厦门大学许文彬高级微观经济学全套讲义共744幻灯片可修改.ppt

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1、高级微观经济理论,Advanced Microeconomic TheoryGeoffrey A.JehlePhilip J.Reny,Slide 2,课案简介,底本编写者：夏纪军Email：网页：http:/财大主页公共信息教师主页修订者：许文彬Email：,Slide 3,课程简介,教材：G.A.Jehle&P.Reny Advanced Microeconomic Theory参考书：H.R.Varian Microeconomic AnalysisA.Mas-Colell,M.D.Whinston&J.R.GreenMicroeconomic Theory,Ch 0.导论,Slide

2、5,主流经济学的分析框架,四个分析层次经济环境个体行为分析最优化原则个体互动结果均衡分析福利分析,Slide 6,微观经济学的演变,古典经济学边际革命（1870年代，门格尔，瓦尔拉斯，杰文斯）,Slide 7,微观经济学的演变,古典经济学的核心是初创于李嘉图，综合于穆勒的生产成本价值论。在很大的意义上，马克思的劳动价值论和剩余价值论同样归属于这一体系。边际革命的意义在于力图把经济理论建立在主观意义之上，纳入主观心理的范畴。边际主义者认为，经济学应该是研究享乐并使其最大化的科学；消费是实现和追求享乐的直接领域，因此消费才是经济学研究的基础和出发点。而消费又是通过个人的行为得以实现的，个人是消费的

3、主体，于是，个人的消费行为被视为研究的重点。分析个人消费心理成为经济分析的根本出发点和理论支点。,Slide 8,微观经济学的演变,边际主义者宣称，效用是人对物品满足自己欲望的一种估价，它纯粹是一种主观现象，决不存在于人的意识之外。物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供应存在确定上限。效用和稀缺性结合，就产生了价值现象。所谓价值，就是人对物品主观效用的评价，它显然也是纯粹的主观现象。,Slide 9,微观经济学的演变,门格尔在经济学的研究方法上，强调以抽象演绎法为主，辅以经验归纳法。这一主张是以承认经济规律的存在和能够被认识为前提的。杰文斯和瓦尔拉斯主张并实际进行了将数学方法引入经济学的尝试，

4、成为数理经济学的先驱。二者对此后经济学方法论的发展起到了极其深远的影响。,Slide 10,微观经济学的演变,边际革命的扩展：（1）对边际效用价值论的深化和通俗化（2）从基数效用论转向序数效用论（3）边际生产力论的完成（4）对包括边际效用论和边际生产力论在内的整个边际主义的不同形式的综合阐述。对边际革命不同方向的扩展形成了不同的学派，瑞典洛桑学派、奥地利学派，以及所谓新古典经济学派，都是对边际革命的不同方向的扩展结果。,Slide 11,微观经济学的演变,边际主义学说与原本它要反对的英国古典学派传统的融合，最终形成了新古典经济学。这使边际主义从异端走向正宗，新古典经济学也成为近现代西方经济学的

5、主流学派。这一学派的创始者是马歇尔（1890，经济学原理）。马歇尔的理论将价值论和供求论统一起来，提出“供求均衡价值论”，从而使原本针锋相对的古典经济学和边际主义理论相互融合，并以此为轴线建立起自己的学说体系。马歇尔的理论体系直到1930年代受到来自于凯恩斯的挑战，二战后，凯恩斯主义部分取代了马歇尔理论中关于宏观的方面，从而使得新古典经济学在当代条件下采取了微观经济学的形式。,Slide 12,微观经济学的演变,萨缪尔森基本上全盘继承了马歇尔的理论体系，并吸收了凯恩斯关于有效需求的论述，从而建立起现代微观经济学的理论体系。如果说边际主义革命是现代主流经济学的肇始的话，那么，博弈论的兴起和迅猛发

6、展，就是微观经济学“二次革命”的契机。博弈论的兴起，“正在改写着微观经济学”。,Slide 13,微观经济学的演变,一个粗略的学术谱系：,门格尔,庞巴维克,维塞尔,杰文斯,维斯蒂德,瓦尔拉斯,帕累托,奥地利学派,洛桑学派,古典经济学,马歇尔,萨缪尔森,新古典经济学,边际革命,Slide 14,数学与经济学,提高经济学争论的效率，加速理论的创新。形成统一的知识体系，便于交流、传承，以及知识的积累。,Slide 15,数学基础（一）,集合 实数集n 维欧氏空间 iff xiyi,i=1,2,n,Slide 16,数学基础（一）,Convex sets in Rn is a convex set i

