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1、数学教学的水平、方式与教师学习,顾泠沅、杨玉东上海市教育科学研究院,摘 要,本专题以上海市“青浦实验”的新世纪行动为例，采用课堂测评视角变迁、学生能力目标测试及因素分析等方法，探讨20年前后数学教学水平演变的现实，及其当前存在的主要问题；继而通过若干课例研究，讨论课堂上学与教的不同方式，以及实现优质数学教学所需的教师专业化对策。,一、现实：学与教的水平演变,1、教师观课视角走向能力为本,（1）教师观课视角十点变化,【资料】,原先只是强调教学目的要求“不脱离主题”、“恰如其分”；如今提倡技能、认知、情感全面“适合学生最近发展区”，突出了“学生发展为本”的目标。原先课堂安排以全班学生“可接受程度”
2、为依据，取统一的最低线；如今强调尊重每位学生的个性差异，在此基础上面向全体学生。原先只是按大纲教材预设教学内容和问题；如今要利用课堂“生成资源”，鼓励学生责疑问难、独立思考。原先教师通过教学“指引和示范”，影响和促进学生发展；如今进一步注重学生学习方法和学习习惯的主动养成。原先想方设法激发学生的认识兴趣、让他们都能积极思维；如今已深入到设置典型情境，提倡小组合作，让学生尝试、探索、创造性解决问题。,课堂视角十点变化,原先主要采用“教师引导”、“学生配合”的师生合作方式，学生仍是配角；如今要求引导以学生为主体的活动，使学生真正成为学习的主人。原先只是由教师及时了解教学效果，随时反馈调节；如今已进
3、步到可由学生作自我评价和调控。原先尚未提及模型、演示或多媒体的运用；如今随着现代教育技术的逐步普及，不仅广泛使用，还提出了“合适”与“必须”的更高要求。原先教学效果评价仅关注当堂反应、检查和“直觉印象”；如今还关注到学生“潜能发挥”和是否有利于提高“后续学习水准”。另外，如今还注意到改革进程中出现的深层次问题，如如何把握学科本质和最有学习价值的知识；关于技能训练的定位，以及避免不必要的重复讲述和大运动量训练，减轻学生过重负担；还有如何充分利用课堂时间，相对降低活动成本等。,（2）权重方案侧重能力培养,权重方案25年前后比较,1982年36名教师权重方案的模糊聚类结果,2007年47名教师权重方
4、案的模糊聚类结果,2、学生能力目标测试喜中有忧,1950年代布卢姆主编的教育目标分类学奠定了现代教学目标分类的基础，该书把认知目标分成知识、领会、运用、分析、综合、评价6种水平。威尔逊(J.W.Wilson)曾把布卢姆的目标分类原则引入数学学科，设计了计算、领会、运用、分析4个层次的认知目标。后来有人明确指出了布卢姆分类理论在连续性与层次性方面存在漏洞。1990年与2007年，“青浦实验”采用大样本测试结果，从初中二年级学生在数学学习中大量外显行为所表征的教学目标中析取其内隐的主要因素，由此确定目标框架的层次并研究分类的连续性。研究运用因素分析的方法。,（1）两度因素分析实验建立四层次架构,表
5、中1、2、3、4、5、6、7依次代表知识、计算、领会、运用、分析、综合、评价7种分测试。内隐主因素依次为：F1记忆为主，F2理解为主，F3评判为主。这三个因素占总方差的比例分别为56.1、3.49%和1.42%，三者相加占总方差的61.08%。,1990年3000样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵,由图可见：综合与分析，尽管测试难度差别较大，但还是属于同一思维水平；同样，应用与领会看来也可以合并；至于计算与知识，在当时强调记住课本内容前提下，也可合并为同一目标。,6种测试变量在两因素平面上的矢量表示,2007年4349样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵,表中1、2、3、4、5依次代表计算、概念
6、、领会、运用、分析5种分测试。内隐主因素依次为：F1记忆为主，F2理解为主。这两个因素占总方差的比例分别为75.78和9.37%，两者相加占总方差的85.14%。,领会与运用，虽然表征的方式不同，但还是属于同一思维层次，的确可合并。在目标分类公共因素简约为记忆理解的两维平面上，教学目标可区分为大致等距的四层次架构，如表所示。,5种测试变量在两因素平面上的矢量表示,1990年与2007年，前后相隔17年，取得了具有时代价值的大量数据资料，它是一段历史的见证。前期7种认知水平，后期归并为5种水平，测试题中约有1/3保持原貌，另有2/3提高了难度。,尽管总体难度有很大提高，但多数分测试成绩与总分都有
