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1、5.3平面线性系统的奇点及相图,5.3.1 几个线性系统的计算机相图,5.3.2 平面线性系统的初始奇点,本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统,(5.3.1),其中，在上 连续且满足解的,存在唯一性条件。,为了研究系统（5.3.1）的轨线的定性性态，,必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如,上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，,不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系,统的某一解，满足：,则点 一定是系统的奇点。,一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较,复杂的。又因为对于系统的任何奇点 均,可用变换,(5.3.2),把（5.3.1）变为：,(5.3.3),且(5.3.3)的奇点
2、即对应于(5.3.1)的,移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。,奇点。又因为变换(5.3.2)只是一个平,因此，我们可假设 是(5.3.1)的奇点，且,性态即可。所以设(5.3.1)中的右端函数满足：,(5.3.4),如果 均是 的线形函,数。我们称之为线性系统，即,只须讨论(5.3.1)的奇点 及其邻域的轨线,(5.3.5),5.3.1 几个线性系统的计算机相图,一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻,域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地,画出其图形，给我们一个直观的形象。,Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软,件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定,初值，再给出步长、
3、颜色等。看几个具体的例子。,例5.3.1 用Maple描出系统,(5.3.6),在奇点附近轨线的相图。,解 用Maple解得相图5.7。,则称 非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，,是上边所说的实可逆矩阵，则系统(5.3.5)变为:,(5.3.10),从 而变换的几种形式就能容易的得出,平面系统（5.3.10）的轨线结构，至于,原方程组(5.3.5)的奇点及附近的轨线结构只须,用变换 返回到就行了。,由于变换 不改变奇点的位置与类,型，因此我们只对线性系统的标准方程组给出,讨论。,记,设 的特征方程为：,则特征方程为，特征根为,(5.3.11),由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:,1.
4、特征根为不相等的同号实根,此时对应的标准型为,(5.3.12),容易求出其通解为,（5.3.13）,其中 是任意常数，对应于零解，,对应的 轴正负半轴都是轨线；,对应的 轴正负半轴是轨线；,当 时候，再分两种情况讨论：,所以轨线均为以 顶点的抛物线，且,当 时由,我们可知：,当 时,即切线切 轴趋于 点。,当 时,即切线切 轴趋于 点。,且由于(5.3.14)知此时原点 是渐近稳定的，,所以系统在原点及附近的相图如下图所示：,图5.11(a),图5.11(b),我们把这样的奇点称为稳定结点。,这时关于(1)的讨论在此适用只需将,改为 所以此时的奇点称为不稳定结点，,轨线分布如图5.11类似，仅
5、是图上的箭头反向。,这时仍有(5.3.13)和(5.3.14)，所以两个坐标轴的,正负半轴仍为轨线，但是由于，奇点附近,的轨线成为双曲线的且,若，则当 时，,若，则当 时，,轨线均以 轴 轴为渐近线，系统在原点及,附近的轨线分布如:,图5.12(a),图5.12(b),这种奇点成为鞍点，它是不稳定奇点。,这时由Jordan块的不同分为两种：,且当 时，,即 是渐近稳定的；,反之，当 时 为不稳定的。此时的,奇点称为临界结点（星形结点），,(2)若Jordan块为二阶时，标准型为,(5.3.16),仍对应的是零件即奇点,对应的是 轴为轨线，但是 轴,不再是轨线，时消去 得出：,(5.3.18),
6、所以有,因此所有轨线均切 轴于 点，这种奇点,称为退化结点。且当 时为稳定的退化结点，,当 时为不稳定的退化结点。,4.,这时系统的标准型为,(5.3.19),取极坐标变换,(5.3.19)即,化为:,(5.3.20),下边分两种情况:,（1）,此时解(5.3.20)得出,其中 是任意常数，消去 得,这是一族对数螺线，这样的奇点称为焦点，,且当 时是稳定焦点，时是不稳定焦点，,的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆,时针绕原点旋转的。,(2),这时特征值是一对纯虚数,于是系统在极坐标下,的通解为：,为任意的常数且。显然这是一族以原点,为中心的同心圆，这样的奇点称为中心，,中心是稳定奇点但不是渐
7、近稳定的。,归纳上边的讨论得出，系统(5.3.5)的奇点,是初等奇点时候根据它的系数矩阵 的,特征方程(5.3.11)有如下分类：,1）当 时，为鞍点；,2）当 且 时是结点且 是稳,定的，不稳定的；,3)当 且 时 是临界结点或退,化结点,且 是稳定的，是不稳定的；,4)当 时是 焦点且,为稳定的，为不稳定的;,5)当 且 时，是中心。,由此知道参数 平面，被 轴，正 轴,别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，,及曲线 分成了几个区域，分,中心区，退化和临界结点区等等，,点。,但是 平面的 轴对应的是系统的高阶奇,例5.3.6 画出下面的线性系统的奇点附近相图,解 容易算出,所以 是系统的鞍点。,我们求解如下：,(当 时),得到.同样的可以分析画出奇点附,近的轨线分布如图5.18所表示。,x,y,O,