7、f for all we have 如果一个集合包含了该集合中每对点的所有凸组合，它才是凸的。当且仅当我们可把集合内的两点用一条直线连接，该连接线又完全处在集合内的情况下，这一集合才是凸的。,Slide 17,数学基础（一）,:binary relation between S and TAny collection of ordered pairss与t存在特定关系,或,Slide 18,数学基础（一）,Completeness（完备性）A relation on S is complete if,for all elements x,y in S,Slide 19,数学基础（一）,度量与度

8、量空间,欧氏空间欧氏度量：,Slide 20,数学基础（一）,开邻域,Slide 21,数学基础（一）,例1：在R1上的邻域,Slide 22,数学基础（一）,上的邻域：,Slide 23,数学基础（一）,开集如果，都 使，那么 是 上的开集。,Slide 24,数学基础（一）,闭集 S如果 S 的补集 Sc 是开集，那么 S 是闭集。,Slide 25,数学基础（一）,定理：一个集合 是一个闭集，当且仅当，对所有的序列，如果对任意的m有，那么，就有。,Slide 26,数学基础（一）,Bounded Sets（有界集）A set S in Rn is called bounded if it

9、 is entirely contained within someThat is,Slide 27,数学基础（一）,upper and lower bound of S in Rupper bound:u最小上界：上确界（l.u.b.）lower bound:l最大下界：下确界（g.l.b.）,Slide 28,数学基础（一）,定理1.5：实数子集的上界与下界1、有界开集不包含上、下确界；2、有界闭集包含上、下确界。,Slide 29,数学基础（一）,Compact set（紧集）有界闭集,Ch1 消费者理论,Slide 31,1.消费者理论,消费集偏好关系与效用函数消费者问题间接效用函数与

10、支出函数需求函数性质,Slide 32,1.1 消费集,商品 i 及其数量种类有限性数量无限可分,消费组合（束）,Slide 33,1.1 消费集,商品定义时点:今天的面包 VS 昨天的面包地点:上海的面包与北京的面包状态:生产期为1天的面包与生产期为2天的面包,Slide 34,1.1 消费集,例：跨期消费决策两种商品：第一期消费 第二期消费,Slide 35,1.1 消费集,消费集：消费者可以想象自己可能消费的各种消费组合的集合。,反映自然的约束以及消费者关于商品的信息,Slide 36,1.1 消费集,休闲时间,24,面包,自然约束(physical constraint)：总量约束,(

11、i),Slide 37,1.1 消费集,1,3,2,汽车,汽油,(ii),自然约束(physical constraint)：单位约束,Slide 38,1.1 消费集,更具一般性的消费集,Slide 39,1.1 消费集,消费集基本假设Nonempty：is closed凸性(convex),Slide 40,1.1 消费集,可行集 B在给定环境约束下，所有消费者实际上可以选择的消费束。,反映制度、技术、个人能力等因素,Slide 41,1.2 偏好与效用,如何描述消费者的偏好？Betham：效用可度量、可比较Jevons等：边际效用递减法则 需求规律基数效用论,Slide 42,1.2 偏

12、好与效用,序数效用论Pareto(1896)、Slutsky（1915）Hicks（1939）:Value and CapitalDebru（1959）:Theory of Value 公理化方法,Slide 43,1.2 偏好与效用,理性假设the consumer can choose能够判断自己喜欢什么and choices are consistent自己的偏好具有一致性,Slide 44,1.2.1 偏好关系,二元关系(binary relation):如果，有,那么 至少与 一样好。读作：偏好于。,Slide 45,1.2.1 偏好关系,偏好公理1：完备性,Slide 46,1.2

13、.1 偏好关系,定义1.1：如果在消费集 上的二元关系 满足公理1和2，那么我们称它为偏好关系。,Slide 47,1.2.1 偏好关系,定义1.2：strict preference relation,而且,读作：严格偏好于,定义1.3：indifference relation,而且,读作：与 无差异,Slide 48,1.2.1 偏好关系,消费集的分划弱偏好集：严格偏好集：无差异集：,Slide 49,1.2.1 偏好关系,消费集的分划,Slide 50,1.2.1 偏好关系,公理3：连续性,如果 都有 而且有 和，那么就有,定理：,Slide 51,1.2.1 偏好关系,Slide 5

