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1、高 阶 微 分 方 程,二阶及二阶以上的微分方程统称为,高阶微分方程。,二阶微分方程的一般形式：,主要介绍：,(1)可降阶的二阶微分方程；,(2)二阶线性微分方程；,(3)二阶欧拉（Euler）方程。,6.可降阶的高阶微分方程,一、,所以,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,例：,解：,+C1;,+C1 x+C2;,+C3.,方程中不出现未知函数 y.,解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,解此一阶微分方程，,特点：,最后得原方程通解：,的微分方程,例 题,1.,求解下列方程：,变量可分离方程,解：,P=C1 x,即,2.,解：,一阶非齐次线性
2、方程,例：,的过原点且在原点处的切,线与直线 y=2 x+1 平行的积分曲线。,解：,的特解。,为所求积分曲线。,代入方程：,可分离变量，,推广：,原方程化为：,为一阶微分方程，,例：,解：,P=C x,即,逐次积分 n 1 次。,特点：,方程右边不(明显)出现自变量 x.,解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,的微分方程,例：,解：,代入方程：,课 外 作 业,习题 11 6(A),1(单)，2(2,5),3,习题 11 6(B),1(1),2,3,7.高阶线性微分方程解的结构,未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称,n 阶线性微分方程的一般形式是：,称其为齐次线性微分方程；
3、,称其为非齐次线性微分方程。,为线性微分方程。,线性微分方程的解的结构(以二阶为例),二阶齐次线性微分方程：,二阶非齐次线性微分方程：,(1),(2),定理1：,设 y1,y2 是微分方程(1)的两个解，,也是方程(1)的解，,其中 C1,C2 为任意常数。,是否就是方程(1)的通解？,则,齐次线性微分方程解的叠加原理,如：,设 y1 是方程(1)的解，,则由定理1，,也是方程(1)的解。,但不是方程(1)的通解。,y1,y2 究竟满足什么条件，才能使其组合为,方程(1)的通解？,则 y2=2 y1也是其解，,定义：,n 个函数，如果存在 n 个不全为零的常数,使得当 x 在该区间内取值时，,
4、成立，就称这,n 个函数在区间 I 内线性相关；否则，,称线性无关。,在任何区间a,b上都是线性无关的。,例：,这三个函数在整个数轴上是,线性相关的。,定理2：,(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理),设 y1与 y2 是方程(1)的两个线性无关的特解，,则,(C1,C2 为任意常数),就是二阶齐次线性微分方程(1)的通解。,例：对,都是方程解，,特解，,定理3：,(二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理),是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个,是其所对应的齐次线性微分方程,的通解，则,方程(2)的通解。,(1),非齐次(2)通解=对应齐次(1)通解(2)特解,是非齐次线性微分,定理4：,(广义
5、迭加原理),例：,易证,任意常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的特解,是,例.,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),(89 考研),解都不是!,例.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,件,课 外 作 业,习题 11 7(A),1(单)，2,4,习题 11 7(B),3,8.常系数齐次线性微分方程,二阶线性微分方程：,齐次：,非齐次：,(1),(2),称为二阶常系数线性微分方程。,一、特征方程,求二阶常系数齐次线性微分方程,(1
6、),由(1)的特点，,用指数函数,（其中 p,q 为常数）的通解。,进行尝试，r=?,是方程(1)的解。,代入方程：,(*)称为方程(1)的特征方程。,则,得：,特点：,(*)中 r2,r,r0 的系数就是(1),一元二次方程(*)的根,微分方程,(1),特征方程,是两个不相等的实根；,是两个相等的实根；,是一对共轭复根，,二、特征方程的根与微分方程解的关系,是齐次线性微分方程(1)的解，,常数，,即 y1,y2 线性无关。由定理二，,(1)的通解：,(a)当,(b)当,y1,y2 线性相关，,另找 y2，使与 y1 线性无关。,(1)的通解：,把 y2 代入方程,得,(c)当,由欧拉公式：,
