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1、,第十二章 弯曲的几个补充问题,Additional remarks for bending,121 非对称弯曲(Unsymmetrical bending）122 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心(Shear stress of open thin-wall members.Flexural center),第十二章 弯曲的几个补充问题(Additional remarks for bending）,12-1 非对称弯曲(Unsymmetrical bending),一、非对称弯曲(Unsymmetrical bending),横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这
2、种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，这种弯曲变形称为斜弯曲.,B,A,二、斜弯曲的分析方法(Analysis method for unsymmetrical bending),2.叠加(Superposition)对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来,Fz,Fy,y,z,F,j,B,A,1.分解(Resolution)将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲,梁在垂直纵向对称面 xy 面内发生平面弯曲。z轴为中性轴,梁的轴线,梁的轴线,水平纵向对称面,梁在水平纵向对称面 xz 平面内弯曲，y 轴为中性轴。,三、梁内任意横截面上的内力分析(Analysis
3、 of internal force on any cross section),B,A,x,My=Fz x=Fxsin(使梁在xz平面内弯曲，y为中性轴),Mz=Fy x=Fxcos(使梁在 xy 平面内弯曲，z 为中性轴),m,m,四、横截面上的应力分析（Stress analysis of cross sections),1.与 My 相应的正应力为(The bending normal stress corresponding to My),2.与 Mz 相应的正应力为(The bending normal stress corresponding to Mz),C 点处的正应力(Th
4、e normal stress at point C),五、横截面上中性轴的位置(location of neutral axis on cross section),中性轴上的正应力为零,假设点 e(z0,y0)为中性轴上任意一点,Mz,O,e(z0,y0),中性轴方程为,中性轴是一条通过横截面形心的直线(the neutral axis is a line which cross the centroid of an area),My,中性轴的位置由它与 y 轴的夹角 确定,公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角。,横截面上合成弯矩 M 为,y0,y,z,O,公式中角度
5、y 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角.,中性轴,Mz,My,讨 论：,（1）一般情况下，截面的 IzIy,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变形特征。,（2）对于圆形、正方形等 Iy=Iz 的截面，有=y，梁发生平面弯曲(plane bending)，正应力可用合成弯矩 M 按正应力计算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。,六、最大正应力分析（Analysis of maximum normal stress),作平
6、行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于 D1、D2两点，D1、D2 两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。,O,D1,D2,对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面，梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。,D2,D1,O,七、强度条件(Strength condition),斜弯曲的危险点处于单向应力状态，所以强度条件为,八、斜弯曲的挠度(Deflection of unsymmetrical bending),分别求出 Fy 引起的挠度 wy 和 Fz 引起的挠度 wz,方法：叠加原理,总挠度为 w,
7、总挠度与轴的夹角为y,x,A B C,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m 0.5m,40,80,z,y,O,a d,b c,例题1 矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示.试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的值.,解:（1）外力分析,梁在 F2 的作用下将在 xOz 平面内发生平面弯曲(y 为中性轴）,故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合-斜弯曲,梁在 F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲（z为中性轴）,x,A B C,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m 0.5m,（2）绘制弯矩图,绘出 Mz(x)图,绘出 My(x)图,A截面为梁的危险截面,Mz=1
