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1、第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯公式 通量与散度,第十章,一、高斯(Gauss)公式,定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,下面先证:,函数 P,Q,R 在,面 所围成,的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,证明:设,为XY型区域,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,所以,若 不是 XY型区域,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,
2、三式相加,即得所证 Gauss 公式：,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,使用Guass公式时应注意:,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：,例1.用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解:这里,利用Gauss 公式,得,原式=,(用柱坐标),及平面 z=0,z=3 所围空间,思考:若 改为内侧,结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解:作辅助面,取上侧,介于
3、z=0 及,z=h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用重心公式,注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设 为曲面,取上侧,求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式,例4.设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.(见 P171),机动 目录 上页 下页 返回 结束,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1.连通区域的类型,设有空间区域 G,
4、若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为空间二维单连通域;,若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域.,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域.,既是一维也是二维单连通区域;,是二维但不是一维单连通区域;,是一维但,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证:“充分性”.,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“必要性”.用反证法.,已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因P
5、,Q,R 在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,则由高斯公式得,与矛盾,故假设不真.,因此条件是必要的.,取外侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.,流出的,表明 内有泉;,表明,内有洞;
6、,根据高斯公式,流量也可表为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设有向量场,其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量).,在场中点 M(x,y,z)处,divergence,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表明该点处有正源,表明该点处有负源,
7、表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如,匀速场,故它是无源场.,P16 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,*例5.,置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练 习 题,练习题答案,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2),为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,