7、较大幅 度的提高，总平均得分率从45.27%提升到58.83%，课堂教学的实 效有了显著提高，十余年来的进步有目共睹。,（2）学生认知水平显著提高,（3）点面、城乡差距明显缩小,早年青浦地区少量先进典型与巨大落后面并存的局面已经 改变，从学生认知水平看过去所谓的点与面、城与乡的差 距明显缩小。,计算与概念层面的水平大幅度提高；领会水平的目标已经基本 达成；但分析水平，即分析问题和解决问题的能力，尚无明显 提高，应成为今后数学课堂和教学改革要着力突破的重点内容。,（4）问题解决能力风景依旧,数学教学目标水平测试17年前后比较,【资料】学生性别差异的比较,从能倾类型分析，1990年男生的探究能力、
8、理解能力总体优 于女生，女生则在记忆能力上占有优势。2007年出现明显的 反过来的走势。这些突出变化，值得进一步研究。,坚持为理解而教,自美国NCTM在2000年发表 学校数学的原理和标准，明确提出“概念性理解是掌握数学必不可少的组成部分”以来，国际上为了理解的数学教学一直倍受重视。正如大数学家柯朗所说：“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考的能力。”柯朗著（王浩，朱煜民译：数学是什么 长沙：湖南科学技术出版社1984）,数学学科的总领性观念,数学的对象不外“数”与“形”，虽然近代的观念，已与原始的意义相差
9、甚远。数学的主要方法，是逻辑的推理。因之建立了一个坚固的思想结构。这些结果会对其他学科有用，是可以预料的。但应用远超过了想象。数学固然成了基本教育的一部分。其他科学也需要数学作理想的模型，从而发现相应科学基本规律。,摘自陈省身为数学百科全书所写的序（中译五卷本，科学出版社出版）,二、两种教学方式的较量,冲突与平衡,接受式 赫尔巴特，普通教育学，有利于教师传授知识，进行技能技巧训练；但不利于学生的独创学习。活动式 杜威，民主主义与教育，有利于发挥学生的主动性和探索精神；但不利于学生学习系统的知识（刘佛年）。,新数运动,回到基础,平衡基本技能、概念理解和问题解决,（美国“数学战争”）,源头与流变,
10、已有知识 新的知识 建立联系 合理 实质 奥苏贝尔：知识固着点的性质 换一个形式检验我国教师：合适的“潜在距离”正确的“变式演练”作“铺垫”是成功的奥秘 是有效手段,接受式学习（书中学，明言知识为主）,1、两种方式的比较,已有“工具”新的“任务”自行整合 参与度 完成度,活动式学习（做中学，默会知识为主）,皮亚杰：活动内化理论教 师：探究学习、问题解决学习、项目学习等,（过程档案分析）（“作品”分析）,两种教学方式之间，不能搞简单的“非此则彼”，应当实事求是地客观分析。最近二、三十年来，两种方式在“有意义学习”的主题下，有着明显的舍弃自身缺陷、汲取对方长处的互补趋势，两方对峙逐渐演变为前进过程
11、中的两极张力。就当前我国教学而言，拒绝机械接受、开发主动探究的学习方式，培养高水平的实践技能与高层次的思维能力，已经成为改革的主导原则。,（1）注重技巧的原行为,商、余数的“名数”易错易混，因此先要区分包含除与等分除 17(人)8(人)=2(桌)1(人)17(人)2(桌)=8(人)1(人)纠缠于枝节，未突出“有余数”这个要点“试商”是关键性技巧，因此先要训练括号里最大能填几 6()41 13()41 技巧性铺垫，未关注试商的实际意义最后要学生寻找规律，学生都说“不知道”忘记了对小学生来说“数学就是生活”,2、简单情境中的认知数学化,课例：除法就是分豆子,（2）注重数学化的新理念,学生真实地找出
12、规律：,（3）创造新行为：脑中分豆子,关注“学生获得”所遇到的困难：做除法要“拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了 数学教学的浅薄与贫乏。学生不会形式化，最后只能记住除法的操作程序。创设情境兜了一大圈，还 是回到死读硬记。教师的创造：在实物与算式只设置一个中介放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。,学生脑中怎样分？,7颗豆子怎样分在3个盘子里?3个盘子,每盘试放1颗豆子,共放3颗,比7颗少3个盘子,每盘试放2颗豆子,共放6颗,比7颗少3个盘子,每盘试放3颗豆子,共放9颗,比7颗多,每盘只能放2颗,这样余下1颗,由此还得出规律:每盘豆子数盘子数+余下豆子
