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1、5.3 机械能守恒定律及其应用,知 识 精 要,一机械能1.重力做功的特点重力做功与运动路径无关,只与初末位置的高度差有关,大小:WG=mgh.2.重力势能(1)概念:物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积.公式:Ep=mgh.(2)重力势能是标量,但有正负,其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小,这与功的正负的物理意义不同.,(3)重力势能是物体和地球共有的.重力势能具有相对性,重力势能的大小与参考平面的选取有关.重力势能的变化是绝对的,与参考平面的选择无关.(4)重力做功与重力势能变化的关系:重力做正功时,重力势能减少;重力做负功时,重力势能增加;重力做多少正(负)功,重
2、力势能就减少(增加)多少,即:WG=-Ep.,3.弹性势能(1)概念:物体由于发生弹性形变而具有的能.(2)大小:弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关,弹簧的形变量越大,劲度系数越大,弹簧的弹性势能越大.(3)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功,弹性势能减少;弹力做负功,弹性势能增加.即弹簧恢复原长过程中弹力做正功,弹性势能减少,形变量变大的过程中弹力做负功,弹性势能增加.,二机械能守恒定律1.内容:在只有重力(或弹簧的弹力)做功的物体系统内,动能与重力势能(或弹性势能)可以相互转化,而总的机械能保持不变.2.表达式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2.3.机械能守恒的条件:只有重力或系统内
3、的弹簧弹力做功.,双 基 精 练,1.下列关于重力势能的说法正确的是()A.重力势能等于零的物体,不可能对别的物体做功B.重力势能是地球和物体共有的,而不是物体单独具有的C.在同一高度将物体以初速度v0向不同方向抛出,落到同一水平面时所减小的重力势能相等D.在地面上的物体,它具有的重力势能一定等于零,解析:重力势能具有相对性,重力势能为零的物体,也可以对别的物体做功,例如规定地面处的水桶重力势能为零,它也可以对水井内的水做功,A项错.势能属于系统能量,重力势能是地球和物体共有的,B项正确.重力势能的改变与路径无关,只与物体重力大小和初末位置的高度差有关,C项正确.零势能参考面选择的不同,物体的
4、重力势能值就不同,D项错.答案:BC,2.下列关于机械能是否守恒的论述,正确的是()A.做变速曲线运动的物体,机械能可能守恒B.沿水平面运动的物体,机械能一定守恒C.合外力对物体做功等于零时,物体的机械能一定守恒D.只有重力对物体做功时,机械能一定守恒,解析:判断机械能是否守恒,就要依据机械能守恒的条件来分析.要看是不是只有重力(或系统内弹簧的弹力)做功,而不是看物体如何运动.物体做变速曲线运动,机械能可能守恒,如平抛运动,A对;合外力做功为零,只是动能不变,势能的变化情况不确定,机械能不一定守恒,如物体匀速下落,机械能减少,C错;沿水平面运动的物体,重力势能不变,如果不是匀速,动能发生变化,
5、机械能就不守恒,B错.只有重力对物体做功时,机械能一定守恒,D对.答案:AD,3.有三个质量都为m的小球abc,以相同的速度v0在空中同一位置分别竖直向上水平和竖直向下抛出(忽略空气阻力),三球落地时()A.动能不同 B.重力做功不同C.机械能相同D.重力势能变化量不同解析:三球抛出时的动能和重力势能均相同,机械能相同,抛出后只有重力做功,机械能守恒,C正确,A错.因重力做功与路径无关,所以BD错.答案:C,4.如图所示,细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m,且Mm,不计摩擦,系统由静止开始运动过程中(),A.Mm各自的机械能分别守恒B.M减少的机械能等于m增加的机械能C.M减少的重力势能等于m增加
6、的重力势能D.M和m组成的系统机械能守恒,答案:BD,解析:M下落过程,绳的拉力对M做负功,M的机械能不守恒,机械能减少;m上升过程,绳的拉力对m做正功,m的机械能增加,A错误;对Mm组成的系统,机械能守恒,易得BD正确;M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加,还有一部分转变成Mm的动能,所以C错误.,疑 难 精 讲,疑难点一.我们常用哪些方法判断机械能是否守恒?名师在线:1.利用机械能的定义判断:分析动能与势能的和是否变化.如:匀速下落的物体动能不变,重力势能减少,物体的机械能必减少.2.用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化,而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系
