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1、第五章 动态电路的时域方程,线性时不变系统为重点介绍状态方程的列写和求解,电网络分析的状态变量法就是状态方程法，是一种系统或电路分析的有效方法。,这种方法列方程容易，不必化为一个变量的函数，状态变量的变化率可以用状态变量来表示，物理意义清楚，很适合用数值法求解，而且以状态方程为基础的状态空间分析对非线性和时变系统也很有效。,目前线性非时变问题的状态方程，理论上都已解决，你们已学过的“矩阵论及其应用”第四章矩阵微分方程就有专门的论述。,状态变量分析的基本概念状态方程的建立线性状态方程的解析解法状态方程的小信号分析建立状态方程的五种方法,主要内容,建立状态方程的五种方法 直观法 系统法（特有树）稀
2、疏表格法 改进节点法 端口分析法,5-1状态变量分析的基本概念,一、状态、状态变量、状态方程,状态是一个抽象的概念。在自然界和工程技术领域中，状态是事物的一种客观存在(P184)。事实上，对系统和电路来说，所谓状态就是系统或电路的能量状态，下面给出定义。,电路的状态：一组最少数据,1.对于某一任意时刻t0，可以根据t0时刻的状态及t t0时的输入波形来唯一地确定t t0的任一时刻的状态；,2.根据在t时刻的状态及t时刻的输入(或者输入的导数)能够唯一地确定在t时刻的任一电路变量的值。,*电路的状态实质上是指电路的储能(量)状况。,状态变量、状态向量和状态空间,状态变量：描述状态的变量,动态电路
3、的状态变量是确定动态电路运动行为的一组最少变量。记作 x1(t),x2(t),xn(t)是一组独立完备变量。,初始状态:电路在初始时刻tt0的状态,状态向量:n个状态变量x1(t)x2(t)、xn(t)构成的向量x(t),状态空间：以状态向量的各个分量x1、x2、xn为轴所构成的n维欧氏空间。,(1)线性时不变网络,A为系数矩阵，B为控制矩阵,(2)线性时变网络,(3)非线性网络,时变网络,时不变网络,状 态 方 程,状态方程,若不是标准形式，可以变换成标准形式,规范化，变换成标准形式,变换，令,例如,输出方程：联系输出与状态变量和输入之间的关系式,y为输出向量,x为状态向量,u为输入向量,C
4、和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵。,(2)线性时变网络,(3)非线性网络,输出方程,(1)线性时不变网络,规范型状态方程的特征,规范型状态方程的特征:(1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一阶导数;(2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数关系,但不出现对时间的导数项。,半状态描述,E为奇异矩阵,定义,网络中独立初始条件的数目,即独立完备的状态变量数目。,线性时不变网络的复杂度,uC(或qC)和iL(或L)选作电路的状态变量的个数。,二、网络的复杂度(校外不讲！)(Order of Complexity),常态网络,对于仅由电阻、电感、电容和独立电源组成的网络,如果不存
5、在仅由电容和独立电压源组成的回路(称为C-E回路)和仅由电感和独立电流源构成的割集(称为L-J割集),则称为常态网络。,C-E回路,非常态网络 含有C-E回路和或L-J割集的网络称为非常态网络,又叫蜕化网络。,C-E回路:,仅由电容和/或电压源组成的回路,C-E回路又称为纯电容回路或全电容回路,L-J割集,L-J割集:,仅由电感和/或电流源组成的割集,常态网络的复杂度就等于网络中的储能元件的数目。,L-J割集又称为纯电感割集或全电感割集,独立电容电压,C-E回路中一个电容电压不独立,独立电感电流,非常态网络的复杂度,L-J割集中一个电感电流不独立,广义常态网络及其复杂度,对于电阻、电感、电容、
