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1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第七章,无穷级数的概念与性质,一、无穷级数的概念,二、级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一节,第十章,一、常数项级数的概念,引例：用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数
2、的部分和.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3,定义4,常数项级数；,正项级数；,任意项级数；,函数项级数；,幂级数.,例1.试判定级数,的敛散性.,解:所给级数的前 n 项和,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此级数 发散.,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利
3、用“拆项相消”求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2).若,因此级数发散;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,证:令,则,这说明,收敛,其和为 c S.,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变
4、.,即,其和为 c S.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如：级数 是收敛的.,为什么？,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若两级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,（用反证法可证）,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,证明调和级数 发散.,证明:由拉格朗日中值定理可知,从而调和级数 发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用此不等式，可得,所以,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P173：3(1)(2)；4(2),(3).,
