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1、第三章 点、线、平面的投影 3-1 点,一、点的两面投影,证明,点的投影,a,a,b,b,c,c,例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置,二、点的三面投影,1.三面投影体系,2.点的三面投影,3.点的投影与坐标的关系,Y,例题3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置,例3-3：根据点的两面投影求第三投影,辅助线,三、两点的相对位置,1.相对位置的判定,b,b,b,(b),(d),不可见者用括号表示,2.重影点及其投影的可见性,3-2直线的投影,直线的投影可由直线上任意两点的投影决定,1.直线的倾角：对水平投影面的夹角对正投影面的夹角对侧投影面的夹角,一、各种位置直线的投影,1 投
2、影面的平行线,2 投影面的垂直线,3 一般位置线,b,1、投影面的平行线,实长,（1）水平线,（2）正平线,（3）侧平线,水平线的投影特征：,（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长；,（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；,（3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。,a,a,a,例题1,例题3-4：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30。,(1)铅垂线,2、投影面的垂直线,(2)正垂线,(3)侧垂线,（4）、垂直线的投影特征：,例题2,例题3-5 根据投影图判断下列直线的空间位置,讨论,1、在垂直线投影图上能否量得、和？,2、既然垂
3、直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？,3 一般位置线,A0,实长,实长,实长,Za-Zb,求直线对投影面的倾角及线段的实长,例题3,例题3-6 已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的倾角。,例题4,例题3-7 已知直线AB的水平投影ab，和正面投影a,并知AB对H面的倾角为30，求AB的正面投影及实长,X,O,a,a,b,点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上,定比性：AC：CB=a c:c b=ac:cb=ac:c b,二、直线上的点,例题3-8:在直线AB上找一点K,AK:KB=3:2。,3,2,k,k,例题5,例题6,例题3-
4、9:判定点K是否在直线AB上。,例题7,例题3-10:已知点C在直线AB上，且AC=20,求C点的投影。,c,c,课后思考题,1、判断AB线的空间位置,课后思考题,2、请指出立体上棱线的空间位置，并画出相应的投影。,思考练习题,请指出立体棱线的空间位置,并找出其相应的投影,3-3 两条直线的相对位置关系,两条直线的相对位置,共面:平行、相交（垂直）,不共面：交叉(垂直）,一、平行,两条直线平行同名投影平行,平行,例一：,例二：,当两条直线为某一投影面的平行线时，必须在该投影面内判断两条直线是否平行,二、相交,两条直线相交 同名投影相交,k,k,交点的投影符合点的投影规律,例题3-11：过点A，
5、作直线AB，与已知直线CD相交。,无数解,唯一解,例题3-13：过线外一点A，作正平线与CD相交。,例题3-14：从F点作直线，使其与AB、CD均相交,k,k,e,(e),例题3-15：已知两平行线AB、CD，求作于其相交的水平线MN，使其距H面的距离为15。,15,三、交叉,交叉直线的特征:即不平行也不相交,e(f),判定可见性,e,f,f(e),g,h,g(h),例题3-16：判定重影点的可见性。,四、垂直,定理：互相垂直的两直线，当其中有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面上的投影反映直角。,证明：,bcab,BC 平面ABab,bc 平面ABab,逆定理也成立：如果两直线在某一投影
6、面上的投影互相垂直，而其中有一条直线平行于该投影面，那么这两条直线在空间一定垂直。,相交垂直,交叉垂直,垂直的两种情况：,判断垂直,例题3-17：求两直线AB与CD之间的距离。,(f),e,f,e,公垂线,例题3-18：已知矩形ABCD的一边AB 平行于H面，完成该矩形的两面投影。,d,d,c,3-4 平面的投影,一、平面表示法,1、几何元素表示法,几何元素表示平面的方法,2 迹线表示法,迹线平面与投影面的交线,Pv,PH,Pw,二、各种位置平面,1平面的倾角,（1）正垂面,2.垂直面,2.垂直面,（2）铅垂面,2.垂直面,（3）侧垂面,垂直面的投影特性,正垂面,铅垂面,侧垂面,1 在与平面垂
7、直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该直线与投影轴的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。,2 在与倾斜的投影面上的投影为类似形。,3、平行面,（1）水平面,（2）正平面,（3）、侧平面,平行面的投影特性,2 在另外两个投影面上，其投影积聚成一条直线，且平行于投影轴,4、一般位置面,例题3-19：根据投影判定平面的位置,正平面,铅垂面,正垂面,水平面,侧垂面,侧平面,例题3-20：指出围成立体各平面的空间位置并找出相应的投影,三、平面内的点和直线,1、平面内的点,点在平面内，则该点必在已知平面内的一条直线上,平面内的直线,2、平面内的直线,如果直线在平面内，它必须通过平面内的两点；或通过平面内的
