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1、引言5.1 传染病模型5.4 药物在体内的分布与排除（房室模型）5.6 人口预测和控制,微分方程模型,May.05,2003,a disease that has rocked Asian markets,ruined the tourist trade of an entire region,nearly bankrupted airlines and spread panic through some of the worlds largest countries.,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防控制传染病蔓延,5.1 传染病模型,三类
2、人,已感染者(Infective,病人)未感染者(Susceptible，易感染者)移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等),已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,Malthus模型,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,短期预测模型,Logistic模型（SI模型）,区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,AIDS等,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,所有人被感染
3、?,?,t=tm,di/dt 最大,感染无治愈模型,Logistic模型,SIS模型,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,伤风、痢疾等,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,有治愈无免疫模型Susceptible Infective Susceptible,SIS的解析解,试试看：解析解怎样求？,dsolve(Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y,y(0)=i0,t),SIS模型,接触数=1 阈值,感染期内有效接触感染的人数不超过病人数,思考：Logistic模型(SI模型)如何看作S
4、IS模型的特例？,SIR模型,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,肝炎、SARS等,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立 的两个方程,有治愈有免疫模型Susceptible Infective Removed,SIR模型,思考：r(t)的方程？,R0=S/=S表示平均每个病人总传播人数。R01,传染病不蔓延,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s01/i(t)单调降至0,1/阈值
5、,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/,的估计,降低 s0,提高 r01-1/,提高阈值 1/,疫情实证分析(Kermack,P143图),19041905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每周死亡1.8万人。r-孟买死亡人数。,SARS疫情的实证分析,与Kermack同样的方法王铎,赵宵飞.SARS疫情的实证分析和预测J.北京大学学报(医学版),2003,5(S):72-74.,一句话小结,不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。,进一步的
6、问题,考虑出生和死亡因素的传染病模型考虑潜伏期的传染病模型SEIR考虑被动免疫的传染病模型MSIR考虑随机接触率的传染病模型SSIR参考,补充习题,理论证明P143第13行。在SIR 模型中考虑出生与死亡的因素。假设全体人群以相同出生率生育婴儿，且婴儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从而人群总数不变。试建立数学模型描述疾病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条件。,房室系统的概念二房室模型的建立模型求解不同给药方式分析参数估计技巧进一步推广,5.4 药物在体内的分布与排除（药物动力学之房室模型）,药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量),血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计,药物在体内吸
7、收、分布和排除过程 药物动力学,建立房室模型(Compartmental Models),房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移,本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等),药物动力学之房室系统,模型假设,中心室(1)和周边室(2),容积不变,药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比,药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外,模型建立,复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2),(1)两个不等的实数特征根,(2)两个相等的实数特征根=,(3)两个共轭复数特征根i,线性常系数非齐次方程,对应齐次方程
8、通解,模型建立,可证明：特征方程有两个不相等负根(习题5),几种常见的给药方式,1.快速静脉注射,t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1,给药速率 f0(t)和初始条件,2.恒速静脉滴注,t T,c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零(解的公式？),详解,方程非其次项是常数，所以设解非其次项也是常数，令方程的通解为代入方程，比较两边e-t,e-t以及常数项系数得到6式，删去冗余两式得由后两式解得由前两式得再利用初始条件c1(0)=0,c2(0)=0解得(可利用Matlab的符号工具箱),tT以后，静脉注射停止,3.口服或肌肉注射,相当于药物(剂量D0)先进入吸收室
9、，吸收后进入中心室,吸收室药量x0(t),怎样确定A,B,E?C2(t)的公式？,参数估计技巧,各种给药方式下的 c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2,t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti),由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,为什么不4个参数一起拟合？,参数估计技巧,房室模型建模小结,分析各房室的关联；建立线性微分方程组模型；写出微分方程组的通解；用初始条件和代入方程求得特解；用观测数据估计模型参数参数估计可用分解技巧，简化计算，使结果更可靠。,进一步的问题,多房室系统模型非线性房室模型随机房室模型房室模型在其他领域
10、的应用其他注射方式下的参数估计问题(思考：恒速静脉滴注情形的参数估计技巧？),参考阅读,周晓芳,陈小全,周鲁,生理房室模型药物动力学的研究进展,预防医学情报杂志 2002年06期 陈增敬,关于血浆中放射性钙C47浓度的计算公式,数理统计与应用概率，1995年 10卷 3期,补充习题3,给出P155-156口服或肌肉注射情形下二房室模型的解。提示：,补充习题4,在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有 5/6 是伊利湖流出的。试建模描述这两个湖的污染情况。假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略
11、湖的所有污染都 暂时被停止了。试计算把安大略净化到 50%以及 5%所需要的时间。,人口模型介绍PDE建模人口预测人口控制与计划生育几个人口发展指数参考文献,5.6 人口预测和控制(偏微分方程模型),研究人口模型的意义,人口控制人口系统工程社会保障寿险精算种群生态学,人口模型概述,宏观模型:总人口,不考虑年龄，Malthus模型,Logistic模型(第一章)微观模型：考虑年龄结构1930s,Lotka 积分方程模型1940s,Leslie差分方程模型(第七章)1960s,Verhulst偏微分方程模型1970s,Pollard随机方程模型,考虑年龄分布,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发
12、展方程,人口PDE建模和预测,人口发展方程,一阶偏微分方程,为什么没有考虑出生率？,人口预测,已知函数（人口调查）,出生率（控制人口手段）,解释：从现在t=0看，10年以后年龄r小于t=10岁的人的密度由将来的出生率决定；年龄大于10岁的人的密度由现在的人口分布决定,证明作为习题,出生率f(t)的模型,总和生育率（平均每个育龄妇女生育胎数）,h生育模式,人口预测：发展方程+出生率模型,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制(t)不过高,补充习题5,验证P164(7)式为P1
13、63方程(5)的解。,人口红利制造中国30年经济奇迹,人口问题造成中国70年的贫穷,胡鞍钢：“一对夫妇一个孩儿”该结束了,“一对夫妇一个孩儿”该结束了,调整人口生育政策势在必行,少子化.妇女总和生育率的过快下降，明显低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我国0至14岁少儿人口绝对数达到了最高峰，大约为3.34亿人，2008年的时候减少到2.52亿人。老龄化。根据联合国人口署的预测，到2020年我国60岁以上人口将占到总人口的16.7%，2050年将进一步上升到31.1%，大大高于届时的世界平均水平(21.9%)。劳动人口缺乏.15至59岁劳动人口大约在2015至2020年之间也会达到最高
14、峰，大约9.23亿人，而后开始持续下降。到2050年，中国的15至59岁劳动年龄人口数大约要比印度少2.44亿人。,“一对夫妇一个孩儿”该结束了,未来中国人口发展目标,1、保持少儿人口数量稳定的目标。少儿人口并不是减少越多、越快就越好，而是应该保持在一定规模上。2、保持劳动年龄人口稳定的目标。防止2020年之后的大幅度下降，特别是防止15-29岁青年型劳动人口的大幅度下降。3、保持总人口规模。防止2030年之后总人口规模的大幅度下降。,参考阅读,李永胜,人口预测中的模型选择与参数认定,财经科学 2004年02期张启敏,聂赞坎,一类随机人口发展系统的指数稳定性,控制理论与应用 2004年06期李冬梅,刘维奇,保险系统损失分布模型新探,系统工程 2004年02期王静龙,陆俊,上海市年度保险费收入预测的数学模型及分析,上海统计,1999年 9期胡鞍钢：一对夫妇一个孩儿该结束了，经济参考报，2009年11月26日,建模竞赛,CUMCM2007A:中国人口增长预测问题,
