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常微分方程初步,第八章,积分问题,微分方程问题,推广,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,微分方程的基本概念,第一节,等都是常微分方程.,等都是偏微分方程.,或,n阶线性微分方程的一般式:,使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,不含任意常数的解,通解:,特解:,初始条件,确定常数的条件,例3.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,例4.求下列初值问题的解,为常数,转化,可分离变量微分方程,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,两边积分,得,则有,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为非零常数),y=0也是方程的解,故通解为,(C 为任意常数),例1.求微分方程,练习:,解:分离变量,即,(C 0),注:微分方程的解可以是显式,也可以是隐式.,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,练习.解初值问题,作业：,P18 3 5(1)6(3)(5),
