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1、第二讲 定量资料的统计描述,主要内容,频数与频数分布定量变量的特征数常用统计图表,一、离散型定量变量的频数分布,二、连续型定量变量的频数分布,第一节 频数与频数分布,一、频数与频数分布,频数：对一个随机事件进行重复观察，其中某变量值出现的次数被称作频数(frequency)某个测量值的个（例）数。(当汇总大量的原始数据时，把数据按类型分组，其中每个组的数据个数，称为该组的频数。)频数表（频数分布）：是用于反映各变量值及其相应频数之间的关系。（表示各组及它们对应的组频数的表格称为频数表或频数分布。）,(一)离散型定量变量的频数分布,例2-1 1998年某山区96名孕妇产前检查次数资料如下：0，3
2、，2，0，1，5，6，3，2，4，1，0，6，5，1，3，3，4，7等共96个数值。,离散型定量变量的频数分布表,表2-1：96名妇女产前检查次数分布的频数分布表,离散型定量变量的频数分布图,(二)连续型定量变量的频数分布,例2-2 抽样调查某地120名18岁35岁健康男性居民血清铁含量（mol/L）。将数据适当分组，计数每组的频数，根据这些数据编制成的频数分布表（表2-2）则能显示出这组数据分布的特点。,连续型定量变量的频数分布,原始数据,1、频数表的编制,（1）求全距(R):R=最大值 最小值=29.64-7.42=22.22（mol/L）（2）确定组数、组距：通常815组 计算组距(i)
3、i=R/组数 相邻两组段下限值之差称组距。一般都用等距，且用全距的十分之一进行估计。本例：22.2210=2.222，取整为2，该样本可分为12组。,频数表的编制,（3）确定组段：第一组段包括最小值，如本例为6.00;最后组段包括最大值，如本例28.0030.00（要求第一个组段的下限应略小于最小值，最后通一组要同时写出上下限。）;尽量取较整齐的数值作为组段的端点;一般都用等距。（4）列表划记：做出如表2-2的表格，将选好的组段顺序地列在(1)列。将原始数据按照“下限x上限”的原则确定每一例数据x应归属的组段。依次完成（2）（5）列的清点频数、计算频率、累计频数与累计频率等步骤，得如表2-1的
4、频数表。,表2-2 120名18岁35岁健康男性居民血清铁含量（mol/L）。,2、频数分布图,在表2-2的基础上，可以绘制出图2-2，称为直方图（频率直方图）。横轴：血清铁含量纵轴：频率密度，即频率/组距（直条面积等于相应组段的频率）。在组距相等时，直方图中矩形直条的高度与相应组段的频率成正比。,频数分布图,1、正态分布：图形高峰在中央，两边对称(或基本对称)地逐渐减少，统计学上称之为正态分布或近似正态分布。2、正偏态分布：高峰位于左侧，右侧的组段数多于左侧，如图2-3。3、负偏态分布：高峰位于右侧，左侧的组段数多于右侧，如图2-1。进行描述性统计时，需要根据数值的分布形态选择统计指标和相应
5、的计算公式。,3、频数分布的类型,频数分布具有两个特征：集中趋势(central tendency):变量值集中位置。如120名正常男子血清铁含量虽然高低不等，但向中间集中（18），中等的人数最多。平均水平指标离散趋势(tendency of dispersion):变量值围绕集中位置的分布情况。本例1424，共有89人，占74.2；离“中心”位置越远，频数越小；且围绕“中心”左右对称。变异水平指标,4、频数分布的特征,5、频数表的主要用途,（1）揭示分布类型；（2）便于发现特大值和特小值；（3）计算集中趋势指标与离散趋势指标；（4）作为陈述资料的形式，可以代替繁复的原始资料，便于进一步分析；
6、（5）当样本含量比较大时，可用各组段的频率作为概率的估计值。如上述频数表(2)栏的频数除以总例数即为第(3)栏的频率，由此可推测正常男子的血清铁含量出现在各组段的概率分别为0.0083、0.025、0.050、0.0083。,一、算术平均数,二、几何均数,三、中位数与百分位数,四、众数,五、调合均数,第二节 集中趋势指标,集中趋势指标,平均指标又称平均数(average)，是一类用于描述数值变量资料平均水平(或集中趋势)的指标。统计上的平均数一般包括5种，即算术平均数、几何平均数、中位数、众数以及调和均数。在医学研究上对于连续型定量变量，较常用的为算术平均数、几何平均数和中位数3种。,一、算术
7、均数（均数）,意义：一组性质相同的观察值在数量上的平均水平。（它是一组已知性质相同的数值之和除以数值个数所得的商。）表示：（总体）、（样本）计算：直接法、间接法、计算机特征：估计误差之和为0。应用：正态分布或近似正态分布注意：合理分组，才能求均数，否则没有意义。,（1）直接法：当观察例数不多(如样本含量n小于30)时，宜选择直接法。公式为：,例题：有5个自然数分别为1，2，3，4，5，求算术均数。将5个自然数代入公式，得：,计算：,例2-3 测得8只正常大鼠血清总酸性磷酸酶（TACP）含量（U/L）为4.20，6.43，2.08，3.45，2.26，4.04，5.42，3.38。试求其算术均数
