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1、第六章 离散系统的Z域分析,要点：为什么要提出Z变换？Z变换及其性质(Z变换、逆Z变换、性质、与拉氏变换的关系)；离散系统Z域分析(解差分方程、离散系统函数)；,6.1 Z变换,1.从抽样信号（离散）的拉氏变换引出Z变换,均匀冲击抽样,拉氏变换,积分求和交换,令得,2.Z变换的定义 序列x(n)的双边z变换序列x(n)的单边Z变换,3.Z变换的收敛域,幂级数收敛,P271,z变换与拉氏变换的关系,s z 平面的映射关系复变量关系 zs:z=esT,s=(1/T)lnz坐标关系：s=+j,z=rej rej=e(+j)T,r=eT,=T,Ts=2,虚轴=0s=j,单位圆r=1,任意,左半平面（0
2、),单位圆内r1,任意,右半平面（0),单位圆外r1,任意,S平面,z平面,负实轴=r 任意,辐射线=常数r任意,正实轴=0，r任意,实轴=0s=,平行直线=常数,js/2平行线,级数收敛的充要条件：绝对可和，即|x(n)z-n|正向级数收敛性判别法：比值判别法：对于级数|an|,根值判别法：,1,发散=1,收发,1,发散=1,收发,例 已知,其中0a1,求其双边z变换,x1,x2,单位圆,单位圆,a,a,收敛域,收敛域,例 求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换,解 若|a|b|,收敛域：|a|z|b|,若|a|b|,则序列的Z变换不存在,4.典型序列的Z变换,(1)单位
3、脉冲序列(n)(2)单位阶跃序列u(n),(3)斜变序列 nu(n),(4)单边指数序列an u(n),同样,(5)正余弦序列sin(0n)u(n)和 cos(0n)u(n),6.2 Z变换的性质,单边Z变换的性质1.线性 若 Zx(n)=X(z),Rx1|z|Rx2 Zy(n)=Y(z),Ry1|z|Ry2 则 Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z),R1|z|R2,或 max(Rx1,Ry1)|z|min(Rx2,Ry2)即两个收敛域的重叠部分,例1.已知 x(n)=anu(n),y(n)=anu(n-1),求x(n)-y(n)的z变换。解 Zx(n)=X(z)=z/(z-a),
4、|z|a|Zy(n)=Y(z)=y(n)z-n=anz-n=a/(z-a),|z|a|Zanu(n)-anu(n-1)=X(z)-Y(z)=1|a|z|,2.序列位移特性,表明序列移动前后z变换之间的关系(1)双边z变换的位移特性 若 Zx(n)=X(z)则 Zx(nm)=zmX(z)可使z=0或z=处的零极点变化，但收敛域不会变化，双边X(z)的收敛域为Rx1|z|Rx2,(2)单边z变换位移特性,若 x(n)为双边序列,其单边z变换为 Zx(n)u(n)=X(z)则 Zx(n+m)u(n)=zmX(z)-x(k)z-k Zx(n-m)u(n)=z-mX(z)+x(k)z-k如果x(n)为因
5、果序列，则右移序列的z变换为 Zx(n-m)u(n)=z-mX(z)而左移序列的z变换不变,例 2.求宽度为N的方波序列N(n)的z变换 N(n)=1，0 n N-1,其他为 0解 N(n)=u(n)-u(n-N)Zu(n)=z/(z-1),|z|1根据位移性质有,3.时域卷积定理,若 Zx(n)=X(z),Rx1|z|Rx2 Zh(n)=H(z),Rh1|z|Rh2则 Zx(n)*h(n)=X(z)H(z)x(n)*h(n)=Z-1X(z)H(z)max(Rx1,Rh)|z|min(Rx2,Rh2),例3 求两个指数序列的卷积 x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)解 X(z)=z/