6、D型元件、E型元件和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容、D型元件和独立电压源组成的回路(广义C-E回路)和仅由电感、E型元件和独立电流源构成的割集(广义L-J割集),则称为广义常态网络,否则称为广义非常态网络。,广义常态网络的复杂度,广义常态网络,广义非常态网络的复杂度,当网络中不存在仅由D型元件和独立电压源组成的回路和仅由E型元件和独立电流源组成的割集时,等号成立。,广义非常态网络的复杂度,若存在，则：？,其中 为第k个广义C-E回路中所含电容和D型元件中最低阶元件的阶数（电容的阶数为1）；,其中 为第k个广义L-J回路中所含电感和E型元件中最低阶元件的阶数（电感的阶数为1）。,研究网络
7、复杂度（独立完备的状态变量数目）的意义,对系统进行分析、预测和故障诊断,工程实际中得到的系统的信号大多以离散采样值的形式给出，即时间序列。,时间序列（time series）是按时间顺序的一组数字序列。时间序列分析（time series analysis）就是利用这组数列，应用数理统计方法加以处理，以预测未来事物的发展。时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。,时间序列分析主要用途，系统描述、系统分析、预测未来、决策和控制。,2003年度诺贝尔经济学奖获得者及其时间序列模型。,2003年诺贝尔经济学奖授予美国经济学家罗伯特恩格尔(Rob
8、ert F.Engle)和英国经济学家克莱夫格兰杰(Clive W.J.Granger)，以表彰他们在“分析经济时间数列”研究领域所作出的突破性贡献。,罗伯特恩格尔上世纪80年代创立了“自动递减条件下的易方差性”(又称“自回归条件异方差过程”-autoregressive conditional heteroskedastic process,简称ARCH模型)理论模式，并提出了根据时间变化的变易率(time-varying volatility)进行经济时间数列分析的方式。具有“重大的突破性意义”。,克莱夫格兰杰上个世纪80年代发现非稳定(non-stationary)时间数列的特别组合可以
9、呈现出稳定性，从而可以得出正确的统计推理。他称此是一种“共合体”(学术上译为协整cointegration)现象，并提出了根据同趋势(common trends)进行经济时间序列(time series)分析的方式。,格兰杰还发现协整后的变量交互动态(joint dynamics)可以用一个所谓的误差修正(error-correction)模型来表示。格兰杰和恩格尔在1987年共同发表了一篇具有广泛影响的论文,在这篇论文中他们介绍了这些方法。包括对误差修正模型的两步法参数估计和对非稳定变量没有协整关系的假设检验。,这些方法经梭伦.约翰逊(Sren Johansen)改进后发展成为现在的标准方法
10、。,这对研究财富与消费、汇率与价格以及短期利率与长期利率之间的关系具有非常重要意义。,ARMA模型,ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。有三种基本形式,（1）自回归模型（AR：Auto-regressive）,其中t 是独立同分布的随机变量序列，且满足：E(t)=0，,则称时间序列为yt服从p阶的自回归模型。,t=1，2，n,自回归模型AR(p)：如果时间序列yt满足,（2）移动平均模型（MA：Moving-Average）,移动平
11、均模型MA(q):如果时间序列yt满足,则称时间序列为yt服从q阶移动平均模型,t=1，2，n,（3）混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）,ARMA(p,q)模型：如果时间序列yt满足,t=1，2，n,则称时间序列为yt服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模型。特殊情况：q=0，模型即为AR(p)，p=0，模型即为MA(q)。,从系统的角度来看波形（数据）变化越剧烈，系统的模式越多（阶数越高），系统网络函数的极点也越多。,例如，试判别图示时间序列的阶数。,（c）,（b）的阶数（a）的阶数（c）的阶数（d）的阶数,（d）,（C）,（a）的阶数（b）的阶
