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1、1集合的含义与表示,1.列出满足“大于5而小于10”的所有整数.2.实数可以分为、；有理数可以分为、；整数可以分为、.3.到一个定点的距离等于定长的点的集合是.,6、7、8、9.,有理数,无理数,整数,分数,正整数,负整数,零,圆,1.集合的含义(1)一般地，指定的 称为集合，集合中的 叫作这个集合的元素.(2)集合与元素的表示 通常用 表示集合；通常用 表示集合中的元素.,某些对象的全体,每个对象,大写字母A，B，C，,小写字母a，b，c，,2.元素与集合的关系,a是集合A的元素,aA,a不是集合A的元素,a A,3.常用数集及表示符号,4.集合的表示方法,一一列举,5.集合的分类,有限个,
2、无限个,不含任何,1.“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？【提示】“高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它们都不能构成集合.,2.“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？【提示】在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确定的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.,集合中元素的特性,已知集合A1,0，a，若a2A，求实数a的值.,【思路点拨】,如果令
3、a2=1，0或a,解方程求a,检验得x值,【解析】(1)若a21，则a1，当a1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；当a1时，集合A中有三个元素1,0，1，符合.(2)若a20，则a0，此时集合A中有两个相同元素0，舍去.(3)若a2a，则a0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去.综上可知：a1.,根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.,1.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)a，b，c，d与d，c，b，a是两个不同的集合；(2)集合 中有5个元
4、素；(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；(4)集合A(1，3)与B(3,1)是同一集合.,【解析】(1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求顺序，只要是相同几个元素即可，故a，b，c，d与d，c，b，a是两个相同的集合.(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而 0.50，因此，此种表示不能构成集合.要想表示集合，应写作，含有4个元素.(3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集.(4)不正确.A(1，3)表示的是由点(1，3)组成的单元素点集，B(3,1)表示的是由点(3,1)组成的单元素点集，而(1，3)和(3,1)是不同的两个点，因此A与B是不同的集合.
5、,元素与集合的关系,设集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ.若aA，bB，试判断ab与A，B的关系.【思路点拨】因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数，从而ab是奇数.【解析】aA，a2k1(k1Z).bB，b2k21(k2Z).ab2(k1k2)1.又k1k2Z，abB，从而ab A.,判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.,2.所给下列关系正确的个数是()R；Q；0N；|4|N.A.1B.2 C.3 D.4【解析】是实数，是无理数，正
6、确，N表示正整数集，而0不是正整数；|4|是正整数，错误.【答案】B,集合的表示方法,用适当的方法表示下列集合(1)比4大2的数；(2)方程x2y24x6y130的解集；(3)不等式x23的解的集合；(4)二次函数yx21图象上所有点组成的集合.【思路点拨】解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无限个.,【解析】(1)比4大2的数显然是6，故可表示为6.(2)方程x2y24x6y130可化为(x2)2(y3)20，方程的解集为(2，3).(3)由x23，得x5.故不等式的解集为x|x5.(4)“二次函数yx21的图象上的点”用描述法表示为(x，y)|yx21.,(1)对于元素个数确
7、定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：元素之间用“，”而不是用“、”隔开；元素不能重复；不考虑元素顺序.(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.,3.用适当的方法表示下列集合(1)二元二次方程组 的集合；(2)大于4的全体奇数组成的集合；(3)A(x，y)|xy3，xN，yN；(4)一次函数y2x1图象上所有点组成的集合.【解析】(1)列举法：(0,0)，(1,1)；(2)描述法：x|x2k1，k2，kN；(3)列举法：因为xN，yN，xy3，所以所以A(0,
8、3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)；(4)描述法：(x，y)|y2x1.,1.集合的概念可以从以下几个方面来理解(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征.这两个特征不是模棱两可的.判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合.,2.对集合中元素三个特性的认识(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体
9、是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.如方程(x1)20的解构成的集合为1，而不能记为1,1.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合a，b，c与b，a，c是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系.,【注意】集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关系，求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.,3.使用描述法必须注意(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数对(点)，或是集合
10、，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，如xR是明确的，则xR可以省略，只写其元素x；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”、“或”等表示描述语句之间关系的词.,下列说法：集合xN|x3x用列举法表示为1,0,1；实数集可以表示为x|x为所有实数或R；方程组 的解集为x1，y2.其中正确的有()A.3个B.2个C.1个 D.0个【错解】A【错因】对于描述法表示集合，一应清楚符号“x|x的属性”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二
11、应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么.,【正解】由x3x，即x(x21)0，得x0或x1或x1，因为1N，故集合xN|x3x用列举法表示应为0,1.集合表示中的符号“”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为x|x为实数或R.方程组 的解是有序实数对，而集合x1，y2表示两个方程的解集，正确的表示应为(1,2)或【答案】D,1.下列关系中，正确的个数为()R；Q；|3|N；|Q.A.1B.2C.3 D.4【答案】B,2.已知Ax|33x0，则下列各式正确的是()A.3A B.1AC.0A D.1 A【解析】集合A表示不等式33x0的解集.显然3,1不满足不等式，而0，1满足不等式，故选C.【答案】C3.已知集合A1，a2，实数a不能取的值的集合是.【解析】由互异性知a21，即a1，故实数a不能取的值的集合是1，1.【答案】1，1,4.以方程x22x30和方程x2x20的解为元素的集合中共有多少个元素？【解析】方程x22x30的解是x11，x23，方程x2x20的解是x31，x42，以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为1,2,3，共有3个元素.,
