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1、1,7-2 多元函数的概念、极限和连续,2,复 习,1.平面区域,邻域、内点、外点、边界点、开集、开区域、,闭区域、有界区域、无界区域等,2.多元函数概念,二元函数,(图形一般为空间曲面),3.将区域表示为不等式,(1),X型区域,(2),Y型区域,3,第七章,第二节,多元函数的基本概念,三、二元函数的极限,四、二元函数的连续性,一、平面区域,二、多元函数的概念,4,回忆一元函数:,描述性定义：,于一个确定的常数A，,如何定义二元函数,时的极限？,三、二元函数的极限,5,三、二元函数的极限,对于二元函数,是定义域D内的点,当 时,，对应的函数值 无限接近,于一个确定的常数A，,则称A为 时，函
2、数,的极限,记为：,表示点P以任何方式趋于点,也就是 的距离,也就是,1.二元函数极限的定义,注意：,6,2.二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系,（1）共同点,定义方式相同.,所以函数极限的性质仍成立，,如惟一性、保号性、局部有界性、夹逼准则、,法则等.,四则运算,在点 是否有定义并不影响极限是否存在,当(x,y)(0,0)时,求函数 的极限。,例1,解,7,（2）不同点,二元函数极限,的方式（路径）不同,一元函数 的方式有两种，故有,的方式是任意的，有无数个.,一元函数的极限,沿任何路径 时极限存在且相等,8,反之,函数趋于不同的值，,则可判定函数的极限不存在.,确定极限不存在的方法
3、：,(1)令P(x,y)沿y=kx趋向于,若极限值与k有关，,则可断言极限不存在；,(2)找两种不同趋近方式，,但两者不相等，,此时也可断言f(x,y),二元函数极限,极限存在.,也不能断定函数的,或有的极限不存在，,9,解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,例2.讨论函数,10,例3 考察函数,在原点的二重极限.,线 趋于 时,11,(1)为了区分一元函数的极限,称二元函数的极限,叫二重极限.,说明：,称为累次极限,又叫二次极限.,(3)累次极限的求法:,先求内层,再求外层.,二重极限 的求法
4、无先后次序,（4）二重极限,不同.,与累次极限,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,如果它们都存在,则三者相等.,同时求.而且,12,例如,显然,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.,（3）联系,由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.,所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概,念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价,无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.,但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用于多元函数极限,13,解,例4,求极限,例5,求,解,时,14,例6 求极限,解,其中,15,四、二元函数的连续性
5、,回忆一元函数:,(1)函数,在点 处有定义,如果,存在；,如何定义二元函数,处的连续性？,16,四、二元函数的连续性,1.定义,设函数z=f(x，y)的定义域为D，点,若,二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,必须满足三个条件:函数在点P0有定义;函数在P0处的极限存在;函数在P0处的极限与P0处的函数值相等.,17,如果f(x,y)在平面区域D内每一点处都连续,则称f(x,y)在区域D内连续,也称f(x,y)是D内的连续函数.在区域D上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面.,18,例7 讨论函数,在原点处的连续性.,解,又,所以,由定义知:所给函数在原点处连
6、续.,由例6,19,例8.证明,在(0,0)处连续.,证:,因为,故函数在(0,0)处连续.,由夹逼准则得,20,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,说明:,二元函数的间断点不一定是孤立的,可以连成,一条线.,2.间断点：,21,3、有界闭区域上二元连续函数的性质,性质2(最值定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必取得最大值与最小值.,性质1(有界性定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上有界.,性质3(介值定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续,M和m分别是f(x,y)在D上的最大值与
7、最小值,则对于介于M与m之间的任意一个数C,必存在一点(x0,y0)D,使得f(x0,y0)=C.,22,4.多元初等函数：,定理,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,如：,式子所表示的多元函数，,有限次的四则运算和复合步骤所构成的,由常数及两个以上变量的基本初,叫多元初等函数.,等函数经过,可用一个,5.多元函数连续性的应用-求极限,如果f(P)是初等函数，,定义域的内点，,于是：,23,解,例9,求,原式=,例10,求,解,函数,是二元初等函数，,24,例11 求函数,的连续域.,解,所求定义域为:,即为所求的连续域,25,1.二元函数的极限,2.二元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,内容小结,应多与一元函数的极限，连续作比较.,要求：（1）会确定极限不存在（2）会求简单的二元函数的极限,26,作业：P288,5(1)(4)(6),8,预习：从284到288页,
