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1、第二章 极限与连续,1,第二章 极限与连续,2.1 数列的极限,2.2 函数的极限,2.3 无穷小量与无穷大量,2.4 连续函数,第二章 极限与连续,2,一、问题的提出二、数列极限的定义三、数列极限的运算法则四、收敛数列的性质五、数列收敛的准则,2.1 数列的极限,第二章 极限与连续,3,一、问题的提出,yn 称为数列的通项.,1.数列对应于数轴上的点列(一动点在数轴上依次取值).,注:,2.数列可视作整标函数：f:nyn.,例.,第二章 极限与连续,4,庄子言“一尺之棰，日取其半，万世不竭也”,问题一:观察 当n不断增大时的变化趋势;,观察 当n不断增大时的变化趋势,文字描述：当 n 无限增
2、大时,yn 无限接近 某定数.,第二章 极限与连续,5,问题二:能否用数学语言刻画“当n无限增大,yn无限接近A”?,以 为例，,用(0)刻画 yn 与 1 的接近程度，则,对于 只要 有,对于 只要 有,对于 只要 有,概括起来，,第二章 极限与连续,6,二、数列极限的定义,1.刻画yn与A的接近程度，N刻画 n 充分大的程度；,注:,具有任意性，N的存在常依赖于.,若yn不收敛(无极限)，则称其发散.,记作,2.考察数列极限，只关心 n 充分大时数列的趋势.,了解,第二章 极限与连续,7,2),1),2.用定义只能验证极限，不能求极限.,按数列极限定义证明：,例1,第二章 极限与连续,8,
3、三、数列极限的运算法则(课本p.662.5),会应用,第二章 极限与连续,9,(上下同除以n3),注意:极限四则运算只适用于有限项运算，且各项极限存在!,(先求括号内各项之和),第二章 极限与连续,10,四、收敛数列的性质(课本p.60-62 2.2,2.3),了解,第二章 极限与连续,11,五、数列收敛的准则(课本p.712.6),夹逼准则,若数列 xn,yn,zn 满足：,则数列xn收敛，且,(可放宽至“nN”),例4 求下列极限：,会应用,第二章 极限与连续,12,单调有界准则 单调有界数列必收敛.,1.单调、有界，两条件缺一不可；,注:,2.反过来，收敛数列必有界，但未必单调!,了解,
4、第二章 极限与连续,13,2.2 函数的极限,一、x 型的函数极限二、xx0 型的函数极限三、函数极限的运算法则四、函数收敛的性质与准则五、两个重要的函数极限,第二章 极限与连续,14,一、x 型的函数极限,记作,了解,1.数列极限是其特殊情形.,注:,几何意义：,2.观察函数图象特征可以确定某些极限.如,第二章 极限与连续,15,类似可定义:,例1 2),记住结论,了解,第二章 极限与连续,16,二、xx0 型的函数极限,记作,注意:与f(x0)无关！,了解,第二章 极限与连续,17,记住结论,了解,第二章 极限与连续,18,三、函数极限的运算法则（xX:任意一类函数极限）,会应用,特别地，
5、,第二章 极限与连续,多项式函数求单点极限,只需计算函数值；,有理分式函数(分母极限不为0)求单点极限,只需计算函数值；,有理分式函数(分母0)求单点极限,约分去零因子,有理分式函数求极限，必要时除以最大方幂,例4 计算下列极限:,19,有理化去零因子,第二章 极限与连续,20,性质1（唯一性）略,四、函数收敛的性质与准则,性质4（局部保序性）,性质3（局部保号性）,(以 xx0 型函数极限为例),了解,第二章 极限与连续,21,(可放宽至“xU(X)”),例5 证明：,会应用,设,则,，且,补充(变量替换)*,会应用,例:,第二章 极限与连续,23,五、两个重要的函数极限,1.,证:,同除以
