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1、定积分的概念定积分的性质 中值定理微积分基本公式定积分的换元积分定积分的分部积分广义积分与函数定积分的应用,第五章 定积分,第一节 定积分概念,定积分概念,定 积 分,引例：曲边梯形的面积,(i)分割：,(ii)作积：,(iii)求和：,1.定积分定义 设函数f(x)在a,b上有界，,(iv)取极限：,(i)分割：,(ii)作积：,(iii)求和：,(iv)取极限：,这里f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a,b叫做积分下限和上限，a,b叫做积分区间。,注意:(i),(ii),2.可积的充分条件,定理1：若f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。,定理2
2、：若f(x)在a,b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在a,b上可积。,3.定积分的几何意义,4.例子,解：,解：,第二节 定积分的性质,定积分的性质,规定：,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,推论：,性质6：（估值定理）,性质7：（定积分中值定理）,例1 根据定积分的性质，说明下列积分哪一个值较大：,解：,例2：估计下列积分值,解：,例3：,解：（利用积分中值定理）,1.估计下列积分值,练习：,2.根据定积分的性质，说明下列积分哪一个值较大：,答案：,一、积分上限函数及其导数概念二、牛顿-莱不尼茨公式（微积分基本公式）,第三节 微积分基本公式,定 积 分,定理1：,证明
3、：,一、积分上限函数及其导数概念,定理2：（原函数存在定理）,定 积 分,定理3：,证明：,二、牛顿-莱不尼茨公式（微积分基本公式）,例1 计算下列定积分,例2,解：,例3,解：,o,x,y,依题意，所求面积为,y=sinx,例4,证,例5,解：,练习,答案,定积分的换元法,第四节 定积分的换元法,定 积 分,定理：,注意：应用公式（*）时，换元必换限。,一、定积分的换元法,证明：,设F(x)是f(x)的一个原函数，则,又令,由复合函数求导法，得,例1 计算下列定积分,解,解,例2 证明,证明,证明,证明,利用上述结果，即得,例3,解,练习,答案,第五节 定积分的分部积分法,定积分的分部积分法
4、,定理,例1,解,解,例2,解,例3 证明,证,练习,答案,一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分三、函 数,第六节 广义积分与函数,一、无穷限的广义积分,定 积 分,定义：,此时也称广义积分 收敛，否则称其为发散。,类似可定义：,例1 判别下列各积分的收敛性，若收敛计算其值,解,解,例2 讨论广义积分 的敛散性.,解,二、无界函数的广义积分,定义：,此时也称广义积分 收敛，否则称其为发散。,类似可定义：,例1 计算广义积分,解,例2 讨论广义积分 的敛散性.,解,练习,答案,1.判别广义积分的 收敛性，如果收敛，计算广义积分值：,2.k为何值时广义积分 收敛性？k为何值时广义积分发散？,
5、答案,函数在理论上和应用上都有重要意义。,定 积 分,三、函 数,定义：,性质：,性质：,证：,定积分的元素法定积分在几何学上的应用定积分在物理学上的应用,第七节 定积分应用,二、元素法实施步骤,(1)所求量与一个变量x的变化区间a,b有关；(2)对区间a,b具有可加性；(3)部分量 的近似值可表示为。,一、定积分的元素法,二、定积分在几何学上的应用,一、直角坐标情形,定积分几何应用之一,平 面 图 形 的 面 积,问题：,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx的小窄条面积近似值，即面积元素,(iii)所求面积,(i)求交点,(ii)相应于0,1上任一小区间x,
6、x+dx的小窄条面积的近似值，即面积元素,(iii)所求面积,解,例求由抛物线所围,图形之面积。,(i)求交点,(ii)相应于-2,4上任一小区间y,y+dy的小窄条面积的近似值，即面积元素,(iii)所求面积,解,例求由抛物线与直线所围图形面积。,(i)取x为积分变量，则,(ii)面积元素,(iii)所求面积,比较方法1和方法2知：适当选择积分变量可以简化计算过程。,(i)两切线交点为,(ii)面积元素,(iii)所求面积,解,练习求由抛物线及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围图形面积。,则,点(0,-3)和(3,0)处的切线方程分别为,y=4x-3 y=-2(x-3),二、极坐标情