8、。算术均数=（4.20+6.43+2.08+3.45+2.26+4.04+5.42+3.38）/8=3.9075（U/L）,（2）加权法(weighted method)：当观察例数很多可以用加权法计算。,例题：利用下表的资料，用加权法计算120名成年18岁35岁健康男性居民血清铁含量（mol/L）算术均数，计算表如下：,首先将数据编制成频数表，得出每组的频数，求出组中值，代入下列公式，得到均数。,直接法均数=18.61（mol/L）,二、几何均数（geometric mean，G）,意义：N个数值的乘积开N次方即为这N 个数的几何均数。表示：G 计算：,应用：当一组观察值不呈正态分布、且其差
9、距较大时，用均数表示其平均水平会受少数特大或特小值影响；数值按大小顺序排列后，各观察值呈倍数关系或近似倍数关系。如抗体的平均滴度、药物的平均效价等。(适用于观察值变化范围跨越多个数量级的资料,其频数图一般呈正偏态分布。)计算几何均数的观察值不能小于或等于0，因为无法求对数。同一组数据的几何均数小于算术均数。,（1）直接法 当观察例数不多(如样本含量n小于30)时采用直接法计算：,例题：有5份血清的抗体滴度分别为1：10，1：100，1：1000，1：10000，1：100000，求平均抗体滴度。,将各抗体滴度的倒数代入公式，得：,血清的抗体平均效价为1：1000。,计算：,例2-5 7名慢性迁
10、延性肝炎患者的HBsAg滴度资料为1:16，1:32，1:32，1:64，1:64，1:128，1:512。试计算其几何均数。,（2）加权法,例2-6 52例慢性肝炎患者的HBsAg滴度数据如表2-4。试计算滴度的几何均数。,计算公式为：,三、中位数、百分位数,意义：中位数：将一组观察值从小到大排序后，居于中间位置的那个值或两个中间值的平均值。百分位：把一组数据从小到大排列，分成100等份，各等份含1的观察值，分割界限上的值就是百分位数。中位数是百分位的特殊形式。同样的例子还有四分位数、十分位数等。表示：M、Px,计算：,应用：任何分布的资料都可以用中位数反映平均水平；资料一端或两端无确定数值
11、；对于资料的分布情况不清楚时。,计算：（1）中位数的直接计算法：样本含量不大时使用。将观察值按大小顺序排列，当样本含量n为奇数时，位置居中的那个数值就是M；当n为偶数时，位置居中的两个数值的平均数就是M。,特点：仅仅利用了中间的12个数据,（2）中位数和百分位数的频数表计算法 当观察例数较多时采用。先将观察值编制成频数表，按所分组段由小到大计算累计频数和累计频率，找出中位数或百分位数所在的组，将该组段的下限(L)、组距(i)、频数(fx)和小于L的各组段累计频数(fL)代入下列公式即可求出中位数M和百分位数Px。,例2-8 试利用表2-2的频数表求例2-2中血清铁含量的中位数。从表2-2可判断
12、出位于“18-”这个组段。将相应数据代入式（2-8）该组血清铁资料的中位数为18.74(mol/L）如果按（2-7）式计算，结果为18.99(mol/L）。,表2-2 120名18岁35岁健康男性居民血清铁含量（mol/L）。,四、众数,众数（mode）：原指总体中出现机会最高的数值。样本众数则是在样本中出现次数最多的数值。,产前检查次数的众数为4次。,五、调合均数,调和均数（harmonic mean,H）：先求原始数据倒数的算术均数。该算术均数的倒数便称为原数据的调和均数。计算公式：,例2-10 接受某种处理的5只小鼠生存时间（分钟）分别为49.1、60.8、63.3、63.6和63.6，
13、试计算其调和均数。,一、全距,二、四分位数间距,五、方差和标准差,六、变异系数,三、离均差总和,四、离均差平方和,第三节 离散趋势特征数,平均水平指标仅描述了一组数据的集中趋势，可以作为总体的一个代表值。由于变异的客观存在，需要一类指标描述资料的离散程度。观察两组数据：甲组：4，5，6，7，8。n5；6 乙组：2，5，6，7，10。n5；6 两组资料的倒数和均数都相同，但它们的分布情况是不一样的，因此要全面描述这两组资料的特征，还需要有能表示其离散程度的指标。,例2-11 试观察三组数据的离散状况。A组：26，28，30，32，34；B组：24，27，30，33，36；C组：26，29，30，