14、2,1.2.1 偏好关系,例1：字典序偏好设，如果 或，并且如：奥运会金牌榜,Slide 53,1.2.1 偏好关系,证明：字典序偏好不连续(反证法),假设：该偏好关系具有连续性,与结论(1)矛盾,Slide 54,1.2.1 偏好关系,公理:局部非饱和性,使得。,总存在改进福利的可能性,Slide 55,1.2.1 偏好关系,X1,不满足公理,Slide 56,局部非饱和性无差异集合是一条曲线，不存在无差异区域。,1.2.1 偏好关系,Slide 57,X3,（好的）商品越多越好！,X2,Slide 58,1.2.1 偏好关系,公理4：严格单调性，如果有 那么有，如果有，那么有严格单调性局部

15、非饱和性,Slide 59,X2,X3,X1,1.2.1 偏好关系,无差异曲线斜率为负,严格单调性,Slide 60,1.2.1 偏好关系,公理：凸性如果，那么,Slide 61,X2,X1,Xt,1.2.1 偏好关系,Slide 62,1.2.1 偏好关系,公理5：严格凸性如果 和，那么,Slide 63,1.2.1 偏好关系,X1,Xt,严格单调、凸性偏好 凸向原点的无差异曲线,Slide 64,X1,Xt,严格单调、严格凸性偏好严格凸向原点的无差异曲线,1.2.1 偏好关系,Slide 65,1.2.1 偏好关系,边际替代率无差异曲线的斜率,凸偏好边际替代率非递增,严格凸偏好边际替代率递

16、减,Ch 1.2.2 效用函数,Slide 67,数学基础：函数,连续性如果定义域的一个“微小运动”并不导致值域的“大跳跃”，那么，函数基本上可以判断是连续的。严格定义：PP427R到R的函数的连续性概念可以推广到两个度量空间之间的函数中。函数,Slide 68,数学基础：函数,连续性（Cauchy）在此定义中，函数的定义域不再在R中取值，而只是在R的一个子集中取值。,Slide 69,数学基础：函数,象与原象（inverse image）连续性与原象（定理A1-6）,Slide 70,数学基础：函数,定理A1.7：连续函数在紧集上的象（image)是紧集,Slide 71,数学基础：函数,极

17、值存在性定理（Weierstrass）证明：根据 定理A1-7，f（x）在 R上是一个紧集，所以f（x）是闭且有界的，令a为其上确界，则a是f（x）的极限点；又因为f（x）是闭的，所以a属于f（x），即在S中存在某点xd，使得f（xd）=a。,Slide 72,数学基础：多变量函数的微分,二阶微分：,（海赛矩阵）,Slide 73,数学基础：矩阵,定义：NN矩阵M，如果 都有半负定矩阵的特点是其每个特征值都是0或负数；负定矩阵的特点是其每个特征值都是负数。,那么，称M是半负定矩阵；,如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。,Slide 74,数学基础：拟凹函数,Slide 75,数学基础：拟凹

18、函数,证明：充分性,定理,f(x)是拟凹函数,Slide 76,数学基础：拟凹函数,必要性：,S(y)是凸集,Slide 77,数学基础：拟凹函数,Slide 78,数学基础：拟凹函数,定理：连续可微函数 f,以下三个命题等价：1、f是凹的，2、对于D中所有x，H（x）是负半定的，3、对于一切x0属于D，,Slide 79,1.2.2 效用函数,定义1.5：实值函数 u:RR是表示偏好关系 的效用函数，如果存在性唯一性,Slide 80,1.2.2.1 效用函数存在性,定理1.1(P14)：代表偏好关系的实值函数的存在性定义在 的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数 表

