多元函数微分法及其应用(IV).ppt

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1、高 等 数 学（二）,广东水利电力职业技术学院 数学教学部张静华,高等数学（二）,第九章 多元函数微分法及其应用,第十章 二重积分,第十章 三重积分,第十一章 曲线积分,第十二章 无穷级数,第十一章 曲面积分,目录,第一节 多元函数基本的概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第九章 多元函数微分法及其应用,第八节 多元函数的极值及其求法,区域通常可用含有点的坐标 的,一、多元函数的概念,第一节 多元函数的基本概念,平面区域,所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成,围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。,包含边,界的区域称

2、为闭区域；,一片的图形。,所分边界的区域称为半开区域。,在平面上建立了直角坐标系后，,一个或几个不等式来表示。,x,y,o,开区域（开圆）,例如：,不包含边界的区域称为开区域；,只包含部,x,y,o,闭区域（闭圆）,x,y,o,开区域,例1,对于区域 D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆,使 D 全部包含在这圆内，则称 D 为有界区域，否则称为无界区,x,y,o,半开区域,例2,域。,。,邻域,设,是 xOy 平面上的一点，,是某一正数，与点,的距,离小于,的点,所成的集合，称为点,的,邻域，记作,在几何上，,是 xOy 平面上以点,为圆心，,为,半径的圆内的点所成的集合。,x,0,y,

3、x,0,y,二元函数的概念,定义：设 D 是 x O y 面上的一个点集，对任意的点,，,变量 z 按照某个对应关系 f 总有唯一确定的数值与之对应，则称 z,是 x，y 的二元函数，记为,称 x，y 为自变量，z 为因变量，点集 D 称为该函数的定义域，数,集,称为该函数的值域。,函数,在点,处的函数值，记为,，,，,二元函数定义域的求法,二元函数的两个要素：定义域和对应关系。,对由解析式给出的函数,，它的定义域是使函数表,达式有意义的点,的全体，可用不等式或不等式组表示；,对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它,的范围。,例1：求下列函数的定义域并用图形表示,解：要使该函数的

4、表达式有意义，必须有,，即,故所求函数的定义域是,x,y,o,2,例1（1）,解：要使该函数的表达式有意义，必须有,x,y,o,1,2,1,2,例1（2）,，即,解：定义域为,x,y,o,例1（3）,例2：,二元函数,，则,；,若,，则,.,例3：设,，求,解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对 f,中的表达式作变量替换。,令,，则,从而,，所以,例4：,设,，求,解：首先应 求出函 数 表 达 式,求 函 数 表 达 的另一个,常用的方法 是 将等 号 右 边的表 达 式 用 f 中的 表 达 式,来,表示。,则,二元函数的几何意义,设二元函数,的定义域为 D，对,，空间中的点,

5、构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为,函数,的图象。,x,y,z,0,x,y,M,D,二、二元函数的极限,定义：,在点,的某一去心邻域内,有定义，,是该邻域内的任意一点，,沿任,意路径无限趋近于点,时，,无限地趋近于,一个确定的常数 A，,时，函数,以 A 为极限，记为,或,注意：定义中的点,时，是指点 P 可,以沿任何方向、任何途径无限地趋近于,，而一元函数极限中的,是指 x 沿 x 轴无限趋近于,；,如果点 P 只取 某 些 特殊方式，函数 值逼 近 某 一 确定值，,并不能断定函数的极限一定存在；而当点 P 沿不同方式趋于点,时，函数值逼近不同的值，则极限,不存在。,设函数,如果当

6、点,相应的函数值,则称当,例5：讨论二元函数,当,时的极限。,解：,由于,例5,练习：问 是否存在？,练习,解：因为,所以 不存在。,念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的,有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概,叙述，仅在后面举例说明。,说明,三、二元函数的连续性,定义：设二元函数,在点,的某一邻域内,有定义，如果,则称函数,在点,连续。,如果二元函数,在区域 D 上的每一点都连续，则称,函数,在 D 上连续。,区域 D 上连续的二元函数的图象,是一张不间断、无裂缝的曲面。,二元函数连续函数的性质,如果二元函数,在有界闭区域 D 上连续，则该函,数在 D 上一定能取到最大