6、 sin x 得,即,而,由夹逼准则知,先证,令 u=-x，则,(如图,记结论,会用,第二章 极限与连续,24,例6 求下列极限：,1),2),3),第二章 极限与连续,25,2.,证明概要:设 n x n+1,则,再由变量替换法则，可证得,根据夹逼准则，有,记结论,会用,第二章 极限与连续,26,3),2),利用 求极限:step 1.判断是否(1+0)型极限,step 2.凑(1+1/).,2.3 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量的阶四、无穷小量等价代换,一、无穷小量,若，则称 f(x)为当xX 时的无穷小量.,注:,1.无穷小量与其极限过程有关；,2.无穷小量是函
7、数，不同于很小的数；,4.无穷小量乘以有界量仍为无穷小量.,3.为xX 时的无穷小量；,例:x2,sinx,0 是 x0 时的无穷小量；,若 f(x)在 X 某邻域内有界，则称 f(x)为xX 时的有界量.,cos x,sin x/x 是 x0 时的有界量.,二、无穷大量,注:,若，则称 f(x)为当x时的无穷大量.,1.无穷大量与其极限过程有关；,2.无穷大量是函数，不同于很大的数；,4.无穷小(非零)的倒数是无穷大,无穷大的倒数是无穷小.,例:1/x 是 x0 时无穷大量；,tan x 是 x/2 时无穷大量.,3.无穷大量是函数发散的一种情况；,了解,例1 利用无穷小量、无穷大量的性质计
8、算下列极限：,若,则称 f 是比 g 高阶的无穷小量，,定义,设,且,记作,三、无穷小量的阶,记作,例2 比较 x0 时下列各无穷小量的阶：,1)sin x 与 x,tan x 与 x；,2)与 x；,4)1-cos x 与 x2/2；,3)与 x(x0+)；,等价,同阶,等价,要记,四、无穷小量等价代换,注:1.极限式的分子/分母如果为若干因子的乘积,则对任意一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换,不改变极限值,2.等价无穷小量代换 应用于加减运算 有 条件限制.,例3 用等价无穷小量代换完成下列各题：,1),4),2),3)求,(注意:分子不可换为x-x),2.4 连续函数,一、连续函数的概
9、念二、函数的间断点三、连续函数的运算法则四、利用函数连续性求函数极限五、闭区间上连续函数的性质,一、连续函数的概念,注：,2.连续意味着“极限运算与f 可换”.,1.连续的几何意义.,在 x=0连续,若称 f 在 a,b)上连续，则端点 a 处实际只要求右连续，,定义,若 f 在 I 上的每一点都连续,则称 f 为 I 上的连续函数.,注:,对于区间 a,b 或(a,b,情况类似.,y=sin x 在 R 上连续.,二、函数的间断点,间断点分类,会分类,例2 求下列函数的间断点，并判断其类型：,三、连续函数的运算法则,强调“区间”旨在排除定义域中可能有的孤立点，,注:,例如，是初等函数，但在其
10、定义域为单点 0.,了解,四、利用函数连续性求函数极限,例3 求下列极限：,五、闭区间上连续函数的性质,y=f(x),了解,例4 证明方程 x3-4x2+1=0 在(0,1)内至少有一个根.,根的存在定理,若 f 在a,b上连续，,且f(a),f(b)异号，则至少存在,f(x0)=0.,一点 x0(a,b),使得,1.图像观察,函数极限的计算方法,2.按定义验证,3.四则运算（拆分后各部分极限应存在）,4.夹逼准则,5.两个重要极限及其应用,6.无穷小、无穷大的性质,7.无穷小等价代换,8.f 在连续点 x0 处的极限为 f(x0),9.多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位,10.变量替换,1.幂指函数,几种特殊函数的极限计算,2.分段函数（求单侧极限）,3.有理函数,遗留的问题,1)单点极限，能代入单点的直接求单点函数值,2)型极限，分子分母同除以最大方幂,0/0型、/型、型函数极限,