19、示.。,Slide 81,1.2.2.1 效用函数存在性,定理1.1证明思路先构造一个实值函数然后证明它满足效用函数的条件,Slide 82,I、效用函数的构造,0,连续性,是非空闭集(上一讲公理3),Slide 83,I、效用函数的构造,严格单调性,那么,都有,如果,那么,都有,如果,完备性,（A是有下界闭集）,（B是有界闭集）,Slide 84,I、效用函数的构造,而且 是唯一的。因为：,假设,（严格单调性）,（传递性）,存在唯一的 使得,Slide 85,I、效用函数的构造,0,u(x)ex,Slide 86,至此我们证明出，对于每个x属于R，正好存在一个函数u（x），使得u(x)ex。

20、到此为止,我们构造了一个效用函数,它给X中的每一消费束分配一个数字。以下我们将说明这一效用函数代表偏好关系。,Slide 87,II、是效用函数,（传递性）,（严格单调性）,u(x)是表示偏好关系 效用函数,Slide 88,III、是连续函数,效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆映射(原象),（定义）,（单调性）,（传递性）,是开集,Slide 89,III、是连续函数,定理A1.6：（P429）,，在任意开集,的逆映射 在,是开集,连续,Slide 90,1.2.2.2 效用函数的唯一性,正单调变化,其中,在 的取值范围上是严格递增函数。,Slide 91,1.2.2.2 效用函数的唯

21、一性,定理1.2：效用函数对正单调变化的不变性实值函数u(x)能够表示偏好关系，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。,Slide 92,1.2.2.2 效用函数的唯一性,设 表示的是偏好关系 的结构。,Slide 93,效用函数与无差异曲线,无差异集：,1.2.2.3 效用函数的性质,Slide 94,上等值集(Superior Set),【严格上等值集】,1.2.2.3 效用函数的性质,Slide 95,1.2.2.3 效用函数的性质,严格递增,严格单调,Slide 96,1.2.2.3 效用函数的性质,拟凹,具有凸性,Slide 97,1.2.2.3

22、 效用函数的性质,处处具有可导性无差异曲线光滑（smooth）无差异关系是XX上的光滑流形。,边际效用,（偏好单调性）,（偏好严格单调性）,【几乎处处成立】,Slide 98,1.2.2.3 效用函数的性质,是凹函数,拟凹 边际效用递减,Slide 99,1.2.2.3 效用函数性质,海塞矩阵 满足本章PPT，P13,凹,Slide 100,1.2.2.4 效用函数实例,2X1,X1,2X0,X0,位似偏好(homothetic preference),Slide 101,1.2.2.4 效用函数实例,位似偏好效用函数如果 是位似偏好，那么就可以用一个一次齐次效用函数来表示。,位似偏好：,证明

23、：,Slide 102,1.2.2.4 效用函数实例,位似偏好效用函数如果 是位似偏好，那么就可以用一个一次齐次函数的正单调变换来表示。,Slide 103,1.2.2.4 效用函数实例,拟线性偏好(quasilinear preference)偏好关系 是相对于商品1的拟线性偏好，如果,其中,Slide 104,1.2.2 效用函数实例,拟线性偏好效用函数,Slide 105,1.2.2 效用函数实例,CES（constant elasticity of substitution）效用函数,Slide 106,作业2：,1.12、1.13、1.14、1.15,Ch 1.3 消费者问题,Sli

24、de 108,Ch 1.3 消费者选择问题,最优解的性质最优解的充分必要条件,Slide 109,数学基础,约束最优化求解：拉格朗日方法 受约束于可构造拉格朗日函数，用无拘束三变量函数替代两变量函数：,Slide 110,拉格朗日定理（定理A2-16）,设f（x）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*是f的一个最优值点（最大值或最小值）；f受到 的约束，如果梯度向量 是线性独立的，那么总会存在m个不同的数 使得,Slide 111,定理A2-19,受非负性条件约束的实值函数最优化的必要条件：设f(x)是连续可微的1.如果在 的约束下,x*最大化了f(x),那么

25、x*满足:,Slide 112,定理A2-19,续,2.如果在 的约束下,x*最小化了f(x),那么x*满足:,Slide 113,Kuhn-Tucker条件（定理A2-20）,受不等式条件约束的实值函数最优化的（Kuhn-Tucker）必要条件设f（x）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*受到条件 约束的f的最优解（最大值或最小值解）。如果与所有束紧约束相关的梯度向量 是线性独立的，那么必存在唯一的向量 使得（x*，）满足Kuhn-Tucker 条件：,Slide 114,Ch 1.3 消费者选择问题,分析框架偏好关系：消费集：可行集：最优化选择：,Sli