12、数（c）的阶数,确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法,确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法,(1)用开路方法确定(广义)C-E回路数:开路is RLE型元件,在开路操作后的子网络NCD中任选一个树,C-E回路数(广义)等于NCD中的连支数。,用拓扑法决定独立的(广义)C-E回路和(广义)L-J割集,(2)用短路方法确定(广义)L-J割集数：短路us RCD型元件,在短路操作后的子网络NLE中任选一个树,L-J割集数(广义)等于NLE中的树支数。,C-E回路和L-J割集可通过网络的等效变换消去,对于含有受控源和负元件的网络复杂度与网络中的元件值有关。,设网络有一个树T。T中含有所有的电压源、尽可
13、能多的电容元件、电阻元件、尽可能少的电感元件等。,三、C-E回路和L-J割集的消去,树中的电压源、电容元件和补树中的电容元件组成C-E回路；树中的电感元件和补树中的电感元件和电流源元件组成L-J割集。,（1）如果该回路中连支电容是压控的，树支电容要么都是压控的要么都是荷控的，则可开路连支电容,其它电容用等效的荷控电容代替。,(2)如果该割集中树支电感是流控的,连支电感要么都是流控的要么都是链控的，则可用短路线代替树支电感,其它电感用等效链控电感代替。,5-2 状态方程的建立,状态方程的建立方法,直接法,间接法,1、线性动态电路的状态方程,列写步骤,(1)选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为
14、预选状态变量；,一、状态方程的直观列写法,(2)对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL和电容的VAR列写节点方程；,(3)将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形。,对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL和电感的VAR列写回路方程；,例1,一、状态方程的直观列写法（续）,借助拓扑图的列写步骤,(1)包含所有的独立电压源；不包含独立电流源；,(2)包含尽可能多的电容和压控型高阶元件；,(3)包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；,1.选择树（proper tree）,2.选树支上电容电压、压控型高阶元件电压和连支上电感电流、流控型高阶元件
15、电流为预选状态变量,3.对电容树支的基本割集列写KCL方程；对电感连支的基本回路列写KVL方程。,4.借助未使用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形式。,例2,例3,例4,例5,2.线性时变网络的状态方程,对时变电感元件，选磁链(t)作为状态变量。,状态变量的选择,对时变电容元件，选电荷 qC(t)作为状态变量。,例6,非线性电路状态方程标准形式为,x为n维状态变量向量，F是x的某种非线性函数向量。,3.非线性动态电路状态方程列写,状态变量的选择,压控电容的电压、荷控电容的电荷,流控电感的电流、链控电感的磁链,一般取元件特性的控制量,元件特性条件表
16、,先选树，再建方程,电 容,荷控,压控,电 感,电 阻,忆 阻,流控,流控,荷控 链控,链控,压控,荷控 链控,非线性动态电路状态方程的列写示例,例7,例8,例9,例10,Jump,输入输出方程到状态方程（校外不讲！）,线性状态方程的解析方法（矩阵函数法、复频域解法都很有用，课件都有，请自学！）,二、从输入输出方程到状态方程,实现：由输入输出方程确定其状态空间表示,取 为系统的n 个状态变量,且设,情形1,矩阵形式为,即,A为友矩阵,系统的输出方程,即,2.设x1、x2、x n 为所讨论系统的一组状态变量,而 为该系统的另一组状态变量，则,讨论,1.若动态系统的输入函数为零,那么状态方程为,2
17、.设x1、x2、x n 为所讨论系统的一组状态变量,而 为该系统的另一组状态变量，则,3.特征方程,特征方程的根称为A的特征值或本征值，也称之为特征方程的特征根。,由,特征方程,得,4.线性变换不改变特征值,概括,若系统的输入为零,则有齐次状态方程,一个n阶线性时不变动态系统,若输入中不含有导数项,则其状态方程为,若,(a),(b),取,为状态变量,情形2,(c),（1）如果沿用状态变量,则所得的n个一阶微分方程为,(2)当采用式(b)所表示的一组状态变量时,可以得到,(d),再根据式(b)和式(c),可得,即,A仍为友矩阵,如果矩阵A的特征矩阵,的不变因子为,矩阵论P76！,则称A为属于 的