8、一点，且平行于平面内的一条直线,特殊位置平面上的点可根据其积聚性求出,一般位置平面上的点的确定要依靠平面上的直线作为辅助直线,例题3-21：判断K点是否在平面上,例题3-22：已知MN是平面ABCD内的一条直线，求其水平投影。,m,n,绿色的直线在平面内吗？,例题3-23：已知平面ABC内的点D的正面投影，求其水平投影。,例题3-24：判定点K、E点是否在平面ABC内。,平面是可以无限延伸的,例题3-25：完成ABCD的投影。,o,d,3、平面内的特殊位置线,（1）平面内的投影面平行线,特点：,在平面上,具有平行线的投影特征,例题3-26：在平面内画出水平线、正平线和侧平线,在平面上可以画出许
9、多条正平线，但方向是一致的。,一般位置平面内平行线的空间形态,一般位置平面内投影面的平行线的空间形态,讨论：,1 在一般位置平面内能否画出投影面的垂直线？,2 在水平面内能画出几种投影面 的特殊位置线？,3 在铅垂面内能画出几种投影面 的特殊位置线？,2、平面的最大斜度线,最大斜度线垂直于平面内投影面平行线的直线,最大斜度线与投影面夹角最大,证明：,B1,最大斜度线垂直于平面内投影面平行线的直线,最大斜度线与投影面夹角最大,最大坡度线垂直于平面内水平线的直线,意义：最大斜度线与投影面夹角反映了平面与投影面的夹角。,例题3-27：求三角形ABC与H面的倾角,1 求水平线,2 求最大坡度线,3 求
10、 角,讨论2,一条最大坡度线能否决定一个平面？,k,k,想一想,包含水平线AB作一与H面倾角为30的平面,c,d,d,3-5 线与面、面与面的相对位置,平行关系,如果一条直线平行于平面内的任意一条直线，则该直线与该平面互相平行,一、直线与平面平行,例题1：过点A作一水平线AB,使其与平面ECD平行。,X,例题2：判定直线AB与平面ECD是否平行。,O,例题3：判定直线AB,与平面ECD是否平行。,O,例题4：过点C作一平面平行于直线AB。,平行于一条直线的平面可以有无数个,如果平面内的两条相交直线平行于另一平面内的两条相交直线，则两平面互相平行,二、两平面平行,例题5：过点A作一平面与平面DE
11、FG平行,例题6：判定两正垂面是否平行。,e,e,c,c,d,d,a,a,b,b,g,g,例题7：判定两平面是否平行。,相交问题,1、共有点：既属于直线又属于平面,2、可见性：重影点,1、特殊位置直线与一般面相交（利用积聚性求交点）,k,k,当相交的两个元素中有一个是特殊位置时，从有积聚性的投影下手解题,O,X,b,b,2、一般线与投影面垂直面相交（利用积聚性求交点）,O,X,b,b,k,k,4、一般面与投影面垂直面相交（利用积聚性求交线）,k,l,k(l),两垂直面的交线是垂直线,3、一般线与一般面相交（用辅助线(平面)求交点）,k,k,交点是可见与不可见的分界点,PH,用辅助平面（线）求交
12、点的一般步骤：,1 含已知直线的一个投影作一辅助面（通常为垂直面）；,3 交线的投影与已知直线的同名投影相交，得交点；,4 判定可见性：利用重影点。,k,k,PH,2 求该辅助面与已知平面的交线；,k,k,例题8：求直线AB,与平面ECD的交点,4、两平面相交,交线共有线,例题9：求两平面的交线，并判断可见性。,a,b,c,d,e,f,g,f,e,g,5、两一般面相交（利用线面交点法求交线）,m,m,n,n,全交,例题10：求两平面的交线，并判断可见性。,m,m,n,n,例题11：求两平面的交线，并判断可见性。,互交,特殊情况：用辅助平面求两平面的交线,Pv,k,k,Qv,l,l,平面扩大后再
13、交,垂直（往往是综合性的）,如果一条直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则直线与平面互相垂直,b,b,2 求交点,k,k,3 判别可见性,不可见,不可见,例题12：过点A作直线AB,垂直于平面ECD，并求交点。,1 求垂直线：其正面投影垂直于正平线的正面投影；水平投影垂直于水平线的水平投影；,2 求交点,3 判别可见性,b,b,k,k,例题13：过点A作平面与直线垂直。,c,c,b,b,例题14：判定直线AB与平面ECDF是否垂直。,d,c,c,b,b,O,e,e,d,X,a,a,f,f,例题15：判定直线AB与铅垂面是否垂直。,与铅垂面垂直的线一定是水平线且水平投影垂直于平面的水平投影,例题
14、16：已知矩形ABCD的一边AB的两个投影及邻边AC的正面投影，要求完成矩形的投影。,c,d,d,线面垂直思路解决的几种常见的应用题：,1 已知平面，求垂直线2已知直线，求垂直面3求点到平面的距离问题4 垂直问题中，反映的构建很重要。,参与相交的两个平面都是特殊位置时，其交线的投影如何求出？,两个平面的交线应该在投影图上画多长？,3、两平面垂直,包含与平面垂直线的所有平面都与该平面垂直,例题17：包含直线作一平面，与已知平面垂直。,例题18：判定两平面是否垂直。,例题19：判定两平面是否垂直。,直线与平面、平面与平面的相对位置：小 结,平行,定理,几何作图,平面与平面,定理,直线与平面,求交点,几何作图,特殊位置的平面和直线,一般位置的平面和直线,平面与平面,求交线,直线与平面,垂直于面内的正平线和水平线,几何作图,平面与平面,含垂直线,直线与平面,相交,垂直,