7、统的机械能守恒.,3.对于一些绳子突然绷紧物体间非弹性碰撞等问题,机械能一般不守恒,除非题中有特别说明或暗示.名师提示:判断机械能守恒时,应注意理解机械能守恒的条件,不要把“只有重力和弹力做功”理解为只受重力和弹力,也不要把“其他力不做功”理解为物体受的合力为零.疑难点二.请试着比较机械能守恒定律和动能定理的区别.名师在线:1.机械能守恒定律的适用是有条件的,而动能定理具有普适性.,2.机械能守恒定律反映的是物体初末状态的机械能间的关系,而动能定理揭示的是物体的动能变化与引起这种变化的合外力的功的关系,既要考虑初末状态的动能,又要认真分析对应这两个状态间经历的过程中各力做功情况.3.动能定理侧
8、重于解决一个研究对象受合外力做功的影响,而引起自身动能的变化,即外界因素与自身变化的关系;而机械能守恒定律是排除外界因素对系统的影响,研究系统内两个或多个研究对象之间动能和势能相互转化的规律.,易 错 点 拨,易错点一由于对到达最高点时速度认识不清导致出错自我诊断1如图所示,一物体以初速度v0冲向光滑斜面AB,并能沿斜面升高h,下列说法中正确的是(),A.若把斜面从C点锯断,由机械能守恒定律知,物体冲出C点后仍能升高到hB.若把斜面弯成圆弧形,物体仍能沿AB升高hC.若把斜面从C点锯断或弯成圆弧状,物体都不能升高h,因为机械能不守恒D.若把斜面从C点锯断或弯成圆弧状,物体都不能升高h,但机械能
9、仍守恒答案:D,解析:若把斜面从C点锯断,物体将从C点做斜上抛运动,到最高点速度不为零,据机械能守恒定律,物体不能升高到h;若弯成弧状升高h,则升到圆弧的最高点必有大于或等于的速度,据机械能守恒,不能升高h.,易错点二重力势能变化求解不正确导致出错自我诊断2如图所示,光滑圆柱被固定在水平平台上,质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连,开始时将小球甲放在平台上,两边绳竖直,两球均从静止开始运动,甲上升,乙下降,当甲上升到圆柱的最高点时绳子突然断了,发现甲球恰能做平抛运动,求甲乙两球的质量关系.,解析:当小球甲上升到圆柱体最高点时,绳子突然断开,此时甲恰好做平抛运动,说明甲对圆柱
10、体无压力,由牛顿第二定律得:以小球甲乙和地球为系统,有:m2g()-m1g2R=(m1+m2)v2,由以上两式可求得:m2=m1.,易错点三没有弄清两物体的位移关系和速度关系而导致出错自我诊断3如图所示,轻绳一端悬挂的重物质量为2m,另一端系一小环质量为m,小环套在竖直固定的光滑直杆上,定滑轮与直杆相距d=0.3 m,现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放,试求:当小环沿直杆下滑到d=0.3 m的B处时的速度大小.(重力加速度g=10 m/s2),解析:如图5-3-5所示,小环速度v正交分解得:v1=vcos轻绳拉力分别对小环做负功对重物做正功,即单个物体机械能不守恒,但系统机械能守恒,即:,
11、又 联立可解得:.,题 型 研 练,题型一ti xing yi重力弹簧弹力做功与势能的变化【例1】如图所示,劲度系数为k1的轻质弹簧分别与质量为m1m2的物块12拴接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接,下端压在桌面上(不拴接),整个系统处于平衡,现施力将物块1缓慢地竖直上提,直到下面那个弹簧刚好脱离桌面,求此过程中,物块1和物块2增加的重力势能.,解析:根据平衡条件确定各量之间的关系:,方法总结:本题的情景设置不算复杂,但由于涉及物体的平衡胡克定律重力做功弹簧弹力做功重力势能变化等多个知识点以及弹簧的压缩拉伸物块1和2的重力势能等多个量变化,因此题的难度较大,解本题关键是寻找两弹簧的长
12、度关系变化,在方法上利用整体法和隔离法.,创新预测1如图所示,竖直轻弹簧下端固定在水平地面上,质量为m的小球,从轻弹簧的正上方某一高处自由落下,并将弹簧压缩,直到小球的速度变为零.对于小球轻弹簧和地球组成的系统,从小球开始与弹簧接触到小球速度变为零的过程中,有(),A.小球的动能和重力势能的总和越来越小,小球的动能和弹性势能的总和越来越大B.小球的动能和重力势能的总和越来越小,小球的动能和弹性势能的总和越来越小C.小球的动能和重力势能的总和越来越大,小球的动能和弹性势能的总和越来越小D.小球的动能和重力势能的总和越来越大,小球的动能和弹性势能的总和越来越大,解析:从小球开始与弹簧接触到小球速度
13、变为零的过程中,只有重力和弹力做功,系统的机械能守恒,即动能弹性势能和重力势能的总和不变.由于弹力一直做负功,弹性势能不断增加,故小球的动能和重力势能的总和越来越小;同理,由于重力一直做正功,重力势能不断减少,故小球的动能和弹性势能的总和越来越大.A选项正确.答案:A,题型二单个物体的机械能守恒问题【例2】如图5-3-8所示,在水平台面上的A点,一个质量为m的物体以初速度v0被抛出,不计空气阻力,落到与A高度差为h的B点,求它到达B点时的速度大小.,解析:物体抛出后运动过程中只受重力的作用,所以机械能守恒.解法一:选地面为零势能面,则,解法二:若使用机械能守恒定律的另一种形式:EP减=EK增,