7、再由解的叠加原理，,也是(1)的解，,(1)的通解：,通解的步骤：,写出对应的特征方程：,(1),(2),(3),求出特征根：,根据下表写出方程(1)的通解：,(1),(实数),例1：,求下列微分方程的通解：,解：,特征方程：,解：,特征方程：,为通解。,为通解。,3.,为通解。,为通解。,特征方程：,特征方程：,解：,解：,4.,例2：,解：,特征方程：,为通解。,为所求特解。,推广到 n 阶常系数线性微分方程：,n 阶常系数线性微分方程的一般形式：,解法：,解此一元 n 次代数方程得 n 个根，,根据每个根的情况得到对应微分方程通解中一项 yi(i=1,2,n),写出特征方程：,例1：,解
8、：,特征方程：,例2：,解：,特征方程：,有二重单复根：,课 外 作 业,习题 11 8(A),1(2,4,6),2(1,3),习题 11 8(B),1(1,4),9、常系数非齐次线性微分方程,一般形式：,（p,q 为常数）,对应齐次微分方程：,其特征方程：,(1),(*),由非齐次(2)的通解结构知：,如何求,?,对两种常见的 f(x),利用待定系数法求,分析：,如 y*与 f(x)属同一形式函数，就能,使方程成立。,f(x)是 m 次多项式与指数函数的乘积，,推测,其中 Q(x)是待定的 x 的多项式。,(),即为 Q(x)所需满足的条件。,分三种情况讨论：,不是特征方程,的根。,要使()
9、成立，,必须 Q(x)与 Pm(x)同次，,(),是特征方程,的单根。,(),要使()成立，必须,(),(),是特征方程,的二重根。,要使()成立，必须,为求其特解，,当 不是特征方程的根时，取,当 是特征方程的单根时，取,当 是特征方程的二重根时，取,k=0;,k=1;,k=2.,例 题,例1：,求下列各方程的通解：,(1),解：,求出对应齐次微分方程的通解,求原方程的特解,不是特征方程的根，,代入原方程:,比较系数:,(2),解：,步骤：,求,求,求,得原方程通解:,特征方程：,对,不是特征方程的根，,m=0,对,是特征方程的单根，,m=0,例2.设,具有二阶连续导数,且,求函数,使下列方
10、程为全微分方程。,解：,(1),特征方程,(2),代入原方程，得：,(3),原方程的通解为：,(4),由初始条件,可求得：,例3：,解：,即求,特征方程：,对 f(x)=xe x,m=1,是特征方程的二重根，,(),通解：,通解：,解,设所求微分方程为,由题意知，,是对应的齐次方,程的解，,也是对应的齐,次方程的解，,例4：,代入齐次方程得：,代入齐次方程得：,由(1)、(2)解得：,则所求的微分方程为,所以所求的微分方程为,例5.,解：,是特征方程的单根，,代入方程，,x,为通解。,课 外 作 业,习题 11 9(A),1(3,5),2(1,3),习题 11 9(B),1(4),2(1),由
11、欧拉公式及类似前述分析，,的特解为：,当,不是特征方程的根时，,取 k=0;,当,是特征方程的根时，,取 k=1.,特征方程,可设,例1：,求下列微分方程的通解：,(1),解：,不是特征方程的根，,代入方程得,比较系数：,代入方程得,为通解。,(2),解：,对,对,是特征方程的一对单复根，,取 k=0,取 k=1,不是特征方程的根，,代入方程,例2.,且满足方程,解:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,请同学们完成求解过程.,课 外 作 业,习题 11 9(A),1(6,8),2(2),习题 11 9(B),1(1),2(2),5,10.欧拉方程,(L.Euler 17071783),瑞士数
12、学家,读读欧拉，这是我们一切人的老师。,拉普拉斯,对有些特殊的变系数线性微分方程，可以通,欧拉方程就是其中一种。,形如：,的方程称为欧拉方程。,过变量代换化成常系数线性微分方程，从而求得,其解。,当 x 0 时作变换，,同理，,解法：,(x 0 时类似讨论),引进算子：,一般：,得到以 t 为自变量的常系数线性微分方程，,求出方程通解，,回代，即得,原欧拉方程的通解。,最后用,方程变形为,例1：,的通解.,解：,为欧拉方程，,且：,特征方程：,是特征方程的重根，,例1：,的通解.,回代：,例1：,的通解.,例2：,解：,为欧拉方程。,由特征方程：,是全微分方程，,为通解。,例2：,是全微分方程，,课 外 作 业,习题 11 10(A),1(1,2),2(1),习题 11 10(B),1(1),2,