8、kNm,My=1 kNm,x,A B C,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m 0.5m,Mz使A截面上部受拉，下部受压,My使A截面前部受拉，后部受压,（3）应力分析,D1 是最大拉应力点,D2 是最大压应力点,两点正应力的绝对值相等,拉,压,拉,压,拉,压,拉,压,（4）中性轴的位置,（5）绘制总应力分布图,+,-,D1=7.02,D2=-7.02,拉,压,例题2 20a号工字形悬臂梁受集度为 q 的均布荷载和集中力F=qa/2 作用,力F 作用在 yOz 平面内.已知钢的许用应力=160MPa，a=1m。试求此梁的许可荷载集度 q.,解：将力F向 y 轴和 z 轴分解,Fy 与均
9、布荷载 q使梁在 xy平面内产生弯曲(z为中性轴),Fz 使梁在 xz平面内产生弯曲(y为中性轴),z,xz面,xy面,D,D,0.617a,b,c,d,a,0.456qa2,0.266qa2,0.383qa2,Mz图,（1）画弯矩图,A、D 两截面可能是危险截面,MzA=0.266qa2,MzD=0.456qa2,MyA=0.642qa2,MyD=0.444qa2,A 截面,D 截面,（2）计算应力,查工字钢表 20a 号,A 截面,D 截面,梁的危险点在 A 截面棱角处,122 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心(Shear stress of open thin-wall members.F
10、lexural center),一、非对称截面梁平面弯曲的条件(Conditions of plane bending for unsymmetrical beams),前面讨论的平面弯曲,仅限于梁至少有一个纵向对称面,外力均作用在该对称面内且垂直于轴线.对于非对称截面梁.横截面上有一对形心主惯性轴y,z,形心主惯性轴y,z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy,xOz,1.实体梁（Body beams),当横向外力作用在形心主惯性平面的平面内,梁发生平面弯曲.否则将会伴随着扭转变形.但由于实体构件抗扭刚度很大.扭转变形很小,其带来的影响可以忽略不计.,2.开口薄壁截面梁(Open thin-w
11、all sections),对于开口薄壁截面梁,即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面),则梁除发生弯曲变形外,还将发生扭转变形.只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时,梁才只发生平面弯曲,而无扭转变形.这个特定点称为横截面的弯曲中心(Shear center or flexural center),用A表示.,3.弯曲中心的确定（Determination of the shear center),（1）弯曲中心(Shear center or flexural center),切应力合力的作用点就是截面弯曲中心(使杆不发生扭转的 横向力作用点).,（2）弯曲中心的
12、位置(Location of the shear center),（b）具有一个对称轴的截面,其弯曲中心一定在这个 对称轴上.,（c）若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此 交点就是截面的弯曲中心.,（a）具有两个对称轴或反对称轴的截面,其弯曲中心与形心重合.,例3 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置;若剪力FS的方向垂直向下,试画出切应力流的方向.,例题4 一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用.钢槽截面简化后的尺寸见图.,（2）确定横截面上剪力作用线的位置,（1）分析横截面上腹板,翼缘两部分切应力t和t1的变化规律,腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化.,（2）横
13、截面翼缘上的切应力,沿翼缘厚度用纵向截面AC截出一体积元素 C-m,在C-m的两个截面D-m,C-n上 分别有由法向内力元素,在C-m的两个截面D-m,C-n上分别有由法向内力元素组成的拉力FN1*,FN11*.,由于翼缘很薄,故可认为1,11,沿翼缘厚度保持不变,且其值与翼缘中线上的正应力相同.,所以在AC截面上一定存在着切向内力元素dFS，因为翼缘横截面也是狭长矩形,故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设.,由于,根据剪应力互等定理,横截面上的切应力和 AC上的切应力如图所示.,平衡方程 Fx=0,经过整理,即得,由切应力互等定理可知,得横截面上的切应力,式中,FS 为横截面
14、上的剪力,Iz 为整个横截面对其中性轴的惯性矩,h 为截面两翼缘中线间的距离,为从翼缘外端到要求切应力点之间 的长度,1沿翼缘长度按线性规律变化.,翼缘上的最大剪应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处.,切应力的指向如图所示,（3）确定横截面上剪力作用线的位置,腹板上切向内力元素dA的合力FR,式中,A*为横截面腹板部分的面积,FR 为腹板上的切向内力元素组成的合力,dA=ddy为横截面腹板部分的面积元素,横截面翼缘部分切向内力元素1dA所组成的合力FH,m,上式的积分运算结果与式中的Iz的算式接近,由力系合成原理可知,上述合力的大小和方向均与FR相同,但作用线应与FR相隔一个距离az.,m,m,横截面上的剪力为一个FR和两个FH.它们的合力的作用线位置,就是梁横截面上剪力的作用线位置.,A点称为剪切中心或弯曲中心,第十二章结束,