26、de 115,Ch 1.3 消费者选择问题,假设1.2消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性和严格单调性。消费者的效用可以由一连续、严格递增的拟凹实值函数 表示。,Slide 116,Ch 1.3 消费者选择问题,可行集预算行动规则制度、政府规制等交易规则：完全竞争性市场,可行集：,Slide 117,Ch 1.3 消费者选择问题,例：跨期消费选择,Slide 118,Ch 1.3 消费者选择问题,收入：,利率：,例：跨期消费选择,预算约束：,（未来值形式）,Slide 119,Ch 1.3 消费者选择问题,借不到钱,融资约束,Slide 120,Ch 1.3 消费者选择问题,消费者问题,Sl

27、ide 121,Ch 1.3.1 解的性质：存在性,如果定义域 D是一个紧集，那么,连续实值函数u(x)则存在最大值。,是 上的连续函数,非空,是有界、闭集,是紧集,存在最大值,满足假设1.2,Slide 122,Ch 1.3.1 解的性质：唯一性,如果偏好关系满足严格凸性，可行集B是凸集，那么最优解唯一,证明：,是凸集,与假设矛盾假设不成立解是唯一的,Slide 123,Ch 1.3.1 解的性质：唯一性,非凸偏好,x1,x2,Slide 124,Ch 1.3.1 解的性质：唯一性,非严格凸偏好,x2,Slide 125,Ch 1.3.1 解的性质：瓦尔拉斯法则,瓦尔拉斯法则偏好的递增性当且

28、仅当 满足以下条件时效用函数取到最大值：,Slide 126,Ch 1.3.1 解的性质,偏好的理性、连续性偏好的严格凸性偏好的递增性效用最大化问题的解就是马歇尔需求函数。,存在性,唯一性,瓦尔拉斯法则,马歇尔需求函数,Slide 127,Ch 1.3.2 解的充要条件,偏好具有良好性质，可导,Slide 128,解的充要条件,I、,II、,III、,根据Kuhn-Tucker条件,Slide 129,Ch 1.3.2 解的充要条件,偏好的严格单调性,（几乎处处成立）,内点解必要条件,Slide 130,Ch 1.3.2 解的充要条件,定理1.4：内点解必要条件的充分性如果效用函数连续拟凹，在

29、 可导，而且，。那么满足以下必要条件的解一定是消费者的效用最大化解。,Slide 131,Ch 1.3.2 解的充要条件,拟凹,设,有：,证明,Slide 132,Ch 1.3.2 解的充要条件,即,连续性,与u(x)拟凹性矛盾,Slide 133,Ch 1.3.2 解的充要条件,定理1.5：需求函数的可微性设 为在 下消费者的最优选择。如果有 在 点上的加边海塞矩阵的秩不等于0。,是 上的二阶连续可微函数,Slide 134,例,Slide 135,角点解,Slide 136,角点解,拟线性偏好,Slide 137,角点解,线性偏好,2,4,4,2,x1,Slide 138,角点解,Slid

30、e 139,角点解,1、,2、,Slide 140,角点解,3、,Slide 141,作业3,1.20、1.22、1.23、1.24、1.25、1.26、1.27,Ch 1.4 间接效用与支出,Slide 143,数学基础,值函数（Value function）,MP：,Slide 144,最大化定理,如果目标函数与约束条件关于参数是连续的,并且如果定义域是一个紧集,那么,M(a)与x(a)是参数a的连续函数.进一步,如果目标函数,约束条件与解均对参数可微,则有包络定理.,Slide 145,包络定理（定理A2.21）,（MP）中，如果f(),g()对a连续可微，并且对任意a,x(a)0是MP

31、的唯一解，而且对a可微。为该问题的拉格朗日函数，是满足kuhn-Tucker条件的解。那么有（等式右边表示拉格朗日函数关于参数aj的偏导数，它在点（x(a)，(a)）处取值）,Slide 146,包络定理的含义,定理说明了如下情况：当参数发生变化时（并且假设因此变化而使整个最优化问题被重新赋值），它对目标函数最优化值产生的总效应可用如下方式来推导：给拉格朗日函数求参数的偏导数，并接着可在原问题的一阶库恩-塔克条件的解处给该导数取值。证明：略,Slide 147,1.4.1 间接效用函数,Slide 148,1.4.1 间接效用函数,定义在消费集上的效用函数,直接效用函数 u(x),定义在(p,