7、值和最小值。,由常数、x 或 y 的基本初等函数，经过有限次的四则运算,和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。,二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。,四、求二元函数极限的常用方法：例6,利用二元初等函数的连续性,例6：求,解：函数 是初等函数，它的定义域是 R2，,根据初等函数的连续性知，函数在点 处连续，因此,通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限,例7：求,原式,例8：求,解：,解：,，原式,例7、8,例9：求,解：原式,例9,若事先已肯定,在点 P0 处极限存在，则可使,P 沿一殊途径趋于 P0 而求出其极限。,例10：,（A）e（B）0（C）y（D）1,

8、解：原式,例10,第二节 偏导数,一、偏导数的概念及其计算,偏导数的定义,设函数,在点,的某邻域内有定义，,得到一个一元函数,.若自变量 x 有增量,，相应地函,数 z 有关于 x 的增量（称为偏增量）,如果,存在，,在点,处对 x 的偏导数，,或,等四式中的某一式。,固定,则称此极限值为函数,记作,偏导数的定义,同理，函数,在点,处对 y 的偏导数定义为,记作,或,偏导数的定义（续1）,如果函数,在区域 D 内每一点,处对 x 的偏导数,都存在，那么这样的偏导数是 x、y 的函数，称为函数,对自变量 x 的偏导函数（简称偏导数），记作,或,类似地可以定义函数,对自变量 y 的偏导数，记作,或

9、,显然，,偏导数的定义（续2）,例1：设 求,例1,解：,练习（2011专插本）设 则,练习,A.-1 B.0 C.1 D.2,解：,偏导数的求法,由偏导数的定义可知，求二元函数,的偏导数，并,不需要新的方法。对二元函数,的某一个自变量（如 x）求,偏导数时，只要把另一个自变量（如 y）看作常数，而对该自变,量 x 用一元函数的求导方法求得结果。,偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。,例2：求函数,在点,处的偏导数。,解：因为,所以,例2,例3：,设,，求,分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将,该点的坐标代入，即求出偏导函数在该点的函数值。,数在一点的偏导数定义，求

10、,，可以 先 把 y 的 值 代 入求得,，然后求,关于 x 在,处的导数。,解：,，则,所以,此外，由函,例4：求函数,在点,处的偏导数。,解：因为,例4,所以,因为,所以,例5：求下列函数的偏导数.,解：,u,例5（1）,解：,例5（2）,解法一：,例5（3）解法一,解法二：,例5（3）解法二,解：,例5（4）,解：由，得,例5（5）,例6：设 满足,分析：实质上这是一元函数的积分问题。当 y 任意给定时，求,例6,求,就是 x 的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有,y 的任意函数，要由 定出这个任意函数。,解：将等式 两边对 x 求积分，得,例6（续）,其中 为待定函数。,由 式，

11、得,故,因此，,例7：理想气体的状态方程为 P V=R T，其中 R 为常数，求证：,证：,由状态方程可得,从而,故,注意：对 一元 函数 来说，,既可看作导数 的整 体记号，也可理,解为“微商”。但对二元函数而言，,则只能看成整体,记号，不能理解为,之商。,例7,偏导数存在与函数连续性,对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。,例如，函数,在点,处两个偏导数均存在，,事实上,（见7.1 例5）,偏导数存在与函数连续性（续）,又如，函数,在点,处是连续的（圆锥、无,裂缝），,的偏导数不存在。,但在点,x,o,y,z,偏导数的几何意义,x,o,y,z,y0,x0,设曲面的方程为，,M0,是

12、该曲面上的一,点，过点 M0作平面，截,此平面得一条曲线，其方程 为,则偏导数 表示上述,曲线在点 M0 处的切线 M0Tx 对,x 轴正向的斜率。同理，偏导,数 就是曲面被平面 所截得的曲线在点 M0 处的,的切线 M0Ty 对 y 轴正向的斜率。,Tx,.,Ty,例8,例8：求曲线 在点 处的切线与 x 轴,正向所成的倾角。,解：所给的曲线是曲面 与平面 的交线，,所以,根据偏导数的几何意义，该曲线在点 处的切线关于,x 轴的斜率为,二、高阶偏导数,在区域 D 内具有偏导数,那么，在 D 内,都是 x、y 的函数。,个函数的偏导数也 存在，则称它们是函数,的二阶偏,、,设函数,如果这两,导