14、31，34。三组数据个数都为5，均数都为30。将三组数据分别点在直线上，如下图所示。,一、全距(range),1概念 全距用R表示，是一组资料最大值与最小值之差。例2-11中三组数据的极差 A组 R=34-26=8 B组 R=36-24=12 C组 R=34-26=82含义 全距越大，离散程度越大；反之，全距越小，离散程度越小。,3、优缺点优点：简单明了，容易理解，使用方便。缺点：(1)仅考虑两端数据的差异，未考虑其他数据的变异情况；(2)变量值个数不同时无意义（n大，R也会大）；(3)不稳定，易受极端值的影响（抽样误差大）。,1概念 四分位数间距用Q表示，是上四分位数QU(P75)和下四分位
15、数Q L(P25)之差。如例：表22资料：QQU Q LP75 P2521.44 16.005.44(mol/L)2含义 其值越大，说明变异程度越大；反之，值越小，离散程度越小。常常和中位数一起描述偏态分布资料的的分布特征。3优缺点：该指标比全距稍稳定，但仍未考虑每个观察值。,二、四分位数间距(quartile range),三、离均差总和,考虑到了每一个变量值的影响，但对称分布的资料，由于正负相消，故离均差总和等于0。如上例：三组数据的离均差总和均等于0。,四、离均差平方和（sum of squares）,如上例：A组=（26-30）2+（28-30）2+（30-30）2+（32-30）2+
16、（34-30）2=40B组=（24-30）2+（27-30）2+（30-30）2+（33-30）2+（36-30）2=90C组=（26-30）2+（29-30）2+（30-30）2+（31-30）2+（34-30）2=34 和离均差总和一样，考虑到了每一个变量值的影响，而且克服了正负相消的缺点，但变量值个数不同时无意义。,为了能反映每个观察值之间的离散情况，同时又能考虑到观察单位数多少的影响，可取离均差平方和的均数，简称方差(variance)。总体方差用2表示，样本方差用S2表示，公式分别为：,五、方差(variance),六、标准差(standard deviation),由于每一离均差都
17、经过平方，使原来观察值的度量单位也都变为平方单位了。为了还原成为原来的度量单位，所以又将方差开平方，这就是标准差。,(1)小样本资料：,例题：有数据1，2，3，4，5，求其标准差。,标准差计算,例2-14 分别计算例2-11中三组数据的标准差。A组：B组：C组：C组的标准差最小，B组的最大。意味着C组数据的离散趋势最小，B组的最大,（2）大样本资料：对于大样本资料，可用频数表进行计算，公式为：,例题：根据下列频数表资料，计算140名成年男子红细胞数的标准差。计算表如下：,表2-2 120名18岁35岁健康男性居民血清铁含量（mol/L）。,方差和标准差的意义都是说明资料的变异程度，算出的值越大
18、，说明变异程度越大。标准差愈小，说明观察值的离散程度愈小，从而也反映了用平均数反映平均水平，其代表性愈好。反之，平均数的代表性愈差。(越大说明围绕均数越离散，反之说明较集中在均数周围，均数代表性越好),方差和标准差的含义：,反映一组观察值的离散程度，标准差小，离散程度小，均数的代表性好；用于计算变异系数；计算标准误；结合均值与正态分布的规律估计参考值的范围。,标准差用途：,六、变异系数,无单位（量纲）应用：单位不同的多组数据比较 均数相差悬殊的多组资料,意义：标准差与均数之比用百分数表示。符号:CV计算:,1、比较均数悬殊的资料变异程度,例题：某地7岁男孩身高均数为121.16cm，标准差为4
19、.31cm；胸围均数为57.71cm，标准差为2.82cm，比较身高和胸围的变异程度。,身高：,胸围：,说明胸围的变异程度大于身高。,2、比较度量衡单位不同的资料变异程度,例题：通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数为8.42kg，标准差为0.98kg；身高均数为72.4cm，标准差为3.0cm。试计算周岁女童身高与体重的变异系数。,体重：,身高：,说明体重的变异程度大于身高。,第四节 分布形态特征数,描述分布形态的统计量：偏度系数与峰度系数。偏度系数(coefficient of skewness，SKEW)：理论上总体偏度系数为0时，分布是对称的；取正值时，分布为负偏峰（态）；取负值
20、时分布为正偏峰（态）。样本偏度系数计算公式：,峰度系数(coefficient of kurtosis，KURT),理论上，正态分布的总体峰度系数为0；取负值时，其分布较正态分布的峰平阔；取正值时，其分布较正态分布的峰尖峭。样本峰度系数,小 结,1.为了解定量变量的分布规律，可编制频数表并绘制频数分布（或频率分布）图，用于描述资料的分布特征（集中趋势与离散趋势），以及分布类型（对称或偏峰）2.描述性统计量可以用来定量地刻画统计分布的特征。常用的描述性统计量有三类：描述集中趋势的算术均数、几何均数、中位数；描述离散趋势的极差、四分位数间距、方差、标准差和变异系数；描述分布类型的偏度系数与峰度系数。3.百分位数是一种位置参数，既可用来描述集中趋势（P50），又可用来描述离散趋势（P75-P25）。可用于各种连续型分布。,