14、则不需要选取零势能面,有:,方法总结:应用机械能守恒定律,在很多情况下用Ep减=Ek增或EA增=EB减列方程解题更为方便,因为它不需选取零势能面.,创新预测2如图所示,ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道,其中ABC的末端水平,DEF是半径为r=0.4 m的半圆形轨道,其直径DF沿竖直方向,CD可看作重合.现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放.,(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动,H至少要有多高?(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值,小球可击中与圆心等高的E点,求h.(g取10 m/s2),答案:(1)0.2 m(
15、2)0.1 m,题型三ti xing san多个物体组成系统的机械能守恒问题【例3】如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角=30,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块A和B连接,A的质量为4m,B的质量为m,开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升,物体A与斜面间无摩擦,设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上升的最大高度H.,解析:设物块沿斜面下滑 s距离时的速度为v,由机械能守恒得(4m+m)v2=4mgssin30-mgs细线突然断开的瞬间,物块B竖直上升的速度为v,此后B做竖直上抛运动,设继续上升的距离为h,由机械能守
16、恒得mv2=mgh物块B上升的最大高度H=h+s由解得H=1.2s,答案:1.2s,方法总结:应用机械能守恒定律求解多个物体组成的系统问题是近几年物理高考的热点,涉及的考题既有选择填空题,又有综合性较强的计算题.系统应用机械能守恒必须注意外力只有重力(或弹力)做功,内力做功但代数和必须为零,因而只有系统内部的动能和势能之间的相互转化或转移,系统内物体不与系统外物体发生机械能转移,也无机械能与其他形式能之间的转化.解题的关键是正确分析问题所涉及的物理过程.,创新预测3(2010苏州模拟)如图所示,质量均为m的物块A和B用轻弹簧连接起来,将它们悬于空中静止,弹簧处于原长状态,A距地面高度h=0.9
17、0 m.同时释放两物块,A与地面碰撞后速度立即变为零,由于B的反弹,使A刚好能离开地面,若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画出),仍将它们悬于空中静止且弹簧为原长,从A距地面高度为h处同时释放,A也刚好能离开地面.已知弹簧的弹性势能EP与弹簧的劲度系数k和形变量x的关系是:EP=kx2.试求:,(1)B反弹后,弹簧的最大伸长量;(2)h的大小.,解析:(1)AB整体自由下落时,系统机械能守恒,设A刚落地时,具有共同速度vB,所以2mgh=2mvB2,得vB从此以后,物块B压缩弹簧,直至反弹,该过程物块B和弹簧组成的系统机械能守恒,当A刚好离开地面时,弹簧的伸长量最大,设为x,则对A有:m
18、g=kx,对B和弹簧有:mvB2=mgx+kx2.解以上各式得:x=0.6 m.,(2)将B换成C后,根据第(1)问的分析有以下各式成立.解得h=0.75 m.,答案:(1)0.6 m(2)0.75 m,题型四ti xing si机械能守恒定律与其他知识的综合应用【例4】如图所示,ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道,AB是半径为R=15 m的1/4圆周轨道,半径OA处于水平位置,BDO是直径为15 m的半圆轨道,D为BDO轨道的中点.一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下,沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的 倍,取g=10 m/s2.,(1)H的大小等于多少?(
19、2)试讨论此球能否到达BDO轨道的O点,并说明理由.,答案:(1)10 m(2)能 理由见解析,解析:(1)小球从H高处落下,进入轨道,沿BDO轨道做圆周运动,小球受重力和轨道的支持力.设小球通过D点的速度为v,通过D点时轨道对小球的支持力F(大小等于小球对轨道的压力)是它做圆周运动的向心力,即,方法总结:该类问题考查机械能守恒定律的应用,常和圆周运动抛体运动或限定条件下的复杂运动相结合,该类题目主要有两个知识点:(1)机械能守恒定律或动能定理功能关系;(2)牛顿第二定律及临界条件的分析.,创新预测4(2009南通模拟)取离地球无限远处为重力势能的零点,设地球质量为M,半径为R,引力常量为G,