13、数。,对不同自变量的二阶偏导数，称为二阶混合偏导数。,二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：,二元函数二阶偏导数的记号,类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、,四阶直至 n 阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称,为高阶偏导数。,二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三,元以上的函数。,高阶偏导数,例9：求函数 的二阶偏导数。,解：因为,例9,所以,例10：求函数 的二阶偏导数。,解：因为,例10,所以,定理,从上例的解中可以看到，函数 的两个混合,偏导数、虽然对 x 和 y 的求导次序不同，但它们,是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数 是,否也具有这个性质？

14、若不是，那么，在什么条件下，它的两个,混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。,定理：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。,对初等函 数 的 混 合偏导数 而言，一 般 都 是 连续的，这是,就与求导次序无关，因此有,练习：,练习,解：,设,设,练习（续）,解：,设,第三节 全微分,一、全微分的概念（全增量）,二元函数的全增量,设,，记,，称为二元,函数,的全增量。,x：,x,y：,y,z：,设函数 在点 的某个邻域内有定义，且,称函数 在 处可微，并称 为,全微分的定义,、存在。如果,函数 在点 处的全微分，记为，即,全微分的定义,，则,由于 x、y 都是自变量，所以,则,如果函数

15、,在区域 D 内每一点处都可微，则称该函,数在区域 D 内可微。,二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数,如：若,存在全微分，则有,全微分的概念（续）,例1：求函数 的全微分。,解：因为,例1,故所求的全微分,例2,例2：求函数 在点 处的全微分。,解：因为,所以，,故所求全微分,例3,例3：设，求,解：令,，则,从而,即,由,，得,，从而,例3（续）,由,，得,所以，,例4,例4：已知，求,解：,例5：求函数 在点 处，当,时的全增量及全微分的值.,解：全增量,x：2 2.02,y：-1-1.01,z：f(2,-1)f(2.02,-1.01),例5,全微分,误差,二、可微、可导

16、、连续的相互关系,在点,连续,在点,可微,在点,连续,在点,处,均存在,关于二元函数的可微性有如下结果：,设函数,，则,（证明略）,例6,例6：考察函数 在点 处偏导数是否,存在？是否可微？,解：因为,所以，,同理，,即 在点 处的两个偏导数存在。,而,因为,所以函数 在点 处不可微。,例6（续）,的偏导数在 的邻域内均存在，但在 处它的偏导数,练习,练习：试证函数,不连续，而函数 却在 处可微。,第四节 多元复合函数与隐函数的微分法,定理：设函数,复合而,，其复合关系图如下：,若,都在点,具有对 的偏导数，,在对应点,具有连续偏导数，,函数,点,的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：,得复合

17、函数,一、多元复合函数的求导法则,则复合函数 在,一、多元复合函数求导法则,设,，则,是 x 的一元函数。,则,其复合关系图如下：,多元复合函数求导法则（续1）,设由,得复合函数,其复合关系图如下：,则,多元复合函数求导法则（续2）,例1：设,解：,例1,例2：设,解：,例2,例3：设,解：,例3,例4：设函数,解：,例4,例5：设,解：令,，则,例5,例6：设,解：,例6,例7：设，且 f 和 g 具有一阶连续偏导,例7,数，求,解：,例8（2012广东专插本）设函数 f(u)可微，且，则,例8,在点 处的全微分.,解：令,，则,例9：设,，其中,为可导函数，证明：,证：令,，则,例9,例9

18、（续）,则,练习：设,，其中,为可导函数，求,证：令,，则,练习1,例10：设，f 具有二阶连续偏导数，求,和,解：令，,，则,其中，仍是含有中间变量 u 和,例10,其中，仍是含有中间变量 u 和,v 的复合函数。其复合关系图：,将上式两边对 x 求偏导，并应用四则运算求导法则，得,例10（续1）,例10（续2）,类似地可得,例10（续3）,练习 设,解：令,则,练习2,练习2（续1）,练习2（续2）,定一个可导隐函数，则一元隐函数的求导公式为：,二、隐函数的求导公式,1、由方程 所确定的隐函数 的求导公式,设函数 可微，由方程 确,一元隐函数求导公式的证明,事实上，在方程 的两边对 x 求