18、相伴矩阵(或友矩阵),的Smith标准型为,A就是一个友矩阵！,动态系统的输出方程为,即,一个线性动态系统的输入中含有导数项并不会影响矩阵A中各元素,只会影响矩阵B中各元素。,若,通过定义适当的辅助函数，,向量形式,情形3（非线性系统）,如果该非线性动态系统为多输入系统,则有,5-3 线性状态方程的解析方法（讲矩阵函数法！拉变（S域）,分类1：数值解法 解析解法,分类2：时域解法 频域解法,状态方程的解法分类,u为系统的输入，x和u均为t的函数。,一、线性状态方程的时域解法,1、线性时不变网络状态方程的解法,（1）非齐次标量微分方程解的形式,线性时不变网络状态方程的解法,在等式两边乘以,从0_
19、到t积分，得,矩阵指数函数eAt 及其性质,性质,定义,左乘与右乘相等满足交换律！,eAt又称为状态转移矩阵,的性质,对于线性时不变网络,状态方程的解析解,非齐次状态方程的矩阵形式,等式两边左乘矩阵指数函数,零输入响应,零状态响应,两边取0-t的积分得,输出方程的解,如果系统运行的初始时间为t0,则,输出方程,其解为,零输入响应,零状态响应,冲激响应矩阵,定义,零状态响应为,称为冲激响应矩阵,单位阵E,冲击函数的筛分作用!,矩阵指数函数的计算,凯莱-哈密顿(Cayley Hamilton)定理,(i)化 为有限项之和进行计算,一个n阶方阵必定满足于它自身的特征方程,一个n阶方阵A必定满足于它自
20、身的特征方程,n阶方阵A的特征方程为,情况1 A的特征值各不相同,特征根为单根,的转置称为范德蒙矩阵,矩阵形式,范德蒙矩阵,例题,特征根有重根,情况2 A的特征根1为m阶重根,其它特征根均为单根。则重根部分方程为,例题,（ii）化A为对角阵进行计算,当A为友矩阵时，P可取范德蒙矩阵。,或者,设A有n个彼此相异的实特征根1,2,n。,定义,diag1,2,n；,若P(1),(2),(n)，则(k)满足 A(k)k(k),(k1,2,n),取,代入状态方程,例题,实例,解耦状态方程,系统输电线路实例,2.线性时变网络状态方程的解法,状态方程为,状态方程的解为,输出方程为,其解为,二 状态方程的复频
21、域解法,线性时不变网络的状态方程为,令,对状态方程两边取拉氏变换,状态方程的复频域解,零输入响应象函数 零状态响应象函数,状态方程的时域解为,矩阵(s1A)1称为预解矩阵,输出方程,称为网络函数矩阵,例题,式中,零输入响应象函数 零状态响应象函数,Jump,5-4状态方程的小信号分析,一、自治网络的小信号分析,U代表电路中m维直流电源向量。,平衡点,自治网络的状态方程,对于任一点x Q,如果 在x Q处为零,则把x Q称为自治状态方程的平衡点。,平衡点,对于任一点x Q,如果 在x Q处为零,则把x Q称为自治状态方程的平衡点。,或者,一、自治网络的小信号分析,以状态方程为基础的非线性动态电路
22、的小信号分析法,必须满足,设,设F对x和 存在一阶偏导数,并且在所有时间,足够小；,二、非自治网络的小信号分析,设,相应于时变偏置源 的状态,x(t)相应于小信号输入u(t)的状态摄动。当u(t)=0时，x(t)=0。,在时变偏置源和小信号输入作用下,小信号等效网络的状态方程为,对于非线性动态电路,对于流控电感,对于压控电容,对于线性动态电路,以p表示微分算子,则,5-5 稀疏表格法,对于荷控电容和链控电感,对于含有高阶元件的电路,对于忆阻元件,对于线性动态网络,对于非线性高阶元件,对于非线性动态电路,例题1,例题2,5-6 改进节点法,线性动态电路时域的改进节点电压方程,式中Yn1、C和D中
23、可能含有一阶微分算符 这是由网络中的储能元件、忆阻元件和高阶元件引起的。,例题1,例题2,常态网络,5-7 端口分析法,一、线性动态网络的端口法,多口网络方程为,对于仅由电阻、电感、电容和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容和独立电压源组成的回路(称为C-E回路)和仅由电感和独立电流源构成的割集(称为L-J割集),则称为常态网络。,对于电阻、电感、电容、D型元件、E型元件和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容、D型元件和独立电压源组成的回路(广义C-E回路)和仅由电感、E型元件和独立电流源构成的割集(广义L-J割集),则称为广义常态网络,否则称为广义非常态网络。,或者,一、线性动态网络的端
