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,有界闭区域,无界开区域,二元函数的极限,注意：二元函数中,有,二元函数的极限定义1:设二元函数 f(x,y)=f(M)在点 M0(x0,y0)某邻域内有,应用：例1 使用定义2 例2 使用定义1,结论成立,两者差异如下：,一维：,比较：,“途径”无穷多,直线上,平面上,确定极限不存在的方法*：,注意：,取,例7 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,二元函数的极限运算法则与基本性质,定理1,注意：运算法则成立的前提条件：极限存在,结论：在极限点附近邻域函数满足某不等式关系，则函数极限也满足此关系,例8,求,解,由基本不等式,知,由夹逼定理，,二元函数的复合：,二元复合函数的极限,注意：求复合函数极限的方法,定理4,注意：求复合函数极限的方法,定理5,例9 求极限,解,其中,定理4应用：,例10：求,解：记,定理5应用：,例11 求证,证,原结论成立,例12,解,累次极限,实质：累次极限是沿着x轴方向和y轴方向取极限,全面极限,累次极限存在且相等,注意：1.在求全面极限的过程中不能用累次极限代替2.若两个累次极限不相等，则全面极限不存在,
