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1、第四章 恒定电流的磁场,静磁场的基本方程,安培环路定律的应用,导体的自感和互感,恒定磁场的边界条件,静磁场的能量,本章提要,4.1 静磁场的基本方程,由毕奥萨伐定律，可知磁场强度为,（4.1）,第四章 恒定电流的磁场,由旋度运算规则,第四章 恒定电流的磁场,4.1 静磁场的基本方程,由,可得,（4.3）,假设,（4.4）,则,（4.5）,称为矢量磁位，单位Wb/m,（4.7）,结论磁场是无散场,（4.8）,第四章 恒定电流的磁场,4.1 静磁场的基本方程,（4.11）,（4.12）,（4.13）,（4.14）,将上式代入式（4.8），得磁感应强度的旋度为,由此可见，恒定磁场是无散有旋场，磁场的
2、旋度源为电流密度。,利用斯托克斯定理，得安培环路定律,泊松方程,第四章 恒定电流的磁场,4.1 静磁场的基本方程,（4.15）,式 两边同时对任意体积进行体积分，并利用高斯定律得,磁通连续性原理,（4.16）,上式也称为媒质中的安培环路定律,第四章 恒定电流的磁场,4.2 安培环路定律的应用,安培环路定律阐明了沿一闭合路径的磁场强度的线积分等于它所包围的电流，即,此处I为闭合路径所包围面积内的净电流。这个电流可以是任意形状导体所载的电流，或者是电荷的流动（真空管中的电子束）。,静电学,静磁学,高斯定律,安培环路定律,用安培环路定律求磁场,第四章 恒定电流的磁场,4.2 安培环路定律的应用,例4
3、.1 一根细而长的导线沿z轴放置，载有电流I。求出自由空间任一点的磁场强度。,解 由于对称，磁力线必然是同心圆。沿每个圆的磁场强度是恒定值，因此对于任意半径,有,根据安培定律，则有,通过安培定律验证了毕奥萨伐定律,第四章 恒定电流的磁场,4.2 安培环路定律的应用,例4.2 一根极长的沿z轴放置的空心导体，其外径为b，内径为a，载有沿z轴方向的电流I。若电流是均匀分布的，试求在空间任一点的磁场强度。,解 由于电流为均匀分布，因而任意一点可用体电流密度表示为,（1），H0,（2），半径为 的闭合圆环所包围的净电流为,第四章 恒定电流的磁场,4.2 安培环路定律的应用,因此由安培环路定律可得,（3
4、），在此区域的磁场强度为,第四章 恒定电流的磁场,4.3 导体的自感和互感,由法拉第电磁感应定律可知，一载有时变电流的导线回路产生的变化磁场，可在该导线回路和附近的另一导线回路中产生感应电压。我们称前 一种现象为自感应，后一种为互感应。,假设由细导线分别密绕N1、N2圈形成的两个导线线圈回路，两个导线线圈回路中分别载有时变电流I1和I2,第四章 恒定电流的磁场,4.3 导体的自感和互感,对于导线线圈回路l1根据法拉第电磁感应定律得到,其中右端的积分表示和线圈电流回路相铰链的磁通，称为磁通链，用 表示,设通过该线圈截面的磁通为，则,与导线线圈回路l1中电流铰链是由两个电流回路的磁场贡献的，则,其
5、中 为第一电流回路的作用，为第二电流回路的作用。,如果空间的媒质是线性的，则磁链 分别与电流I1、I2成正比，即,（4.22）,（4.21）,（4.19）,第四章 恒定电流的磁场,4.3 导体的自感和互感,定义 Lk、M jk 分别被称为导线回路的自感和互感，单位为H（亨利，简称亨）,当系统仅有一个导线回路时，只有自感，也称为电感。,在线性媒质中，导线回路系统自感和互感的大小取决于导线回路的形状、匝数、媒质等，而与导线回路中的电流无关；自感始终是正值；互感可正可负，取决于电流的取向。当在回路曲面上互磁场与原磁场方向一致时，互感为正，否则互感为负。,自感和互感特性,第四章 恒定电流的磁场,4.3
6、 导体的自感和互感,在工程技术和日常生活中，自感现象有广泛的应用。无线电技术和电工中常用的扼流圈，日光灯上用的镇流器等，都是利用自感原理控制回路中电流变化的。在许多情况下，自感现象也会带来危害，在实际应用中应采取措施予以防止。互感在电工和电子技术中应用很广泛。通过互感线圈可以使能量或信号由一个线圈方便地传递到另一个线圈；利用互感现象的原理可制成变压器、感应圈等。但在有些情况中，互感也有害处。,自感和互感的应用,有线电话串音,无轨电车,第四章 恒定电流的磁场,4.3 导体的自感和互感,例4.3 计算位于真空中的一无限长直导线与位于同一平面，边长为、相距为D的矩形导线回路之间的互感。,解 长直导线