20、距地面高 h,质量为m的人造地球卫星的势能为 则该卫星的总机械能为多少?,高 效 作 业,一选择题1.下列几种情况,系统的机械能守恒的是(),A.图(a)中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动B.图(b)中运动员在蹦床上越跳越高C.图(c)中小车上放一木块,小车的左侧有弹簧与墙壁相连.小车在左右振动时,木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)D.图(c)中如果小车振动时,木块相对小车有滑动答案:AC,解析:A选项中弹丸受重力和支持力,支持力不做功,只有重力做功,所以机械能守恒.B选项中运动员做功,其机械能越来越大.C选项中只有弹簧弹力做功,机械能守恒.D选项中有滑动摩擦力做功,所以机械能不守
21、恒.,2.在一种叫做“蹦极跳”的运动中,质量为m的游戏者身系一根长为L弹性优良的轻质柔软橡皮绳,从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点,若在下落过程中不计空气阻力,则以下说法正确的是()A.速度先增大后减小B.加速度先减小后增大C.动能增加了mgLD.重力势能减少了mgL答案:A,解析:人从高处下落过程中,当橡皮绳未拉伸产生形变时,人做自由落体运动,加速度恒定,速度增加;当橡皮绳拉伸产生形变后,由于形变愈来愈大,则弹力越来越大,加速度则不断减小,而速度仍增加;当弹力增大到与人重力等大时,加速度为零,速度最大;此后,弹力大于重力,加速度又增加,但与速度反向,所以速度减小,因此选项A对,B错.由
22、于人的初末动能均为零,故动能变化为零,C错.人在竖直方向下落了1.5L,故重力势能应减少1.5mgL,D错.,3.一物体以速度v,从地面竖直上抛,当物体运动到某高度时,它的动能恰为重力势能的一半(以地面为零势能面),不计空气阻力,则这个高度为(),答案:C,4.(2008上海单科)物体做自由落体运动,Ek代表动能,Ep代表势能,h代表下落的距离,以水平地面为零势能面.下列所示图象中,能正确反映各物理量之间的关系的是(),答案:B,解析:设物体的质量为m,初态势能为E0,则有Ep=E0-mg2t2=E0-mv2=E0-Ek=E0-mgh.综上可知只有B对.,5.如图所示,重10 N的滑块在倾角为
23、30的斜面上,从a点由静止下滑,到b点接触到一个轻弹簧.滑块压缩弹簧到c点开始弹回,返回b点离开弹簧,最后又回到a点,已知ab=0.8 m,bc=0.4 m,那么在整个过程中(),A.滑块动能的最大值是6 JB.弹簧弹性势能的最大值是6 JC.从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 JD.滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒答案:BCD,解析:滑块在滑动过程中,只有重力和弹簧弹力做功,所以滑块和弹簧组成的系统机械能守恒,D正确;以c点所在水平面为参考平面,则滑块在a点的机械能为6 J,在c点时的速度为0,重力势能也为0,所以弹性势能的最大值为6 J,从c到b弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的减
24、小量,故为6 J.所以选BCD.,6.甲乙两球质量相同,悬线一长一短,如将两球从图所示位置,由同一水平面由静止释放,不计阻力,则小球通过最低点的时刻:甲球的动能较乙球大;两球受到的拉力大小相等;两球的向心加速度大小相等;相对同一参考平面,两球机械能相等.以上说法正确的是(),A.只有B.只有C.只有D.答案:D,解析:由动能定理得mgl=mv2,由于l甲l乙,所以mv2甲mv2乙,故对.在最低点F-mg=m,则F=3mg,即拉力F与l无关,故对.向心加速度为a=2g,与l无关,故对.对同一参考平面,甲乙两球初状态的机械能相同,且在运动过程中机械能守恒,故对.因此,应选D.,7.如图所示,质量为
25、m和3m的小球A和B可视为质点,系在长为L的细线两端,桌面水平光滑,高h(hL),A球由静止从桌面滑下,落在沙地上静止不动,则B球离开桌面的速度为(),答案:A,解析:小球A未落地前AB构成的系统机械能守恒,mgh=mv2+(3m)v2,解得v A球落地后,B球由于惯性以速度v向右运动,故B球离开桌边的速度即为,8.(2009武汉模拟)如图5-3-18所示,足够长的水平传送带以速度v沿顺时针方向运动,传送带的右端与光滑曲面的底部平滑连接,曲面上的A点距离底部的高度为 h=0.45 m.一小物块从A点静止滑下,再滑上传送带,经过一段时间又返回曲面,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(),A.