24、口法,对于电容组成的p口网络,p阶矩阵C在仅由二端线性电容组成的情况下为一对角矩阵,q阶方阵L在仅由二端线性电感组成的情况下为一对角矩阵,对于电感组成的q口网络,r阶方阵E在仅由二端线性E型元件组成的情况下为一对角矩阵,对于E型元件组成的r口网络,设第k个E型元件的阶数为mk，需要补充(mk-1)个状态方程，这样的方程共有r个！,对于D型元件组成的s口网络,s阶方阵D在仅由二端线性D型元件组成的情况下为一对角矩阵,设第k个D型元件的阶数为nk，需要补充(nk-1)个状态方程，这样的方程共有s个！,(a),(b),(c),端口电压与电流之间的关系为,对于RLC非常态网络,抽出的端口数目最少,连支
25、电容和树支电感不单独形成端口！,图中多口电阻网络,对应全部连支电容开路和全部树支电感短路的等效多端口网络！,二、非线性动态网络的端口法,对于非线性时不变RLC网络一般网络结构为,YR和XR为非线性电阻p口网络的端口变量；YD和ZD为储能元件构成的q口网络的端口变量；v1(t)和v2(t)表示网络的输入电源。,设线性(p+q)口电阻网络具有下列的混合描述,(p+q)口电阻网络！（-）,XD为电容电荷和电感磁链组成的列向量,设非线性电阻的赋定关系为,储能元件的赋定关系为,THE END,非线性网络的方程为,例1 列写如图所示电路的状态方程。,解,对接有电容C的节点a列写节点方程，得,选电容电压uC
26、和电感电流i1、i2为状态变量,例题集,对含有L1的回路C-L1-uS和含有L2的回路C-L2-R-uS分别列写回路方程，,对上述方程进行整理并写成矩阵形式，得,返回(back),例2 列写如图所示电路的状态方程。,解 每个元件作为一条支路，可作出图示的有向图(实线为树支)。,对基本割集列写KCL方程，得,选 和 为状态变量。,对基本回路列写KVL方程，得,写成标准形式，得,返回(back),例3 列写图示电路的状态方程。,解 对C1、C3和us组成全电容回路,故u1和u3两个电容电压只能选其中之一为状态变量；,应用KVL得,对L2、L4和is构成全电感割集,电路的有向图如图示,故选u1和i2
27、为状态变量。,故i2和i4两个电感电流只能选其中之一为状态变量。,应用KCL得,对基本回路列写KVL方程，得,对基本割集列写KCL方程，得,消去u3和i4，整理成标准形式状态方程，有,返回(back),例4 列出图示电路的状态方程和输出方程。设输出为电阻电压u3和u4。,解 电路的有向图如图示。,选取u c、i1和i2为状态变量,含电容的基本割集电流方程为,含电感的基本回路电压方程分别为,对基本割集列写电流方程，得,代入基本回路电压方程，得,对基本回路列电压方程，得,状态方程的矩阵形式为,由,和,根据欧姆定律,返回(back),输出方程的矩阵形式为,含高阶元件的电路例题,例5 试列写如图所示网
28、络的状态方程。高阶元件D的赋定关系为,解 由KVL和电感的VAR得,由KCL和高阶元件赋定关系及电导VAR得,令,所求的状态方程为,返回(back),线性时变网络例题,例6试写出图示时变网络的状态方程。,解 取电感电流i和电容电荷q为状态变量,图中,则矩阵形式的状态方程为,返回(back),若取电感电流i和电容电压uC为状态变量，则电路的状态方程为,非线性动态电路,例7 列写图示电路的状态方程。,解 选电容电压u C和电感电流i L作为状态变量。,由KCL和电容的VAR得,由KVL和线性电感的VAR,图中非线性电阻的伏安关系为,将非线性电阻的VAR代入上式,并注意到iRiL，得,返回(back
29、),电路的状态方程,例8试列写图示电路的状态方程。其中,非线性电容的特性方程为uCh(q),非线性电感的特性方程为i Lf()。,解 取电容电荷q和电感磁链为状态变量。,由KCL得,由KVL得,将iLf()和uCh(q)代入，消去非状态变量,返回(back),电路的状态方程为,(a),例9 图(a)所示的电路是一个出现非物理现象的电路。图中,电感为线性元件,非线性电阻为压控的,其赋定关系为iRf(uR)uRu3R3。,对图示电路,应选电感支路为连支,电阻支路为树支。,由于树支电阻为压控的,不满足元件特性条件,故无法列出状态方程。,但我们可以列出其电路方程。,(b),由此可见,uR与 总是异号的
