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1、第2课时椭圆方程及性质的应用,问题2：怎么判断它们之间的位置关系？,问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？,dr,dr,d=r,0,0,=0,几何法：,代数法：,直线与椭圆有什么样的位置关系，该如何判断呢？,种类:,相离(没有交点)相切(一个交点)相交(两个交点),能用几何法判断椭圆与直线的位置关系吗？,探究点2 直线与椭圆的位置关系,问题3：直线与椭圆的位置关系如何判定？,代数方法，联立方程,转化思想方程思想,1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(当二次项系数不为0时)(1)0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)=0直线与椭圆相切有且只有
2、一个公共点；(3)0直线与椭圆相离无公共点,通法,【总结提升】,直线与椭圆的位置关系：,【题型探究】类型一直线与椭圆的位置关系的判断【典例】1.直线y=x-与椭圆x2+4y2=2的位置关系是.2.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,求m的取值范围.,【解题探究】1.典例1中如何判断两者的位置关系?提示:联立两个方程,消元后,判断方程的判别式的符号.,【解析】1.联立方程组得消去y,整理得5x2-4x-1=0(#)=(-4)2-45(-1)=360,即方程(#)有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和椭圆相交.答案:相交,2.方法一:由消去y,整理得(m+5k2)x2+10kx
3、+5(1-m)=0,所以=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1),因为直线与椭圆总有公共点,所以0对任意kR都成立,因为m0,所以5k21-m恒成立,所以1-m0,即m1.又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0m5,所以1m5.,一、判断直线与椭圆的位置关系的方法,例2,二、弦长问题,设而不求的思想,关于中点的问题一般可采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解,【典例】已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,求直线l的方程.并求直线l被椭圆截得的弦长
4、【解题探究】如何应用本例中的条件“弦的中点点P(4,2)”解题?提示:利用方程根与系数的关系或点差法解题.,【解析】方法一:由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.所以x1+x2=8,所以k=-.所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.,方法二:设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=8,y1+y2=4,所以即k=-.所以
5、直线l的方程为x+2y-8=0.,【延伸探究】1.(改变问法)求直线l被椭圆截得的弦长.【解析】由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0,联立椭圆方程得x2-8x+14=0.方法一:解方程得所以直线l被椭圆截得的弦长为,方法二:因为x1+x2=8,x1x2=14.所以直线l被椭圆截得的弦长为,【方法技巧】1.直线与椭圆相交弦长的有关问题直线与椭圆相交有关弦的问题,主要思路是联立直线和椭圆的方程,得到一元二次方程,然后借助一元二次方程的有关知识解决,有时运用弦长公式,解题时应注意以下几点:(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求
6、时,可用弦长公式.(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.,2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆(ab0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则由-,得 变形得,设而不求的思想,【名师点评】中点弦问题求解的关键是充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系本题中的法一是设出方程，根据中点坐标求出k；法二是“设而不求”，即设出交点坐标，代入方程，整体求出斜率,x,o,y,分析：作出直线l及椭圆（如图），观察图形,可以发现,利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.,解:由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成,令方程的根的判别式=0，得,解方程，得,最大的距离是多少？,
