r2 dm,解：在圆盘上取 r 处 dr 宽的一圆环，其 转动惯量为：,思路：,圆盘对中轴转动惯量
10、可看 成圆盘上分割出的无数圆环对中轴 转动惯量的代数和。,比 R 处质量为 m 的均匀圆环中轴的转动惯量小,如果在圆盘上离中心周距离为 R 处放一质量为 M 的物体，此系统对中心轴的转动惯量为：,例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量,对质心轴，建立如图坐标系，取 x 处 dx 小段：,利用平行轴定理：,例：求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行轴的转动惯量:,利用平行轴定理：,得：,问题：一质点相对于一转轴有无转动惯量？,问题：转动系统的转动贯量是否会变？,例：某飞轮直径 d=50 cm,绕中心垂直轴转动，转动惯量 J=2.4 千克米2,转速 n0=1000 转/分，若制动时闸瓦对轮的
11、压力为 N=50千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数=0.4。问：制动后飞轮转过多少圈停止？,解：(1)求,（2）求圈数,例 2：如图，设滑块 A，重物 B及滑轮 C 的质量分别为 MA，MB，MC。滑轮 C 是半径为 r 的均匀圆板。滑块 A 与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。求:（1）滑块 A 的加速度 a（2）滑块 A 与滑轮 C 之间绳的张力 T1，（3）滑轮 C 与重物 B 之间绳的张力 T2。,解：,解方程得：,例3:己知：质量为 m、径为 R 的均匀圆盘。初角速度,绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度,即。不计轴承处的摩擦。求：圆盘在
12、停止转动时所转过的圈数 N=?,解：,用积分法求力矩：在圆盘上选取半径为 r、宽度为 dr 的圆环，圆环上的质元具有相同的线速度 v。,则作用到圆环上的元阻力大小为:,思路：变力矩问题，应用转动定理，积分求解；力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。,考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：,总阻力矩,利用刚体定轴转动定律,分离变量，并积分：,例 4：均匀直杆 M，长为 l，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一子弹质量为 m，以水平速度 v0 射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起运动时的角速度。,解:考虑以子弹和杆组成的系统，所受外力（重力和轴支持力）对转轴的力矩为零，角动量守恒:,问题：如果
13、不是杆，而是用绳悬挂一重物 M，碰撞过程中是什么守恒？为什么？,注意质点对轴的角动量的表达方式:,例5：质量为M，半径为 R 的水平放置的均匀园盘，以角速度 1 绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为 m 的小物块以速度 v 垂直落在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在盘上后，盘的角速度 2=？（2）小物块在碰撞过程中受到的冲量 I 的方向及大小。,m,v,R,M,解:(1)以 m,M为一个系统，过程中其 所受合外力矩为零，角动量守恒,碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零。,（2）求 I 应用动量定理,碰撞前后 m 动量方向不同，分方向讨论。,讨论：1）碰撞过
14、程中动能是否守恒？,2）角动量守恒时，动量不一定守恒。,方向向上,方向沿切线,初始：Ek1=0，令 Ep1=0,末态：,则：,由平行轴定理,解得：,应用质心运动定理：,解得：,解：,例 7：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m 的粘土块从 h 高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：M=2m,=600求：(1)碰撞后瞬间盘的 0=?(2)P 转到 x 轴时的=?=?,（1）m 自由下落,碰撞 t 极小，对 m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,动量不守恒？,例8：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨
15、过圆盘一端与弹簧相连，另一端与质量为 m 的物体相连，弹簧另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止状态，此时一质量为 m1 的小物块从 h 高度处自由落下，与 m 碰撞后粘在一起。求：m 下降的最大位移 s。,解：自由落体，碰时角动量守恒，碰后机械能守恒,例 1：一光滑水平面上静放一长为 l，质量为 m 的细直杆，今有一质量也为 m 的质点，在与杆垂直的方向上以 v0 运动，并在杆的一端和杆发生完全非弹性碰撞，求(1)碰后质心的速度和转动的角速度；(2)碰撞过程中损失多少机械能。,解(1)碰前后动量守恒，,思路：考虑质点和杆组成的系统（质点系）,碰撞时水平方向有无外力？,水平方向无外力
16、，故质点系动量守恒。,质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？,无，惯性系中质心角动量守恒。,碰前后角动量守恒，,对质心：,(2)碰前后损失机械能为：,例 2：半径为 R 质量为 m 的均匀实心圆柱体，沿倾角为 的斜面无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。,解:对质心的平动，,刚体的滚动可看作随质心平动和刚体绕质心轴转动的两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动定律。对纯滚动，满足 vc=R，ac=R，即滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬时速度为零，该线为瞬时转轴。,对绕质心的转动，,刚体的滚动可看作刚体随质心平动和绕质心轴转动的两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动
17、定律。,在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律？,力学总结,滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？,此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？,刚体的纯滚动可以看做是绕瞬时轴的转动，如果支撑面是固定在惯性系上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。,纯滚动中刚体与支撑面接触处的速度为零，作用于刚体的为静摩擦力，不做功，机械能守恒。滚动动能为：,解：轮与 m 为联结体，轮为定轴 转动、m 为平动，二者用绳联系起来。m 的速度大小与轮边缘线速度大小相等。,例 3.己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物 m。绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径 R=0
18、.2m，m=1kg,m 下落时间 t=3 s，v0=0,h=1.5 m。求：轮对 O 轴 J=?,求解,T恒定,例4：转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为 0,转台对此轴的转动惯量 J=5 10-5(kgm2),今有砂粒以每秒 1 g 速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴 r=0.1m,求砂粒落在转台上,使转台角速度减为 0/2 所需时间?,解：,例5：已知圆盘半径为 R，质量为 M，在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为k的弹簧和质量为 m 的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住 m 使弹簧保持原长，然后静止释放。求（1）m 下落 h 距离时
19、的速度。（2）弹簧的最大伸长量。,解：取 m+M+绳+弹簧+地球为一系统,外力：轴承支承力和地面对弹 簧的支承力功为零。,内力：重力，弹性力为保守力 绳不伸长，张力功为零。绳与轮间无相对滑动，摩擦力功为零。,系统机械能守恒,1 薄圆环对中心轴的转动惯量,三、几种典型刚体的转动惯量,相当于质量为 m 的质点对轴的 J,如果在 R 处有一质量为 M 的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：,2 细圆环对任意切线的转动惯量,平行轴定理,垂直轴定理,3 圆柱体对柱体轴线的转动惯量,薄片的转动惯量,圆柱体对柱体轴线的转动惯量,4 圆柱环对柱体轴线的转动惯量,细环的转动惯量,圆柱环对柱体轴线的转动惯量,5 细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量,对质心轴，建立如图坐标系，取 x 处 dx 小段：,6 实圆柱体对中心直径的转动惯量,任取与中心直径相距为 x 的薄圆片,平行轴,7 实球体对任意直径的转动惯量,8 薄球壳对任意直径的转动惯量,