13、数总的豆子数多好的本原性思考，深奥的“余数定理”在小学就准备了认知的固着点。,（4）分豆子与布鲁纳的认知理论,实物操作 表象操作 符号操作 分豆子 脑中分豆子 算式运算（具体）（半具体、半抽象）（抽象）寻找规律,数学是具体与抽象的对话！,（5）师生语言互动状况及其理念与行为的改变,课堂静止或不理解的时间、教师指示或命令、批评或辩护 权威行为在改进课中下降为零；教师演讲、学生按老师要 求表述明显减少教师的提问、学生主动表达自己的发现的语言在改进课中 明显增加；教师接纳学生感觉的语言也有上升,简单情境：分豆子 有余数除法（青浦实验）出现背景干扰，主要采用“剥离法”。（前苏联B.兹科娃）复杂情境：不
14、能简单“剥离”，怎么办？,（1）多因素制约的实际问题,如何满足诸多技术限制条件的同时，尽可能增大放置座位的面积？需要处理下列制约关系：,座位要尽可能多，就要尽量增大安排座位的面积区域；但对于舞台直径、辐射通道、圆形通道均有技术要求；辐射通道要尽可能少，座位才会尽可能多；但每排座位数又不能多于30个。,课例：设计圆形剧场,3、复杂情境中的认知问题解决的策略,“艰难的20分钟”一位教师感叹：“竟然冷场这么多时间”两位老师询问：“快20分钟了，究竟要不要给学生一些提示？”,（2）面对问题学生无从下手,工程专用语“中心旋转舞台”、“辐射通道”、“圆形通道”、“座位纵深”尚可“剥离”；但背景中的牵制关系
15、却不能“剥离”。学生难以辨别出“最外圈座位”是解决制约关系的突破口。,简单化为“面积计算”,运用面积方法投入计算：（总面积圆形通道和辐射通道占用面积舞台面积）每个座位面积。把设计任务等同于常规的应用题。,成绩优的学生尤其缺乏合作意识 某教师：“他们一拿到问题埋头就算我提醒他们和其他组员讨论”,其中三条通道不用延伸到舞台，既符合设计任务要求、增加了座位数量，又不影响剧场的对称美。,如图，个别学生提出具有创意的方案：,（3）小组合作与交流产生多种设计方案,（4）学生处理制约关系能力的比较,三、实现：教师学习事关重大,（1）L.舒尔曼 教师专业知识分析框架学科知识一般教学知识课程知识学科教学知识（教
16、学内容知识，Pedagogical Content Knowledge，简称PCK）学习者及其特点的知识教育情境知识关于教育的目标、目的和价值以及 它们的哲学和历史背景的知识,【资料】,Veal 和Makinster 建构了一个金字塔模型,PCK位于塔尖,是多方面整合的结果。,通过论证认为：学科教学知识（PCK）最能区分学科专家与教学专家、高成效教师与低成效教师间的不同。,（2）教师专业的早期、近年和现在,（3）P.L.格罗斯曼将学科教学知识（PCK）解析为四部分,早期：强调学科内容知识近年：关注一般教学知识（课程、教学、作业、评价等）现在：学科教学知识和学科内容知识同为关键，成为培养、培训的
17、重点,一门学科的统领性观点（关于学科性质的知识和最有学习价值的知识）学生对于特定学习内容理解和误解的知识 特定学习内容在横向和纵向上组织和结构的知识 将特定学习内容呈现给学生的策略知识,教师知识基础框架，尤其是其中的核心成分PCK明晰化之后，利用PCK解决问题的教学技能也渐渐被开掘，这大大厘清了世界各国对教师资格的认证以及对教师专业知识和技能培养的向度。,学生的发现出乎意料：c2=2ab+1 a2+b2=c2a+b+a2=b2 2ab+c2=(a+b)2等!,1、把握最有学习价值的知识,（1）填表，数据出猜想,例如：勾股定理,(2)反驳与证明的师生对话,生1 根据数据表,我得出c2=2ab+1
18、的结论。师 很惊讶怎么会,不可能吧?生2 我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c22ab+1。师 生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。生3 老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。师 心中想 c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1这个意见也是对的,这是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。生4 这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。师 a2+b2=c2是否是个定理
