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1、1 函数极限概念 2由_提供更多PPT下载 3 函数极限存在的条件 4 两个重要极限 5 无穷小量与无穷大量,第三章 函数极限,第三章 函数极限,1 函数极限概念,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义：,2、另
2、两种情形:,3、几何解释:,例1,证,二、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义：,2、几何解释:,注意：,例2,证,例3,证,例3,证,函数在点x=1处没有定义.,例4,证,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例5,证,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,一、填空题:,练 习 题,(1),自变量趋于有限值时函数的极限;,作业,3.小结,(2),自变量趋于无穷大时函数的极限;,(3),函数极限的几何意义;,(4),单侧极限的概念;,(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法;,P47:1,3,4,5,6,7.
3、,第三章 函数极限,2 函数极限的性质,如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界,证明,函数极限的性质,1.局部有界性,如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的,证明,2.唯一性,如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数r0(或f(x)-r 0),证明,推论,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且 f(x)A(xx0)那么A0(或A0),3.局部保号性,证明,4.保不等式性,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且li
4、m f(x)A,证明,5.迫敛性,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则limcf(x)=climf(x),推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则limf(x)n=limf(x)n,如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,6.极限的四则运算法则,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,7函数极限与数列极限的关系,如果当xx0时f(x)的极限存在 xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足xn x0(nN)那么相应的函数值数列f(xn)必收敛 且,8.子
5、列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,证,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,例7,证,二者不相等,求极限举例,讨论,提示,例1,解,例2,解,解,例3,解,例4,根据无穷大与无穷小的关系得,因为,讨论,提示,当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0),先用x3去除分子及分母 然后取极限,解,先用x3去除分子及分母 然后取极限,例5,解:,例6,讨论,提示,例7,解,所以,解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用,例8,是无穷小与有界函数的乘积,(1),唯一性;,作业,小结,(2)
6、,局部有界性;,(3),局部保号性;,(4),保不等式性;,(5),迫敛性;,P47:1,2,3,5,6,7,8,9.,(6),四则运算法则;,(7),函数极限与数列极限的关系;,(8),复合函数的四则运算法则.,第三章 函数极限,3 函数极限存在的条件,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),第三章 函数极限,4 两个重要极限,二、两个重要极限,(1),注:,这是因为 令u=a(x)则u0 于是,
7、第一个重要极限,例1,解,解,例2,例3,注：在上例中，应用公式（141）时，我们使用了代 换,在运算熟练后可不必代换，直接计算：,例4.求极限:,例5.求极限:,练习1.求下列极限:,二.关于极限,用e表示该数,e是无理数。,e=2.718281828,注意：,2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。,1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为 型,定义,第二个重要极限,类似地,例6,求极限,解：,例7,解：,例8,解：,例9,解,例10,解,练习2.求下列极限:,练习,小结：,作业:,P58:1(1)(10),2(1)(6),3,4(1)(2).,三、
8、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则;单调有界准则.,思考题,求极限,思考题解答,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,第三章 函数极限,5 无穷小量与无穷大量,则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo,x的极限符号“lim”表示任一极限过程).,定义1.若lim f(x)=0,一、无穷小,一、无穷小,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,注2：无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量,小量,但,如sinx是x0时的无穷,注3：由于limC=C(常数),注4：0是任何极限过程的无穷小量
9、.,所以,除0外的任何常数不是无穷小量.,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,二、无穷大量,定义2：若 0(无论多么大),记作：,0(或X0),当0X)时，有|
10、f(x)|M,则称f(x)是x x0(或x)时的无穷大量.,若以“f(x)M”代替定义中的“|f(x)|M”,就得到正无穷大量的定义.,若以“f(x)M”,就得到负无穷大量的定义.,分别记作：,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,例2:试从函数图形判断下列极限.,解：(1),x,y,y=tgx,x,y,(2),x,x,y,y,x+,x,注1：若在定义2中，将“f(x)”换成“xn”,注2：若lim f(x)=,将“X”换成“N”,将“x”换成,就得到数列xn为无穷大量
11、定义.,“n”,则表示在该极限过程中f(x)的极限不存在.,0,X0,当|x|X 时,有|f(x)|M,注3：不能脱离极限过程谈无穷大量.,注4：无穷大量一定是无界量,任何常量都不是无穷大量.,但无界量不一定是无穷大量.,说明0,x0(,+)，使得|x0sinx0|M即可.,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,证明,设及是当xx0时的两个无穷小,则 0,10,当0|xx0|1 时 有|,20,当0|xx0|2 时 有|,取 min1 2,则当0|xx0|时 有,这说明
12、也是当xx0时的无穷小,|2,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,仅就两个xx0时的无穷小情形证明,举例:,当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小,四、无穷小的性质,设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M,又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有|取min1 2 则当0|xx0|时 有|u|u|M 这说明u 也是当xx0时的无穷小,证明,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,四、无穷小的性质,举例:,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,定理
13、2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小,四、无穷小的性质,五、无穷小的比较,观察两个无穷小比值的极限,观察与比较,两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿,无穷小的阶,设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小,阶的比较举例,所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0),所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小,例2,例3,例1,所以当x0时 1-cos
14、x 是关于x 的二阶无穷小,所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0),例4,例5,阶的比较举例,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,必要性:,证明,所以b a=o(a),因为,设ab,只需证b a=o(a),充分性:,设b=a+o(a)则,因此ab,所以当x0时 有,sin x=x+o(x),tan x=xo(x),例6,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,证明,求两个无穷小比值的极
15、限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化,定理2的意义:,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以,解 当x0时sin xx 无穷小x3+3x与它本身显然是等价的 所以,例7,例8,六、小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3）无界变量未必是无穷大.,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,作业,P66:1,2,3,5,6.,
