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1、主要内容,引入,本原多项式,第九节 有理系数多项式,整系数多项式的分解定理,整系数多项式的有理根的求法,举例,整系数多项式不可约的条件,二、本原多项式,1.定义,设,f(x)=anxn+an-1xn-1+a0,是一有理系数多项式.,选取适当的整数 c 乘 f(x)，,总可以使 c f(x)是一整系数多项式.,如果 c f(x)的,各项系数有公因子，就可以提出来，得到,c f(x)=d g(x)，,也就是,其中 g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于,1 的公因子.,例如,定义10 如果一个非零的整系数多项式,g(x)=bnxn+bn-1xn-1+b0,的系数 bn,bn-1,b0 没有异于
2、 1 的公因子，也,就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项,式.,上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多,项式 f(x)都可以表示成一个有理数 r 与一个本原多,项式 g(x)的乘积，即,f(x)=r g(x).,可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.,亦即，如果,f(x)=r g(x)=r1 g1(x),其中 g(x),g1(x)都是本原多项式，,r=r1,g(x)=g1(x).,因为 f(x)与 g(x)只差一个常数倍，所以 f(x),的因式分解问题，可以归结为本原多项式 g(x)的因,那么必有,式分解问题.,下面我们进一步指出，一个本原多项,式能否分解成两个次数较低的有理系
3、数多项式的乘,乘积的问题是一致的.,积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的,作为准备，我们先证,2.性质,定理 10(高斯(Gauss)引理)两个本原多,项式的乘积还是本原多项式.,证明,设,g(x)=bmxm+bm-1xm-1+b0,f(x)=anxn+an-1xn-1+a0,是两个本原多项式，,h(x)=f(x)g(x),=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+d0,是它们的乘积.,我们用反证法.,如果 h(x)不是本,原的，也就是说 h(x)的系数 dn+m,dn+m-1,d0 有,而,一异于 1 的公因子，那么就有一个素数 p 能整除,h(x)的每一个系数.,因为 f(x)
4、是本原的，所以 p,不能同时整除 f(x)的每一个系数.,令 ai 是第一个,不能被 p 整除的系数，即,同样地，g(x)也是本原的，令 bj是第一个不能被,p 整除的系数，即,我们来看 h(x)的系数 di+j,由乘积的定义,di+j=aibj+ai+1bj-1+ai+2bj-2+.,+ai-1bj+1+ai-2bj+2+.,由上面的假设，p 整除等式左端的 di+j，p 整,除右端 aibj 以外的每一项，但是 p 不能整除 aibj.,这是不可能的.,这就证明了，h(x)一定也是本原,多项式.,证毕,三、整系数多项式的分解定理,定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分,解成两个次数较低
5、的有理系数多项式的乘积,那么它,一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.,证明,设整系数多项式 f(x)有分解式,f(x)=g(x)h(x)，,其中 g(x),h(x)是有理系数多项式，且,(g(x)(f(x)，(h(x)(f(x).,令 f(x)=a f1(x)，,g(x)=r g1(x)，h(x)=s h1(x)，,这里 f1(x)，g1(x)，h1(x)都是本原多项式，a 是整,数，r,s 是有理数.,于是,a f1(x)=rs g1(x)h1(x).,由,g1(x)h1(x)是本原多项式，从而,rs=a.,这就是说，rs 是一整数.,因此，我们有,f(x)=(rs g1(x)h1
6、(x).,这里 rs g1(x)与 h1(x)都是整系数多项式，且次数都,低于 f(x)的次数.,证毕,由定理的证明容易得出,推论 设 f(x)，g(x)是整系数多项式，且,g(x)是本原的.,如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x),是有理系数多项式，那么 h(x)一定是整系数的.,四、整系数多项式的有理根的求法,定理 12 设,f(x)=anxn+an-1xn-1+a0,其中 r,s 互素，那么必有 s|an,r|a0.,特别地，如,果 f(x)的首项系数 an=1，那么 f(x)的有理根都是,整数，而且是 a0 的因子.,证明,因此在,有理数域上,从而,(sx-r)|f(x).,
7、因为 r,s 互素，所以 sx-r 是一个本原多项式.,根据,上述,f(x)=(sx-r)(bn-1xn-1+b0),式中 bn-1,b0 都是整数.,比较两边系数，即得,an=sbn-1,a0=-rb0.,因此,s|an,r|a0.,证毕,五、举例,例 1 求方程,2x4-x3+2x-3=0,的有理根.,解,这个方程的有理根只可能是,用剩余除法可以得出，除去 1 以外全不是它的根，,因之这个方程的有理根只有 x=1.,例 2 证明,f(x)=x3-5x+1,在有理数域上不可约.,证明,如果 f(x)可约，那么它至少有一个一,次因子，也就是有一个有理根.,但是 f(x)的有理根,只可能是 1.
8、,直接验算可知 1 全不是根，因而,f(x)在有理数域上不可约.,六、整系数多项式不可约的条件,定理 13(艾森斯坦(Eisenstein)判别法),设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a0,是一个整系数多项式.,如果有一个素数 p,使得,2.p|an-1,an-2,a0;,那么 f(x)在有理数域上是不可约的.,证明,如果 f(x)在有理数域上可约，那么,由,f(x)可分解成两个次数较低的整系,数多项式的乘积：,f(x)=(blxl+bl-1xl-1+b0)(cmxm+cm-1xm-1,+c0)(l,m n,l+m=n).,因此,an=blcm,a0=b0c0.,因为 p|a0,所以 p 能整除 b0 或 c0.,所以 p 不能同时整除 b0 及 c0.,因此不妨假设 p|b0,假设,b0,b1,bl 中第一个不能被 p 整除的是 bk.,比较,f(x)中 xk 的系数，得等式,ak=bkc0+bk-1c1+b0ck.,式中 ak,bk-1,b0 都能被 p 整除，所以 bkc0 也必,须能被 p 整除.,但是 p 是一个素数，所以 bk与 c0中,至少有一个被 p 整除.,这是一个矛盾.,证毕,根据,可知对于任意的 n，多项式,xn+2,在有理数域上是不可约的.,由此可见，在有理数域,上，存在任意次数的不可约多项式.,