30、,即,如图（b）所示，Q1,Q2为死点,返回(back),(c),修正方法：在电路中添加一个数值很小的寄生电容,如图(c)所示(对于实际电路来说,这种寄生电容总是存在的)。此时可列出状态方程为,iRf(uR),例10 在图中(a)的电路中,一个1的线性电阻与一个赋定关系为qCf(uC)uC0.5u3C的压控非线性电容相连。对于该电路可列出如下方程 如图（b）所示，Q1,Q2为死点,(a),(b),方法：添加一个D型(FNDR)元件(D为微量),如图(c)所示。引入变量，则可得下列标准形式的状态方程,返回(back),(c),矩阵指数函数,例 已知,解 A的特征方程为,求,特征根为11,22。代
31、入上式有,解得,返回(back),例 已知,解 A的特征方程为,特征根1为二阶重根。,求,据前式有,返回(back),解得,例 已知,求,解 A的特征方程为,时,由,可得一独立方程。,取,则,即,时,得一独立方程,取,则,即,返回(back),于是,矩阵P正好为范德蒙矩阵。,时域解法,例 用状态变量法求图示电路中电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的单位阶跃响应。,解 选uC和iL为状态变量则电路的状态方程为,所以,A的特征方程为,相应的特征根为,则,解得,电路为零状态：uC(0_)0，iL(0_)0，且us(t)(t)V,返回(back),频域解法,且有 us(t)100(t)V，uC(0
32、_)20V，iL(0_)0求 t0 时的 uC(t)和 iL(t)。,例 电路的状态方程为,则,解,(1)求零输入响应,逐项取拉氏反变换,得零输入响应为,(2)求零状态响应,分别取拉氏反变换,得零状态响应为,(3)求全响应,全响应为,返回(back),(a),(b),例1 在图(a)所示的线性动态网络中,高阶元件D的伏安关系为,试写出该网络的表格方程。,解 网络的有向图如图(b),图中将节点和相铰链在一起,并选作参考点。,KCL矩阵方程为,KVL矩阵方程为,高阶元件D的伏安关系用一阶微分方程表示,得,则支路方程为,加入初始条件,支路方程为,如果令 则上述支路方程可写成,KCL,KVL,支路方程
33、,返回(back),三组方程联立即为所求,(a),(b),例2 在图(a)电路中,非线性电感用其小信号电感表示的特性方程为,非线性受控电压源的方程为,非线性电阻的特性方程为i6g(u6)。,试写出该电路的表格方程,解KCL方程为,KVL方程为,支路方程,KCL,KVL,支路方程,三组方程联立即为所求,代数-微分混合的非线性方程。,返回(back),例1(MNA)在图1所示网络中,且i1(0)、i2(0),u4(0),已知,试写出该网络的MNA方程。,解 本例中电压源电流i6、耦合电感的电流i1和i2应作为附加未知量,另外,由于存在高阶元件,也应选作未知量。,对节点、和分别列写KCL方程,并考元
34、件的VAR，有,对节点、和分别列写KCL方程,并考元件的VAR，有,另外还可写出,返回(back),写成矩阵形式,得,例2(MNA)如图所示的非线性动态网络中,非线性电容用它的增量电容表示,即,非线性电感元件用它的增量电感表示,即,非线性电阻是流控的,即,运算放大器采用它的有限增益模型,即,解 类似前例,非线性网络的MNA方程为,(1)节点方程,(1)节点方程,(2)附加方程,这就是MNA方程！,返回(back),对于一般的非线性动态网络,其MNA方程具有下列形式,返回解耦,电阻元件,忆阻元件,电感元件,电容元件,韦-库特性,记忆电阻特性分析,这是由相应的对应关系导出的。,韦-库特性,电阻的量纲，显然其电阻值随q变化与之历史有关，称为记忆(电阻)元件。,库-韦特性,若,与一般线性电阻没有什么不同，没有什么意义。,返回,若,输出方程的解,如果系统运行的初始时间为t0,则,输出方程,状态转移矩阵:矩阵指数函数,其解为,记作,零输入响应,零状态响应,