26、若v=1 m/s,则小物块能回到A点B.若v=3 m/s,则小物块能回到A点C.若v=5 m/s,则小物块能回到A点D.无论v等于多少,小物块均能回到A点答案:BC,解析:小物块下滑到传送带的速度为v0,由机械能守恒得,mgh=mv02,v0=3 m/s,因传送带向右运动,物块将在传送带上先匀减速到零,再向右匀加速,但当传送带的速度v3 m/s时,物块向右加速到与传送带同速即匀速运动,故v=1 m/s时,小物块滑回曲面的速度为v=1 m/s,上升的高度为h=0.05 m,A错误;当v3m/s时,小物块回到曲面的速度均为v0=3 m/s,仍然能回到A点,BC正确,D错误.,9.如图所示,小球从一
27、个固定的光滑斜槽轨道顶端由静止开始下滑,用vt和h分,别表示小球沿轨道下滑的速率时间和竖直高度.图5-3-20的v-t图象和v2-h图象中可能正确的是(),答案:AD,解析:小球沿固定光滑斜槽滑下时,受重力和支持力作用,由于斜槽切线的倾角逐渐减小,小球运动的加速度将逐渐减小,A对,B错.由于小球下滑过程机械能守恒,则mgh=mv2,所以v2=2gh,D对,C错.故答案为AD.,10.一小球以初速度v0竖直上抛,它能到达的最大高度为H,问下列几种情况中,哪种情况小球不可能达到高度H(忽略空气阻力)(),A.以初速度v0沿光滑斜面向上运动B.以初速度v0沿光滑的抛物线轨道,从最低点向上运动C.以初
28、速度v0沿半径为R的光滑圆轨道,从最低点向上运动图(c),HRH/2D.以初速度v0沿半径为R的光滑圆轨道,从最低点向上运动图(d),RH答案:C,解析:四种情况中只有C中到达最大高度时速度不为零,不能达到高度H.,二非选择题11.半径为R的光滑半圆环形轨道固定在竖直平面内,从与半圆环相吻合的光滑斜轨上高h=3R处,先后释放AB两小球,A球的质量为2m,B球的质量为m,当A球运动到圆环最高点时,B球恰好运动到圆环最低点,如图5-3-22所示.求:,(1)此时AB球的速度大小vAvB;(2)这时AB两球对圆环作用力的合力大小和方向.,(2)5mg,方向竖直向下,解析:对A分析:从斜轨最高点到半圆
29、环形轨道最高点,机械能守恒,2mg(3R)=2mg2R+(2m)v2A,解得vA=对B分析:从斜轨最高点到半圆环形轨道最低点,机械能守恒,有3mgR=mv2B,解得vB,(2)设半圆环形轨道对AB的作用力分别为FNAFNB,FNA方向竖直向下,FNB方向竖直向上.根据牛顿第二定律得FNA+2mg,FNB-mg解得FNA=2mg,FNB=7mg.根据牛顿第三定律,AB对圆环的力分别为:FNA=2mg,FNB=7mg,FNA方向竖直向上,FNB方向竖直向下,所以合力F=5mg,方向竖直向下.,12.如图所示,半径为R的圆弧支架竖直放置,圆弧边缘C处有一小滑轮,一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体,挂在定滑轮两边,且m1=4m2,开始时m1m2均静止,且能视为质点,不计一切摩擦,试求m1到达圆弧的A点时的速度大小.,解析:设m1运动到圆弧的最低点时,速度为v1,此时物体m2的速度为v2,速度分解如图5-3-24,得v2=v1cos45.对m1m2组成的系统,由机械能守恒得m1gR-m2g,
