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1、计量经济学,1,第四章 非线性模型,计量经济学,2,在实际分析过程中经常研究两类非线性模型;1.被解释变量与解释变量之间非线性，而被解释变量和参数仍为线性关系；如,2.被解释变量和解释变量之间非线性，而被解释变量和参数之间也是非线性关系如柯布道格拉斯生产函数,计量经济学,3,对非线性回归模型，可以用一定的方法把它们转化为线性模型，然后利用线性回归的理论和方法来进一步研究模型的性质。,对非线性回归模型进行线性化处理主要有三种方法：直接代换法、间接代换法和泰勒级数法。前两种方法主要针对可以线性化的模型，而泰勒级数法主要针对不能线性化的模型。,我们主要介绍直接代换法和间接代换法。,计量经济学,4,4
2、.1 直接代换法,适用范围：被解释变量和解释变量非线性，被解释变量与参数线性的非线性模型。,下面介绍在研究现实经济问题中常见的这类非线性模型：多项式模型、双曲线模型和对数模型。,计量经济学,5,4.1.1 多项式模型,多项式模型的一般形式：,转换过程：,则原多项式模型转换为,我们就可以用多元线性回归的方法来分析转换后的线性模型。,计量经济学,6,例4.1 产品总成本模型,已知某行业中10家企业的总产量X和总成本的有关资料：,绘制总成本和总产量的散点图，可以看出它们呈现曲线变化趋势,计量经济学,7,根据经济学中的边际成本的U曲线理论，用产量X的三次多项式来近似表示总成本函数,则原模型转换为,利用
3、已知的数据，对上面的三元线性回归模型进行估计，可得到下面的结果,计量经济学,8,或,(13.2837),(-13.1501),(15.8968),计量经济学,9,4.1.2 双曲线模型,一般形式：,转换：,则模型转换为一元线性回归模型,计量经济学,10,双曲线模型的特点：随着自变量增大，因变量逐渐接近其渐近线,即,计量经济学,11,因变量逐渐减小，向下接近其渐近线,X,Y,计量经济学,12,例4.2 销售额与流通费用率的关系,已知某地区百货公司销售额X与流通费用率Y之间的数据,计量经济学,13,观察商品流通费用率和销售额的散点图，明显发现它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表中数据
4、进行回归，有下面结果：,(10.1313),计量经济学,14,因变量逐渐增大，向上接近其渐近线,X,Y,计量经济学,15,已知某病毒感染率和时间变化相关的数据如下,计量经济学,16,观察病毒感染率和时间变化的散点图，明显发现它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表中数据进行回归，有下面结果：,(-3.475),计量经济学,17,因变量逐渐减小，向下接近其渐近线,X,Y,曲线与横坐标有交点,交点左侧曲线斜率系数大于交点右侧曲线的斜率系数,计量经济学,18,例4.4 菲利普斯曲线,已知某地区通货膨胀率和失业率的数据,计量经济学,19,使用双曲线函数，利用已知数据进行回归，有下面结果,(6
5、.8799),计量经济学,20,4.1.3 对数模型,1.线性对数模型,转换：,则,注意斜率系数,斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的绝对变化,计量经济学,21,在研究宏观经济问题时，经济学家对货币供给与国民生产总值的关系非常感兴趣，他们经常使用线性对数模型来研究货币供给和国民生产总值的关系,计量经济学,22,利用表中数据，使用线性对数模型，得到下面回归结果,(27.4856),表明货币供给增加一个百分点，国民生产总值平均增加2584.785亿元,计量经济学,23,2.对数线性模型,转换：,则,斜率系数,此时斜率系数表明了自变量X的绝对变化引起因变量的相对变化,计量经济学,24,在宏观
6、经济问题中，经济学家也经常关注国民生产总值诸如此类的经济变量随时间变化增长的问题，他们经常使用对数线性模型,计量经济学,25,利用表中数据，使用对数线性模型，得到下面回归结果,（35.6223）,表明时间每增加一年，国民生产总值平均增加0.0888个百分点，也就是说国民生产总值的年平均增长率为0.0888%,计量经济学,26,3.双对数模型,转换,此时斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的相对变化,计量经济学,27,在研究产品的价格弹性和需求弹性时经常使用双对数模型,计量经济学,28,利用表中数据，使用双对数线性模型，得到下面回归结果,(-5.1251),表明自变量即咖啡价格增加1%,因
7、变量咖啡需求量平均减少约0.25，也即咖啡的价格弹性为0.25%,计量经济学,29,4.2 间接代换法,以柯布道格拉斯生产函数为例,函数两端取对数，有,则转换为二元线性方程,计量经济学,30,计量经济学,31,利用课本P37页数据，采用柯布道格拉斯生产函数，得到下面回归结果,(2.2166),(9.3101),计量经济学,32,迭代法进行非线性模型估计,有些非线性模型没有办法通过直接变换或者间接转换法转化为线性模型，此时可以采用高斯牛顿迭代法来进行参数估计。,（1）,计量经济学,33,在一般情况下，NLS估计量是一致的，并渐近服从正态分布，但是一般不能从上面的公式中显性求出参数估计值，只能从参
8、数的某一初始值 开始，经过反复迭代，得到一个估计序列，此序列讲收敛与NLS估计量。高斯牛顿迭代公式为：,（2）,计量经济学,34,（3）,如果初始估计值是一致的，进一步的迭代不会提高其渐近有效性，但在有限样本情况下，将反复迭代直到其收敛为止。,计量经济学,35,销售额与广告收入的模型,已知某公司销售额和广告投入之间的数据，绘制它们的散点图，可以发现它们之间呈现非线性变化趋势。假设它们之间的函数可以用下式表达,计量经济学,36,计量经济学,37,设定待估参数的初始值,在Eviews命令输入区域依次输入：Genr c(1)=13Genr c(2)=-6Genr c(3)=-1.33在 Equation Estimation对话框中的Specification文本框中键入：y=c(1)+c(2)*exp(c(3)*x)，点击确定按钮，输出迭代法估计的非线性模型结果：,计量经济学,38,从而可以写出方程表达式：,计量经济学,39,本章练习题,将下列模型进行适当变换,转化为标准线性回归模型:,计量经济学,40,原模型已线性化,计量经济学,41,两边取对数得：,原模型已线性化,两边取倒数得：,计量经济学,42,原模型已线性化,两边取倒数得：,原模型已线性化,两边取对数得：,计量经济学,43,两边取对数得：,原模型已线性化,
