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1、第五节 多维随机变量的函数的分布,设(X,Y)为二维随机变量,讨论 X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维随机变量).,一、离散型随机变量函数分布 我们可以从下面两个例子中总结出一般的方法。例1:设(X,Y)的分布律为,求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。,解:(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5。,PV=0=PX=0,Y=0=0；,PV=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=1=0.01+0.01+0.02=0.04；,同理，可求出其它取值的概率。所以V的分布律为,V=0,V=1,
2、V=2,V=3,V=4,V=5,(2)U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3 PU=i=PX=i,Yi+PXi,Y=i,i=0,1,2,3.U的分布律为,U=0,U=1,U=2,U=3,(3)W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.,W的分布律为,W=0,W=1,W=2,W=3,W=4,W=5,W=6,W=7,W=8,二、连续型随机变量函数的分布 问题：设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y),又Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随机变量,要求Z的概率密度。一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z),然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z)
3、.,例:设(X,Y)的概率密度为 x+,y+求 的概率密度,解:我们先求Z的分布函数FZ(z)。,于是可得Z的概率密度为,当z0时,FZ(z)=0，当z0时,1Z=X+Y的分布：设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为,积分区域如图,化成累次积分,得,固定z和y对上式内层积分作变量变换,令x=u-y,得,于是,由概率密度的定义,即得Z的概率密度为,由x,y的对称性,fZ(z)又可写成:,上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fx(x),fY(y),则两式分别为,这两个公式称为卷积公式,记为fx
4、*fY,即,例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0，1)分布,即有,求Z=X+Y的概率密度。,解:由公式,令t=x-(z/2)，得,即Z服从N(0，2)分布.,一般地,设X,Y相互独立且XN(1，12)，YN(2，22),经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有ZN(1+2，12+22).,这个结论可推广到n个独立正态随机变量之和的情况,即若 XiN(i,i2),(i=1,2,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+Xn仍然服从正态分布,且有ZN(1+2+n，12+22+.+n2).,。,2 M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随
5、机变量,它们的分布函数分别为Fx(x)和FY(y).现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有 PMz=PXz,Yz 又由于X和Y相互独立,得到M=max(X,Y)的分布函数为,类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为,以上结果容易推广到n 个相互独立的随机变量的情况,设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量.它们的分布函数分别为,i=1,2,n.,则M=Max(X1,X2,Xn)及N=Min(X1,X2,Xn)的分布函数分别为,特别,当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,有Fmax(z)=
6、F(z)n,Fmax(z)=1-1-F(z)n.例:设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为,其中0,0且，试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.,解:(i)串联的情况 由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为 Z=min(X,Y)。由指数分布X,Y的分布函数分别为,由公式得Z=min(X,Y)的分布函数为,于是Z=min(X,Y)的概率密度为,(ii)并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时
7、,系统L才停止工作,所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y)的分布函数,于是Z=max(X,Y)的概率密度为,(iii)备用的情况.由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作,因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和,即:Z=X+Y.按公式,当z0时，Z=X+Y的概率密度为,当z0时,f(z)=0,于是Z=X+Y的概率密度为,三、随机变量变换的定理 设(X,Y)具有概率密度f(x,y),U=g(X,Y),V=h(X,Y)，一般地,如何由(X,Y)的密度去求(U,V)的概率密度,为此,我们有以下定理：定理.设(X,Y)有联合密度f(x,y),且区域A(可以是全
8、平面)满足P(X,Y)A=1,对变换,(i)是一一对应的；,当(x,y)A时,(u,v)的值域为G，而且变换()满足,(ii)g,h在A中有连续偏导数；(iii)雅可比行列式J在A中处处不为0,则(U,V)(U=g(X,Y),V=h(X,Y)具有密度,其中x(u,v),y(u,v)是由变换()决定的反函数.,例1:设X,Y相互独立,都服从参数为=1的指数分布,而U=X+Y,V=X/Y.(1)求(U,V)的联合密度,(2)分别求U,V的概率密度,(3)讨论U,V的独立性.解:首先(X,Y)的概率密度为,记 A=(x,y)|x0,y0,显然有P(X,Y)A=1,对变换():,当(x,y)A时,(u
9、,v)的值域为:G=(u,v)|u0,v0,且此变换满足定理中的条件(i)(ii)(iii)变换()解得,所以,由定理得(U,V)的联合密度为,(2)可由(U,V)的联合密度求出U,V的概率密度fU(u),fV(v),(3)容易看出,对于任意u,v有,所以U,V相互独立.,例2:设X,Y相互独立,服从同一分布N(0,1)而,(R,)是平面上随机点(X,Y)相应的极经,极角,即有关系,求(R,)的联合密度.解:记A=(x,y)|(x,y)0,G=(r,)|r0,02,显然有P(X,Y)A=1且变换 满足定理 的条件,并且,由定理得(R,)的联合密度为,顺便我们看出R,的概率密度分别为,并且R与是
10、相互独立的。,注释 在求Z=g(X,Y)的概率密度时,可以再找一个X与Y的函数W=h(X,Y)使得对变换 满足定理的条件,利用定理的结论就可以求出（Z,W）的联合密度，再由联合密度便可求出Z的概率密度。可以用此方法导出X+Y，X/Y，XY，X-Y等简单函数的概率密度的一般公式。要求是重点掌握在独立性条件下求几个简单函数X+Y，Min(X,Y)，Max(X,Y)的分布。,小结 本章以二维随机变量为主，讨论了多维随机变量的(1)联合分布(2)边缘分布(3)X,Y的独立性(4)条件分布(5)二维随机变量函数的分布。对于多维随机变量不难推广，请同学自学关于正态分布的一些结论：1若XN(,2)，则,2若XN(,2)，则,3若Xi服从二维正态分布 N(i,i2),Xi相互独立，i=1,2,n.则,4(X,Y)服从二维正态分布，=0 X与Y相互独立（X与Y不相关）；5(X,Y)服从二维正态分布 X,Y也服从正态分布；(X,Y)服从二维正态分布其条件分布也是正态分布;6若X,Y为正态同分布且相互独立 服从瑞利分布；,若X,Y为正态同分布且相互独立Z=X/Y服从柯西分布；7数字特征：见下章。,