32、y)上的函数,间接效用函数 v(p,y),当价格、收入变化时，消费者福利会发生怎样的变化？,Slide 149,1.4.1 间接效用函数,性质1：在 上连续,最大化定理,约束函数是p,y的连续函数,性质2：是(p,y)的0次齐次函数,Slide 150,1.4.1 间接效用函数,性质3、4：是y的严格递增函数，p 的递减函数。证明：构建拉格朗日函数令 为最大化问题的解，则根据拉格朗日定理得出存在一个 使得下式成立：易得 0,Slide 151,性质3、4,根据包络定理,因此v(p,y)关于y是递增的.同样根据包络定理有:因此v(p,y)关于p是递减的.,Slide 152,1.4.1 间接效用

33、函数,性质5：是(p,y)的拟凸函数,拟凸,令,Slide 153,1.4.1 间接效用函数,假设不成立，那么,即,与,矛盾,Slide 154,性质6:Roy恒等式：,消费者对物品i的马歇尔需求只是间接效用函数关于pi的偏导数与其关于y的偏导数的比率的负数。根据包络定理，根据性质3，有,Slide 155,1.4.1 间接效用函数,例,Slide 156,1.4.2 支出函数,在给定价格(p1,p2)下，实现效用水平u，至少需要多少预算（支出）？,u,x1,x2,u(x1,x2)=u,等支出线,Slide 157,1.4.2 支出函数,支出最小化问题(EMP),希克斯需求函数,Slide 1

34、58,1.4.2 支出函数,希克斯需求函数 xh(p,u)在价格p下，实现效用水平u，支出最小的消费束。,Slide 159,x1,x2,xh,补偿需求曲线,Slide 160,Hicksian demand function,对于不同的无差异曲线，对于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲线，它们中的每一个的形状与位置将总是由潜在的偏好所决定。在同一条希克斯需求曲线上的每一点，其给消费者带来的效用都相等。显然，在给定价格体系p和效用水平U(x)之后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存在，也不见得唯一，要使其具有存在性和唯一性，还须运用相应的假设。,Slide 161,1.4.2 支出函数,支出

35、最小化问题解的存在性、唯一性支出函数的性质,Slide 162,存在性定理,设消费集合X是向下有界的非空闭集，是连续的偏好，则对任何价格向量 及任何，都有（即希克斯需求集合非空）。因此理性消费者的希克斯需求是存在的。,Slide 163,唯一性定理,设消费集X是凸集,是连续的严格凸偏好,则对于符合条件e(p,x)e*(p)的任何价格体系p和消费向量,希克斯需求集合 中最多只有一种消费方案.因此,理性消费者的希克斯需求是唯一的.,Slide 164,存在性定理的证明,是连续函数,是连续函数,是闭集,Slide 165,续,E有下界,是闭集,2.,1.,存在最小值，即,Slide 166,唯一性定

36、理的证明,u(x)是严格拟凹函数,假设x1,x2都是EMP的最优解,u(xt)u,pxt=px2=e,存在ku,pkxte,如果偏好满足假设1.2，那么EMP最优解唯一,证明：,u(x)是连续函数,与假设矛盾,Slide 167,支出函数e(p,u)的性质,如果u(.)是连续且严格递增的,那么由最小值函数定义的e(p,u)则是:性质1：当效用水平取最低值时，支出函数值为0。,偏好（严格）递增,性质2：在 是连续函数(最大化定理),Slide 168,1.4.2.2 支出函数性质,性质3:对,是u的严格递增函数，而且无上界。证明:,假设非严格递增，令u1u2,记x1xh(p,u1),x2 xh(

37、p,u2),与x1xh(p,u1)矛盾,Slide 169,1.4.2.2 支出函数性质,性质3：证明（微分方法：包络定理）,假设1.,而且可微,u()可微,u()连续，严格递增性,2.,I.,Slide 170,1.4.2.2 支出函数性质,根据拉格朗日定理，必然存在一个*，使得：由于 u(x)是递增的,所以*0根据包络定理：性质4：支出函数是价格的递增函数。,Slide 171,1.4.2.2 支出函数性质,性质5：价格的一次齐次函数,Slide 172,1.4.2.2 支出函数性质,性质6：是价格的凹函数,证明：,Slide 173,1.4.2.2 支出函数性质,性质7:Shephard