6、(z-a),|z|a|H(z)=z/(z-b),|z|b|Y(z)=X(z)H(z)=z2/(z-a)(z-b),收敛域：两收敛域重叠部分(|z|b|),b,a,J Imz,Rez,例4 求任意因果序列x(n)与单位阶跃序列 u(n)卷积和的z变换。解 设 Zx(n)=X(z),|z|r Zu(n)=z/(z-1),|z|1,于是利用定理：Zx(n)*u(n)=z/(z-1)X(z),|z|max(r,1)序列和的z变换：x(n)*u(n)=x(i),i=0n,Z x(i)=z/(z-1)X(z)，因果序列累加和的z变换，由此反变换可求序列累加和,4.序列线性加权(z域微分):将nx(n)称为
7、对序列x(n)进行线性加权,例5：已知Zu(n)=z/(z-1),求nu(n)的z变换。,同理,5.序列指数加权(z域尺度变换)：anx(n)称为对x(n)进行指数加权,若,则,尺度扩展,尺度压缩,翻转,例6 已知Zcos(0)u(n),求ncos(0)u(n)的z变换。解,已知,ROC:,|z/|1,6.初值定理与终值定理,若 x(n)是因果序列，已知,初值,终值,任意值,6.2 逆Z变换,序列x(n)的Z变换及逆Z变换为,jImz,Rez,R,(1)幂级数展开法（长除法）按定义 X(z)=x(n)z-n 若在收敛域内把X(z)展成幂级数，其系数就是序列x(n)X(n)一般为有理分式,即 X
8、(n)=N(z)/D(z),求逆变换的方法,例求 X(z)=z/(z-1)2 的逆变换 x(n),(|z|1)(如果是因果序列，则按z的降幂排列）解:D(z)=(z-1)2=z2-2z+1 N(z)=z z-1+2z-2+3z-3+z2-2z+1 z z-2+z-1 2-z-1 2-4 z-1+2 z-2 3 z-1-2 z-2 X(z)=z-1+2 z-2+3 z-3+=nz-n(0n)x(n)=nu(n),(2)部分分式法：先将X(z)/z 展成部分分式之和Am/(z-zm)，再乘以z，则有zmX(z)/z的极点，对每一项作逆Z变换，即可得 x(n)。如X(z)/z 中有高阶极点,例 求X
9、(z)=z2/(z2-1.5z+0.5)的 逆变换x(n),|z|1,解,由阶跃和指数序列Z变换关系可知：,连续时间信号 x(t),拉式变换X(t),傅氏变换,离散时间信号 x(n),Z变换X(z),DTFT,抽样,DTFT,IDTFT,Z域、S域、频域之间的关系,离散时间系统的频率响应,1.离散时间系统的频率响应,以=s/2为轴半周对称低通、高通、带通和带阻根据(0，s/2)内的幅值特性来确定,连续系统与离散系统的各种频幅响应的对比,0,0,0,0,0,0,0,0,|H(j)|,|H(j)|,|H(j)|,|H(j)|,|H(ej)|,|H(ej)|,|H(ej)|,|H(ej)|,s/2,
10、s/2,s/2,s,s/2,s,s,s,2.频率响应的几何确定,S-平面,z-平面,Zr,pk:j(0),Zr,pk:z=ej(逆时针),如:D11,D22,N11,N22,|H(ej)|=N1N2/D1D2,|()|=(1+2)-(1+2),|H(ej)|=N1()N2()/D1()D2(),|()|=(1()+2()-(1()+2(),说明,H(ej)|的重复频率:s=2/Ts;对称性:在第一周期,|H(ej)|以=s/2为 对称轴(偶对称);|()|以s/2为对称点(奇对称)极点为0,不影响|H(ej)|,但会改变|()|极零点在单位圆附近时,|H(ej)|将出现峰值与谷值,频率响应的几
11、何确定法 用几何作图法求例的频率响应,=0,jIm(z),-1,(b),(a),Re(z),1,Z2 p2 Z1 p1,2 2 1 1,ej,jIm(z),-1,Re(z),1,p2,1,ej,Z2,Z1,p1,N2 D2 N1 D1,D2,N2,N1,D1,1,2,2,例 设系统的差分方程为 y(n)+0.2y(n-1)-0.24y(n-2)=x(n)+x(n-1)求其频率响应。解 已求得H(z)=z(z+1)/(z-0.4)(z+0.6)分别求H1(ej)=z/(z-0.4)|z=ej,H2(ej)=z/(z+0.6)|z=ej 然后,根据H(ej)=H1(ej)H2(ej)求整个系统的频率特性,前图所给系统的幅频特性,(a),0,|H1(j)|,2,1.67,0.71,(b),0,|H2(j)|,2,1.25,(c),0,|H(j)|,2,2.0,1.0,