7、形,(ii)面积元素,(iii)所求面积,设由曲线 与射线，,围成一图形,求该图形的面积。,(i)取极角为积分变量，则,面积元素,所求面积,例求由阿基米得螺线上相应于的一段弧与极轴所围图形面。,解,设曲线弧由参数方程给出，,求由这曲线弧所围图形的面积。,(i)取 t 为积分变量，则,(iii)所求面积,(ii)面积元素,三、参数方程情形,椭圆参数方程为,面积元素,所求面积,例求由椭圆所围图形面。,解,S1,S2,答案,1.所求面积,2.所求面积,所求面积,体积,定积分几何应用之二,旋转体：由一平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体。,一、旋转体的体积,定直线旋转轴,旋转体体积
8、的计算,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间x.x+dx的小旋转 体体积近似值，即体积元素,(iii)所求体积,旋转轴为x轴：,曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体体积。,例求由连接坐标原点O及P(h,r)的直线及x=h,x轴所围三角形绕x轴所成旋转体之体积。,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx的小旋转 体体积近似值，即体积元素,(iii)所求体积,解OP的方程为,旋转体体积的计算,(i)取y为积分变量，则,(ii)相应于c,d上任一小区间y,y+dy的小旋转 体体积近似值，即体积元素,(iii)所求体积,旋转轴为y轴：,曲边梯形绕y轴旋
9、转一周而成的立体体积。,dy,解:,（）取y为积分变量，则,（）相应于0,1上任一小区间y,y+dy的体积元素,（）所求体积,例求由曲线 和 及x轴所围图形绕y轴旋转所成旋转体的体积。,解:,（）旋转轴为x轴,体积元素：,（）旋转轴为y轴,例求由曲线 和直线所围图形分别绕x轴和y轴旋转而成旋转体的体积。,所求体积:,体积元素：,所求体积：,如图，在距坐标原点为x处取一底边长为dx的小曲边梯形ABCD,易知它绕y轴旋转所得的旋转体体积近似值，即体积元素,例4证明：由平面图形 绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为,于是,所求体积为：,（这是一个底面积为，高为的圆柱体的体积）,证明,解:,（）旋转轴为
10、x 轴,（）旋转轴为 y 轴,练习求由曲线 和直线 x=1 所围图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成旋转体的体积。,所求体积：,所求体积：,1,或,(1,1/e),(1,e),体积元素：,体积,定积分几何应用之二,二、平行截面面积已知的立体体积,若立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴的各截面面积已知，该立体体积亦可用定积分计算。,.过点x而垂直于x轴的平面截立体得截口面积为,则立体体积为,2.过点y而垂直于y轴的平面截立体得截口面积为,则立体体积为,B(y),在所围立体上，作平行于坐标面 yoz 的截面KLMN，由于NM=ML，所以KLMN为正方形，其面积为,例5求 及 两圆柱面所围立体的体积。
11、,所求体积:,解:,所求立体体积为,例6一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角（如图）。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。,如图建立坐标系，则底圆的方程为,截面积为,立体中过点 x 且垂直于 x 轴直角的截面为直角三角形，直角边长分别 y 为及ytana，,解,一、平面曲线弧长的概念,定理：,定积分几何应用之三,平 面 曲 线 的 弧 长,定义：,光滑曲线弧是可求长的。,的极限存在，称此极限 为曲线弧的弧长；并称该曲 线弧是可求长的。,.直角坐标情形,定积分,曲线弧由方程y=f(x)给出，其中f(x)在a,b上具有连续一阶导数，求该曲线(如图)的长度。,(i)取x为积分变量,则,(iii)所求弧长,(ii)弧长元素（弧微分）,二、光滑曲线弧长的计算,设曲线弧由参数方程给出，,其中、在 上具有连续导数，求这曲线,(i)取 t 为积分变量，则,(iii)所求弧长,(ii)弧长元素,参数方程情形,的长度。,曲线弧由极坐标方程,给出，其中在上具有连续导数，,利用,所求弧长,极坐标情形,有,求该曲线弧长。,解,从而弧长元素,所求弧长,例1求由曲线 相应于 的一段弧（如图）的长度。,令,解,所求弧长,例计算星形线 的全长。,弧长元素,解,所求弧长,例计算心形线 的全长。,弧长元素,