19、全导数，得,由于,，则由上式可解出,，即,设函数,，则一元隐函数的求导公式为：,确定一个可导隐函数,例1：设,解：令,，则,从而,可微，,，由方程,例1,例2：设 具有连续的偏导数，又函数 及,分析：复合关系图,例2,分别由 和 确定，求,解：首先,（）,下面分别求 和,例2（续）,由 两边对 x 求导，得,又由 两边对 x 求导，得,把、代入（）式，得,设函数 可微，由方程,确 定 一 个可求偏 导数 的 二 元 隐函数，则,二元隐函数求导公式,2、由方程 所确定的二元隐函数,的求导公式,例3：设,解：令,，则,例3,由方程 确定了函数，则,例4（2011广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本

20、科）,例4,解：,例5：设 有连续偏导数，且 由方程,例5,所确定，求,分析：复合关系图,所以，,又,下面求 和,例5（续1）,设,，则,从而,则,所以,例5（续2）,第七节 多元函数的极值和最值,一、多元函数的极值,在点,的某邻域内有定义，,对该邻域内异于,的任意一点,，都有,则称,为函数,的极大（小）值，称点,为函,数,的 极大（小）值 点。函 数的 极大值、极小值 统称为函,数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点。,定义：设函数,定理 1（必要条件）设函数 在点 处,具有偏导数，且在点 处有极值，则在该点的偏导数,必为零，即,定理1,使二元函数的两个一阶偏导数同时为零的点叫

21、做该函数的,驻点。即若点 为函数 的驻点，则,定理 2（充分条件）设,为函数,的驻点，,且在点,的某邻域内，,具有二阶连续偏导数，,若令,，则,时，函数,有极值，且,时，有极大值，,时，有极小值；,时，函数,没有极值；,时，函数可能有极值，也可能没有极值。,定理2,例1：求函数 的极值。,解：,由,得驻点,因为在点 处：,所以，函数在点 处没有极值。,例1,由 又知，函数在点 处有极大值，极大值为,因为在点 处：,所以，函数在点 处有极值，且,例1（续）,二、多元函数的最值,在第一节中已经知道，有界闭区域上的二元连续函数一定有最大,值和最小值，,在闭区域的边界上取得。,区域内部的点取得，,得，

22、,域 D 上的最值的方法是：,函数在 D 的边界上的最大值和最小值；,最大（小）者就是二元函数在 D 上的最大（小）值。,道函数,的最大值（最小值）一定在 D 的内部取得，,在 D 内只有一个驻点，,在 D 上的最大值（最小值）。,法由于要求出,在 D 的边界上的最大值和最小值，所以往往,相当复杂。,在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知,其最大值和最小值可能在闭区域内部取得，也可能,如果二元可微函数的最大值和最小值在,则该点必是函数的驻点；,如果是在边界上取,它一定也是边界上的最值点。,因此，求二元函数在有界闭区,首先求出函数在 D 内各驻点的函数值及,其次比较这些值的大小，,但是这

23、种做,而函数,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数,例 2：要 造 一 个容 积 为 3 2 m3 的无盖长方体水池，应该如何设计,水池的尺寸，才能使水池的表面积最小。,解 设长方体水池的长、宽、高分别为 x、y、z，,依题意，有,故,所以，无盖长方体水池的表面积为,例2,无盖长方体水池的表面积为,令,解得,从而,例2（续）,根据题意可知，容积为 32 m3 的无盖长方体水池的表面积的,最小值一定存在。又函数在开区域 D：,内只有唯一,的驻点,，因此可断定当,时，A 取得最小值，,就是说，当水池的长为 4 m，宽为 4 m，高为 2 m 时，水池的表,面积最小。,例 3：在曲面,上求一点，使它到,原点的距离最短。,解：设点 P(x,y,z)，它到原点的距离为 d，则,又,，所以,令,，得驻点(0,0)（唯一）,，从而 z=1,依 题 意知，曲面上 必 存 在 到 原点 距离最 近的点，,或,故 所求 的点为,例3,结束,知，如果函数 在点 可微分，那么 这函数在该,证明可微必连续,在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都,存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由全微分的定义可,点必定连续。,，从而,，可,得,因此函数 在点 处连续。,事实上，由,