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1、,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第十二章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,（一阶线性方程）,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),例6.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方
2、程通解:,内容小结,1.一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,备用题,1.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,2.设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,2)再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3)原问题的解为,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,
