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1、3.8 切比雪夫不等式与大数定律,重点：1）chebyshev 不等式2）大数定律概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律.,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)|的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,Chebyshev inequality,证,我们只就连续型随机变量的情况来证明.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式.,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111.,大量随机试验中,大数定律的客观背景,大量抛掷
2、硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,定理2,（切比雪夫定理）,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,设独立随机变量序列,的数学期望,与方差,并且方差,一致有上界，,即存在某一常数,使得,则对于任意的正数,有,证：,对随机变量,应用切比雪夫不等式得,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,由此得,令,得到,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,但概率不可能大于,故有,说明,切比雪夫定理说明（概率直观）,若独立随机变量序列,的数学期望,与方差存在，,且方差一致有上界，,收敛于其数学期望,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,紧密地聚集在它的数学期望,附近.,的值将比
3、较,即当 充分大时,依概率收敛定义及性质,定义,请注意:,问题:,伯努利,设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,是事件A发生的频率.,设 nA 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 0，有,定理3（贝努里大数定律）,伯努利,证明,证毕,注,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,或,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2,相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对于任意正数，有,定理4（辛钦大数定律）,辛钦,1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,注,2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.,3、辛钦定理具有广泛的适用性.,要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如n 块地.计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,三、小结,大数定律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,平均结果的稳定性,随机变量,的数学期望,方差,则由切比雪夫不等式，有,解：,思考题,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,1,
