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1、第一节 空间直角坐标系与向量的概念,一、空间直角坐标系,二、向量的概念及其线性运算,三、向量的坐标表示,1.空间直角坐标系,坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.,面,面,面,一、空间直角坐标系,在空间直角坐标系中,点与三元数组之间有一一对应关系.,各卦限中点的坐标情况:,2.两点间的距离,例1 已知两点 与,在 轴上求一点,使,解 因为 在 轴上,所以设 点的坐标为,由题设,得,解得,所求点 为,1.向量的概念,向量的模:向量的大小(有向线段的长度),记作,单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,记为0 或,向量的表示:或 或,二、向量的概念及其线性运
2、算,2.向量的线性运算,(1)向量的加法,d,向量的加法满足下列运算规律:,（1）,（2）,（3）,（4）,(2)数与向量的乘积(数乘向量),定义2 设 是一个非零向量,是一个非零实数,则 与 的乘积仍是一个向量,记作,且,数与向量的乘积满足下列运算规律:,（1）,（2）,（3）,（4）,1.向径及其坐标表示,向径:在空间直角坐标系中,起点在原点,终点为 的向量 称为点 的向径.记为 或,基本单位向量:,称上式为向量 的坐标表达式,记作,三、向量的坐标表示,2.向量 的坐标表示式,3.向量的模与方向余弦的坐标表示式,4.向量线性运算的坐标表示,例2 设,求 的方向余弦.,解,例3 设向量 的两
3、个方向余弦为,又,求向量 的坐标.,解 由 得,所以,第二节 向量的数量积与向量积,一、向量的数量积,二、向量的向量积,一、向量的数量积,1.数量积的概念,定义1 两向量 的模及其夹角余弦的乘积，称为向量的数量积,记为,即,说明:,(1)向量的数量积是一个数量而不是向量；,(3),(2)两非零向量 夹角的余弦,(4)设 为两个非零向量,由定义1,有,数量积满足如下运算规律：,(1)交换律：,(3)分配律：,另外,由(2)(3)可得,2.数量积的坐标表示式,.两非零向量夹角余弦的坐标表示式,设 均为非零向量,由两向量的数量积定义可知,解,例1 已知 求,例2 设力 作用在一质点上,质点由 沿直线
4、移动到.求:(1)力 所作的功;(2)力 与位移 的夹角(力的单位为,位移的单位为).,解 因为,又因为,所以,例3 求在 坐标面上与向量垂直的单位向量,解之得,二、向量的向量积,1.向量积的概念,说明:,(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;,(4),向量积满足下列运算规律:,(1)反交换律：,(3)分配律:,2.向量积的坐标表示式,a,对于两个非零向量,解,例4 设 求,例5 求垂直于 和 的单位向量.,解 因为 同时垂直 和,所以,例6 已知三角形 的顶点是 求三角形的面积.,解 根据向量积的定义,可知三角形 的面积,第三节 平面与直线,一、平面的方程,二、直线的方程,三、平面、直线的
5、位置关系,1平面的点法式方程,法向量,因为,所以有,该方程称为平面 的点法式方程,一、平面的方程,解 由平面方程的点法式得所求平面方程为,例1 求过点 且垂直于向量 的平面方程,即,解 因为 在该平面上,已知平面的法向量,故,所求平面的法向量 与向量 和 都垂直,即,由公式得该平面的方程为,例3 求过点 和 三点的平面方程,故,解 所求平面的法向量 与向量 和 都垂直，而,由公式 得该平面方程为,即,从平面的点法式方程得,令,该方程称为平面的一般式方程.,2平面的一般式方程,得,它表示过点 且以 为法向量的平面,可见，任一三元一次方程（不全为零）都表示一个平面.系数 为平面法向量的坐标,平面通
6、过原点(图9.16),(2)当 时，,图9.17,方程 的特殊情况:,(1)当 时，,该平面平行于 轴（图9.17）,图9.18,(3)当 时,表示的平面通过 轴(图9.18),分别表示通过 轴和 轴的平面.,(4)当 时，,图9.19,当 时,该平面平行于 坐标面(图9.19),它表示 坐标面,同理，方程 和 分别表示平行 面和 面的平面;方程 和 分别表示 面和 面.,方程为,代入原方程并化简,得所求平面方程为,例4 求通过 轴和点 的平面方程.,解 因平面通过 轴,由以上讨论,可设其方程为,解 设所求平面方程为,例5 一平面经过 三点，求此平面的方程.,又因 三点都在平面上,所以有,后两
7、个方程分别减去第一个方程,得,所以,代入第一个方程得,即,因为 不能同时为零,所以,于是有,即得所求平面方程为,3平面的截距式方程,解此方程组得,设一平面过三点(图9.20),求此平面方程,设平面方程为，,因为 三点在该平面上,所以有,即得所求平面方程为,此方程称为平面的截距式方程,其中 分别称为平面在 轴、轴、轴上的截距.,解,方程两边同除以5,得平面的截距式方程为,其中,例6 将平面 化为截距式方程,1直线的点向式方程与参数方程,方向向量:,向向量为,图9.21,二、直线的方程,所以由两向量平行的充要条件可知,此方程组称为直线的点向式方程（或称标准方程）,设点 为直线L上任意一点则点 在直
8、线 上的充要条件是,因为,注：当 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零,记其比值为t,则有,此式称为直线L的参数方程，t为参数,方向向量,故所求直线的方程为,上式也称为直线的两点式方程,解,解 因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量s垂直于两平面的法向量 及,例8 求过点 且平行于两平面 及 的直线方程.,所以取,因此,所求直线方程为,即,2直线的一般方程,设平面 的方程分别为：,则两个平面 的交线L的方程为,此方程称直线的一般方程,解 先求直线上的一点,不妨令,代入原方程组得,再求该直线的一个方向向量,所以可取,所以直线的点向式方程为,令上式为,可得已知直线的参数方程为,1平面与