7、在矩形回路中产生的磁场为,此磁场在矩形回路中的磁链为,互感为,例题1：设双线传输线间的距离为D，两导线的半径均为r（Dr），求每单位长度的外自感。,解：设A和B两导线中的电流分别为I 和-I,由安培环路定律,第四章 恒定电流的磁场,与单位长度传输线相交链的磁通为,单位长度的电感,第四章 恒定电流的磁场,例题2：求内外半径分别为a和b的空气同轴线的单位长度上的自感。,解：同轴线内部距轴线ra处的磁通密度为：,ar b,总磁链为：,因此，单位长度上的自感为：,第四章 恒定电流的磁场,4.4 恒定磁场的边界条件,假设磁导率分别为 和 的两种媒质分界面如右图。为了得到磁场强度的边界条件，取小闭合回路，
8、使分别位于两媒质中长为 的两对边与边界面平行，且无限靠近，应用安培环路定律得,得磁场强度的边界条件,（4.28）,式中 为分界面上的传导电流面密度。,一般情况下，两种媒质分界面上的传导电流面密度为零，因此，在两种媒质分界面上，磁场强度的切向分量连续。,（4.30）,第四章 恒定电流的磁场,4.4 恒定磁场的边界条件,应用磁通量连续性原理，可得磁感应强度得边界条件,（4.31）,即在两种媒质分界面上，磁感应强度的法向分量连续。,理想导磁体：磁导率为无限大的媒质。,在理想导磁体中，磁场与理想导磁体表面垂直。理想导磁体是一种理想的媒质模型，实际中不存在磁导率为无限大的媒质，但是，在一些场合，将磁导率
9、很高的铁磁物质近似为理想导磁体可以使复杂的问题得以简化。,第四章 恒定电流的磁场,例4.4 已知磁导率为、带气隙的环形磁芯的气隙宽度为d，比圆形磁芯材料截面半径小得多，磁芯上密绕了N匝线圈，如图所示。当线圈中的电流为I时，求气隙中的磁感应强度。,解 忽略磁芯外的漏磁通，磁芯中的磁力线也是与磁芯表面同轴的圆环。在磁芯的气隙表面，磁场近似为界面的法向，根据边界条件，气隙中的磁感应强度与磁芯中的磁感应强度相等。对磁芯中半径为r的磁力线圆环，磁场强度满足,第四章 恒定电流的磁场,在圆环的磁芯部分，可认为磁场强度相同，为；在气隙部分磁场强度为，代入上式得,由上式得,如果将磁芯截面上的磁场近似看成是均匀的
10、，圆环半径用平均半径r0代替，则,第四章 恒定电流的磁场,如果将磁芯看成理想导磁体，则,例4.5 一根无限长线电流为 I的导线，平行放于磁导率分别为 和 的两种媒质的平面边界附近，如图所示，求两种媒质中的磁场。,（a）（b）（c）,第四章 恒定电流的磁场,解 空间各点的磁场由线电流和边界面上的磁化电流产生。采用镜像法求解，计算的磁场应满足边界条件，即，。将线电流在边界上任一点产生的磁场的关系代入边界条件，得到线电流与等效镜像电流和的关系为,第四章 恒定电流的磁场,解此方程组得,媒质 和 中的磁感应强度分别为,第四章 恒定电流的磁场,当媒质 为理想导磁体时，其中得磁感应强度为,第四章 恒定电流的
11、磁场,4.5 静磁场的能量,假设在电感为L的导线回路电流增加过程中的某时刻t，导线回路的电流为i。如果在从t到t+dt时间内使电流增加到di，导线回路的磁链就增加,回路产生磁感应电动势,在dt时间内外源就要对导线回路做功,那么外源对电路做功为,第四章 恒定电流的磁场,4.5 静磁场的能量,设回路l2的电流i2从0增加到I2，如果在从t到tdt时间内使电流增加di2，两导线回路中产生感应电动势为,在dt时间内，回路l2的电流增加di2过程中外源所作的功为,两个载流回路的磁场能量为,对于N个电流回路的情况，则磁场能量应为,（4.34）,第四章 恒定电流的磁场,4.5 静磁场的能量,体积V中的磁场能量为,（4.36）,定义 磁场能量体密度,（4.39）,例4.6 计算内外导体半径分别为a，b的同轴电缆单位长度的电感。,解 假设同轴电缆中的电流为I，如果电流在导线截面上均匀分布，则利用安培环路定律可以计算出同轴电缆中的磁场分布为,第四章 恒定电流的磁场,4.5 静磁场的能量,单位长度的同轴线中的磁场能量为,单位长度的同轴线电感为,第四章 恒定电流的磁场,本章小结,1.恒定磁场方程,2.导体的自感和互感,3.恒定磁场的边界条件,安培环路定律,磁通连续性定律,导线回路的自感,导线回路的互感,