19、,举例再多也说明不了,怎么办?生众 看来必须证明。,边讲边问没有摆脱全面灌输：,一年后重新设计：,105次填空式问答（由低到高设计），记忆问题占74.3%，简单推理占21.0%，小步、多练、快进，未留思考空间给学生。教师：“讲是给学生知识，问是看他们收到没有”。,弄清图形之间关系，学生思维水平提升，变繁琐为简单。学生：“原来那么多性质不需要死记硬背”。,2、提高效率的奥秘：了解学生容易理解或误解之处,（1）例如：正方形的定义和性质,（2）例如：类比迁移,（1）旧知中引发冲突,师：如何对x61分解因式？学生板演的两种解法：x61=(x3)2-1=(x3+1)(x3-1)=(x+1)(x2-x+1
20、)(x-1)(x2+x+1)x61=(x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1)=(x+1)(x-1)(x4+x2+1)问题：同一题目，两种方法做怎么答案不一样呢？,3、纵横连贯才能纳入“坚固的思想结构”,例如：拆添项法分解因式,（2）在演算中蕴含新知,师：看看(x4+x2+1)是否与(x2-x+1)(x2+x+1)相等呢？学生的验算：(x2-x+1)(x2+x+1)=(x2+1)-x(x2+1)+x=(x2+1)2-x2=x4+2x2+1-x2=x4+x2+1师：由上面的验算可知，(x4+x2+1)确实能分解成(x2-x+1)(x2+x+1)。请同学们试试看，谁能最快发现新的分解方法？,生
21、4：x4+x2+1=x4+2x2+1-x2师：你为什么把 x2 拆成 2x2 与-x2 两项呢？生4：因为这样一拆，前面三项正好是完全平方，可以用分组分解继续分解下去。让学生通过逆向思维，亲自发现因式分解的新方法，虽有一定难度，但又是大多数学生经过“跳一跳”能够做到的。而且，拆添项分解因式的这一方法与学生后面学习二元一次方程解法时的“配方法”过程直接相关，为后续学习打下基础。,（3）发现拆添项分解因式法,（1）情境问题引发兴趣,如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？,学生的三种“补出”方法：,只剩一个底角和一条底边,量出C度数，画出BC，B与C的边相交得到顶点A,作BC边上的中垂线，与C的一边相
22、交得到顶点A,画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明,“对折”,4、两种教学方式各自需要不同的内容呈现策略,例如：等腰三角形的判定,（2）多种证法激活创造力,三种常规的办法：,两种创造性的证法：,作A的平分线，利用“角角边”,过A作BC边的垂线，利用“角角边”,作BC边上的中线，“边边角”不能证明,假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾,ABCACB，应用“角边角”,（3）变式练习分步解决问题,不断变换题目的条件：,ABC中，ABCACB，BO平分B，CO平分C。能得出什么结论？,过O作直线EFBC。图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题),若B
23、与C不相等。图中有没有等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论),直观看到一个，简单应用判定定理,必须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系,直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。,一、现实：学与教的水平演变 1教师观课视角走向能力为本 2学生能力目标测试喜中有忧二、两种教学方式的较量 1两种方式的比较 2简单情境中的认知数学化 3复杂情境中的认知问题解决的策略三、实现：教师学习事关重大 1把握最有学习价值的知识 2提高教学效率的奥秘：了解学生容易理解或误解之处 3纵横连贯才能纳入“坚固的思想体系”4两种教学方式各自需要不同的内容呈现策略,内容纲要,谢 谢！,更多资源,