9、平面的位置关系,两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).,法向量,三、平面、直线的位置关系,因此 与 的夹角的余弦为：,特别地,两平面的法向量分别为,所以两平面的夹角的余弦为,所以两平面夹角,解,2直线与直线的位置关系,两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).,方向向量,因此 与 的夹角的余弦为,的方向向量分别为,解,则两直线 与 的夹角的余弦为,所以两直线的夹角,3直线与平面的位置关系,直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角,设直线 与平面 的垂直线的夹角为，与 的夹角为,则.求直线与平面夹角,由两向量夹角的余弦公式,有,的方向向量为,解,与 的垂线的夹角 的余弦为
10、,因此，与 的夹角,第四节 曲面与空间曲线,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、几种常见的二次曲面,四、空间曲线,定义:如果曲面 上每一点的坐标都满足方程 而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程 为曲面 的方程,而称曲面 为此方程的图形.,图9.23,一、曲面方程的概念,图9.24,例1 建立球心在点,半径为 的球面方程.,解 设 是球面上的任一点,则,而,所以,这就是球心在点,半径为 的球面方程.,当 时,得球心在原点,半径为 的球面方程为,柱面:直线 沿定曲线 平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线 称为柱面的准线,动直线 称为柱面的母线.,例2 建立母线平行于 轴的柱面方程.
11、,图9.26,解 设准线 是 面上的一条曲线,是柱面上的任意一点.过点 的母线与 面的交点 一定在准线 上,点 的坐标为,不论点 的竖坐标 取何值,它的横坐标 和纵坐标 都满足方程,因此所求柱面方程为,在空间直角坐标系中,方程 表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面.,类似地,方程 表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面.,方程 表示以 面上的曲线为准线,母线平行于 轴的柱面.,用 面和 面去截曲面,其截痕为,它们都是双曲线.,也表示单叶双曲面,中心轴分别是 轴、轴.,旋转曲面:平面曲线 绕同一平面上定直线 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线 称为旋转轴.,二、旋转曲
12、面,例3 建立 面上一条曲线 绕 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.,又因为 在曲线 上,所以,同理,曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,例4 将 坐标面上的直线 绕 轴旋转一周,试求所得旋转曲面方程.,解 将 保持不变,换成 得,即所求旋转曲面方程为,由上时表示的曲面称为圆锥面.点 称为圆锥的顶点.,二次曲面:在空间直角坐标系中,若 是二次方程,则它的图形称为二次曲面.,截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析从而把握曲
13、面的轮廓特征,这种方法称为截痕法.,三、几种常见的曲面,1.椭球面,用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:,这些交线都是椭圆.,用平行于 面的平面 截椭球面,交线为,是平面 上的椭圆.,用平行其它两个坐标面的平面去截椭球面,分析的结果类似.,2.单叶双曲面,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,3.双叶双曲面,用 和 面截曲面,所得截线分别为,它们都是以 轴为实轴,虚轴分别为 轴和 轴的双曲线.,用平行于 面的平面 截曲面,得,当 时,其截痕是一椭圆;,当 时,其截痕缩为一点 和;,当 时,没有图形.,也表示双叶双曲面.,4.椭圆抛物面,用 和 面截曲面,所得截线分别为,它们都是开口向上的抛物线.
14、,用平面 截曲面,得,当 时,没有图形;,当 时,相交于一点;,当 时,所得截线为,5.双曲抛物面,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线.,用平行于 和 面的平面 和 截曲面,所得截线分别为,用平行于 面的平面 截曲面,所得截线为,1.空间曲线的一般方程,四、空间曲线,解(1)是球心在原点,半径为5的球面.是平行于 面的平面,它们的交线是在平面 上的圆,(2)方程 表示球心在坐标原点,半径为 的上半球面;方程 表示母线平行于 轴的圆柱面,方程组表示上半球面与圆柱面的交线.,2.空间曲线的参数方程,(为参数),例6 设空间一动点 在圆柱面 上以角速度 绕 轴旋转,同时又以线速度 沿平行于 轴的正方向上升(其中 都是常数),则动点 的轨迹叫做螺旋线,试求其参数方程.,则动点的运动方程即螺旋线的参数方程为:,如果令,以 为参数,则螺旋线的参数方程为,其中,解 取时间 为参数,设 时,动点在 处,经过时间,动点由 运动到,3.空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 的一般方程为,消去,得,称为曲线 关于 面的投影柱面.,它与 面的交线就是空间曲线在 面上的投影曲线,简称投影,其方程为,同理,分别消去 和,得到 和,则曲线 在 和 面上的投影曲线方程分别为,解 从曲线 的方程中消去 得,曲线 在 面上的投影曲线方程为,