38、 lemma证明见性质4.,Slide 174,1.4.2.2 支出函数性质,例:求与 对应的支出函数 解:求拉格朗日函数的一阶条件并消去,得到,于是可得支出函数,Slide 175,1.4.3 间接效用与支出函数的关系,定义,定义,（1.17）,（1.16）,1、,2、,Slide 176,1.4.3 间接效用与支出函数的关系,支出最小化要达到效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化支出为y时效用最大取值为u 支出为y时总能实现效用u y 最小支出e(p,u)效用最大化在支出为y的条件下能达到的最大效用是u支出最小化实现效用u的最小开支取值为e(p,u)当开支取值为e时总能实现u 开支取值

39、为e(p,u)时带来的效用v(p,y)u,Slide 177,1.4.3 间接效用与支出函数的关系,定理1.8：假设 连续且严格递增，如果 和 分别是消费者的间接效用函数和支出函数，那么，对 有：,Slide 178,1.4.3 间接效用与支出函数的关系,假设,e()连续性,(1.17)这是不可能的,证明：,v()是y的严格递增函数,Slide 179,1.4.3 间接效用与支出函数的关系,（1.17）:,假设,证明：,v()连续,这是不可能的,Slide 180,1.4.3 间接效用与支出函数的关系,定理1.9：马歇尔需求与希克斯需求的对偶性在假设1.2下，对于所有有:,Slide 181,

40、1.4.3 间接效用与支出函数的关系,证明：,定理1.8,Slide 182,对偶性的内涵,从表面上看,效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化的问题,支出最小化的希克斯需求没有考虑效用最大化的问题,但事实并非如此.马歇尔需求与希克斯需求是互相一致的,或者说,效用最大化蕴涵着支出最小化,支出最小化也蕴涵着效用最大化.因此,消费最优选择不仅可以看做一个选择与预算线相切的最高无差异曲线的问题,也可以看做是一个选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线的问题.,1.5 需求函数性质,Slide 184,Relative prices and real income.,relative price pri

41、ces the good by some other good,not money.real income is the maximum number of units the consumer can consume if he spends all his money income.,Slide 185,1.5 需求函数的性质,定理1.10:0次齐次和预算平衡在假设1.2下 x(p,y)是(p,y)的0次齐次函数x(tp,ty)x(p,y)for all t0满足预算平衡：p x(p,y)=y,Slide 186,1.5 需求函数的性质,相对价格形式令x(p,y)=x(tp,ty),相对价

42、格：,实际收入：对n种商品中每一种商品的需求只依存于n-1个相对价格与消费者的实际收入。,Slide 187,1.5.2 收入效应与替代效应,希克斯分解替代效应(SE)：在保持消费者最大化效用不变前提下，相对价格变化所引起的需求量的变化。收入效应(IE)：总效应(TE)与替代效应的差。,TE=SE+IE,Slide 188,1.5.2 收入效应与替代效应,Slide 189,1.5.2 收入效应与替代效应,Slutsky 方程,收入效应,替代效应,Slide 190,Slutsky 方程,对偶性,记：,对偶性,Shepard 引理,Slide 191,Slutsky 方程,Slide 192,

43、1.5.2 收入效应与替代效应,是 p 的凹函数(支出函数性质6),定理1-12：负的自替代效应,Shepard 引理,Slide 193,1.5.2 收入效应与替代效应,Normal goods,inferior goods,Giffen Goods,Slide 194,1.5.2 收入效应与替代效应,Normal goods,inferior goods,Giffen Goods,Slide 195,需求规律,定理1-13:正常商品自身价格的下降将导致需求的增加。如果自身价格下降导致需求减少，那么该商品必定是劣质商品。,Slide 196,Income and Substitution e

44、ffects:Normal Good,Food(units per month),O,Clothing(units permonth),Slide 197,Food(units per month),O,R,Clothing(units permonth),F1,S,F2,T,A,U1,E,SubstitutionEffect,D,Income and Substitution effects:Inferior Good,Slide 198,1.5.2 收入效应与替代效应,定理1-14:对称性替代项,e(p,u)二次连续可微,Shepard 引理,Slide 199,1.5.2 收入效应与替代

