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1、第二节 概率的直观定义,一.统计概率,频率,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.,频率稳定性,请看书中P8附表,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.,频率,概率,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.,出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，,这种确定概率的方法称为频率方法.,在实际中，当概率不易求,定义(概率的统计定义):,
2、设在相同条件下对E重复进行n次试验，其中事件A出现m次。当试验次数n充分大时，事件A出现的频率 的稳定值p,称为事件A的概率，记为P(A)，即,例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.,若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.,概率的 基本性质：,1.非负性：对任意的随机事件A，有,2.规范性：,A、古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/
3、N的出现机会.,e1,e2,，eN,二.古典概型,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.,e1,e2,，eN,试验结果,称这样一类随机试验为古典概型.,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.,则该试验的样本空间,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为110，从中任取一球.,我们用 表示取到 i号球，i=1,2,10.,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,称这种试验为有穷等可能随机试验 或古典概型.,定义(概率的古典定义)若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.,B、古典概型中事件概率的计算,记
4、A=摸到2号球 P(A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,这里实际上是从“比例”转化为“概率”,记 B=摸到红球 P(B)=6/10,静态,动态,当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.,这样就把求概率问题转化为计数问题.,定义2 设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.,排列组合是计算古典概率的重要工具.,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的,1.加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,
5、第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共有n1+n2+nm 种方法.,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3+2 种方法,回答是,2.乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公
6、式的基础.,C、排列、组合的几个简单公式,排列和组合的区别：,顺序不同是不同的排列,3把不同的钥匙的6种排列,而组合不管顺序,从3个元素取出2个的排列总数有6种,从3个元素取出2个的组合总数有3种,1)、从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同排列总数为：,2）、k=n时称为全排列,排列、组合的几个简单公式,1、排列:,例如：n=4,k=3,第1次选取,第2次选取,第3次选取,3）、从n个不同元素取 k个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：,例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,2、组合:从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同组合总数为：,你
7、能证明吗？,组合系数 又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：,3、组合系数与二项式展开的关系,4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,rk的分法总数为,n个元素,因为,请回答：,对排列组合，我们介绍了几个计算公式？,排列：选排列，全排列，,下面我们就用这些公式来计算.,分组分配.,组合；,允许重复的排列;,D、古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SC
8、IENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,解：,=0.3024,允许重复的排列,问：,错在何处？,例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.,计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同.,从10个不同数字中取5个的排列,例3
9、设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,这是一种无放回抽样.,解：令B=恰有k件次品P(B)=？,次品,正品,M件次品,N-M件正品,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基
10、础上计算事件的概率.,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩下的 8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,正确的答案是：,请思考：还有其它解法吗？,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在
11、N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.,(参见书中P10例1.2.5),3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.,你还可以举出其它例子，留作课下练习.,早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法几何方法.,三、几
12、何 概 率,几何概型的特点：,1、有限区域、无限样本点：试验的所有可能结果为无穷多个样本点，但其样本空间表现为某一几何区域（直 线、平面或三维空间）时为有限区域。,2、等可能性：试验中各基本事件出现的可能性相同，且任意两个基本事件不可能同时发生。,例如：在一个面积为的区域随机地投掷一点 M,即点M落在中的任意位置都是等可能的，求点M落入内的区域A的概率。,此为几何概型。,求法：,（*）,几何方法的要点是：,1、向区域上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.,2、假如样本空间可用一线段，或空间中某
13、个区域表示，并且向上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把面积改为长度或体积即可.,定义1.2.3(概率的几何定义),在几何概型试验中，设样本空间为，事件，则事件A发生的概率为,其中几何度量指长度、面积、体积等。,例1 某人打开收音机，想听电台整点报时，问他等待的时间小于1刻钟的概率是多少？,例2 甲、乙两人相约7点至八点之间在某地会面，先到者等候另一个20分钟，过时方可离去。若每人可在指定的一小时内任意时刻到达，计算两人能够会面的概率。,实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，即使是有限个，也未必是等可能的.,而几何方法的正确运用，有赖于“等可能性”的正确规定.,
