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1、随机变量的数字特征,数学期望,一、离散型随机向量的数学期望,一、离散型随机向量的数学期望,解,一、离散型随机向量的数学期望,一、离散型随机向量的数学期望,二、二维连续型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,设(X,Y)为二维连续型随机变量，则,解,二、连续型随机向量的数学期望,该公式的重要性在于，当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,三、随机变量函数的数学期望,定理2 设g(X,Y)是随机变量X、Y的函数，且Eg(X,Y)存在,(2)如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度为 f(x,y)，则,(1)如果X、
2、Y是离散型随机变量，联合概率分布为 pij,i,j=1,2,，则,三、随机变量函数的数学期望,解,三、随机变量函数的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,例11,解,三、随机变量函数的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,方差的定义,四、随机向量的方差,二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公式求解方差。,四、随机向量的方差,四、随机向量的方差,五、协方差,1.定义,任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),定义为,2.性质,(1)Cov(X,C)=0,C为常数,(2)Cov(X,X)=D(X),(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),
3、Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y),五、协方差,(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),(5)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b 是常数,(7)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),(4)Cov(aX+b,Y)=a Cov(X,Y)a,b 是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y),Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),可见，若X 与 Y 独立，则Cov(X,Y)=0.,3.计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X
4、)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,五、协方差,五、协方差,解 易求得X，Y的概率分布分别为,从而,五、协方差,于是,解,五、协方差,解,五、协方差,解,五、协方差,解,同理，,X与Y不相互独立,五、协方差,由此可知，,X与Y相互独立,Cov(X,Y)=0,反之不一定成立,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.,五、协方差,在不致引起混淆时，记 为.,六、相关系数,相关系数的性质：,证:由方差
5、的性质和协方差的定义知,对任意实数 b,有,0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y),D(Y-bX)=,二、相关系数,存在常数 a,b(b0)，,使 PY=a+b X=1，,即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.,二、相关系数,注：,的值越接近1，Y与X的线性相关程度越高；,的值越接近0，Y与X的线性相关程度越弱.,时，Y可完全由X的线性函数给出；,时，Y与X之间不是线性关系.,由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.,故,请看下例.,二、相关系数,3.X和Y独立时，=0，即X与Y不相关.,注：,时，只说明Y与X之间没有线性关系，,并不能说明Y与X之间没有其他函数关系，,从而不能推出Y与X相互独立.,从而,即X与Y不相关.,即X与Y不独立.,解,六、相关系数,但X与Y满足,例4 设 服从 上的均匀分布，判断X与Y是否相关，是否独立？,定理 若随机变量X与Y的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价.,（1）；,（2）Cov(X,Y)=0；,（3）E(XY)=EXEY；,（4）D(X Y)=DX+DY.,六、相关系数,但可以证明对下述情形，独立与不相关等价,前面，我们已经看到：,若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关.,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,六、相关系数,解,六、相关系数,六、相关系数,二、相关系数,二、相关系数,练习,解,