45、效应,定理1.15：负半定替代矩阵,Slide 200,1.5.2 收入效应与替代效应,是 p 的凹函数,负半定,Slide 201,1.5.2 收入效应与替代效应,定理1.16：负半定对称斯勒茨基矩阵,Slide 202,Application,定理1-10和1-16可用于对理论或实证模型进行检验.消费者需求满足齐次性和预算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩阵必须是对称的和负半定的要求,为实际估算马歇尔需求方程组中参数的设定规定了一系列严格的限制(当然,在这种情况下,消费者必须是理性的价格接受者).,Slide 203,1.5.3 弹性分析,收入弹性价格弹性收入份额,Slide 204,消费者需求

46、的加总,定理1-17:设x(p,y)是消费者的马歇尔需求,则如下关系必须在收入份额,需求的价格弹性与收入弹性间成立:1.Engel aggregation:它表明收入份额加权的收入弹性之和为1.2.Cournot aggregation:它表明加权的自身需求价格弹性与交叉需求价格弹性总可以某种特殊方式加总.,Slide 205,恩格尔加总,Slide 206,古诺加总,Slide 207,To sum up,定理1.10-1.17共同给出了一个有关效用最大化行为的逻辑含义的说明:齐次性告诉我们需求必将对等比例的价格与收入的同时变动做出反应,预算平衡性则要求需求耗尽消费者的收入.斯勒茨基方程告诉

47、我们,针对一般性的价格变化,需求的变化数量和方向将怎样(它还考察了那些不可观测到的需求变化是如何具体影响需求总量,从而使需求量表现为我们最终观测到的实际变化).最后,加总关系提供了有关需求量如何在整个需求函数方程组中被“放到一起”的技巧.,Slide 208,作业,29、38、45、46、50、54、60、62、63,Ch 2 消费者理论专题,Slide 210,数学基础,超平面（hyperplane）a hyperplane is any codimension-1 vector subspace of a vector space.Equivalently,a hyperplane V i

48、n a vector space W is any subspace such that W/V is one-dimensional.,Slide 211,欧拉定理,当且仅当如下式子成立时，f(x)是k次齐次性的:,Slide 212,Ch 2,对偶性可积性显示偏好不确定性,Slide 213,2.1 对偶性深入分析,偏好,EMP,UMP,Slide 214,2.1.1 支出与偏好,它可能是、也可能不是一个支出函数。满足什么条件时是支出函数？从消费者的支出行为能否还原其偏好关系？在前面一章，我们的支出函数构造思路是：效用函数EMP支出函数而在本章我们的思路正相反：支出函数效用函数,Slide

49、 215,定理1.7：支出函数的性质,1.在 连续2.对,是u 的严格递增函数，而且无上界。3.是价格的递增函数。4.是价格的凹函数5.是价格的一次齐次函数,Slide 216,命题1：（本节所要说明的问题）,如果E(p,u)满足定理1.7：1-5性质，那么它就是某一偏好的支出函数。换言之，与此支出函数相对应的效用函数必然存在。等价提法：能够构造一个效用函数u()，使得E(p,u)正好是该效用函数下的支出函数。思路：构造一个函数证明它是效用函数,Slide 217,2.1.1 支出与偏好,偏好,EMP,UMP,根据支出行为，能够恢复其偏好关系,Slide 218,X,E(p,u0),u0,X,

50、u(x),A(u0),表示的是这样的消费组合集合，它在任何价格水平下都能满足pxE(p,u0),Slide 219,X,E(p,u0),u0,X,u(x),A(u0),A(u1),u1,A(u2),u2,u*,Slide 220,先构造：A(u):E(p,u)的上等值集然后在A(u)基础上构造u(),Slide 221,效用函数的构造,给定,令,超平面：,Slide 222,效用函数的构造,p0 x是x的连续函数,A(p0,u0)是闭集,p0 x是x的线性函数,所有在价格 p0下能够达到u0的消费束都在A(p0,u0)内，据此我们有：,A(p0,u0)是凸集,A(u0),A(p0,u0),Sl