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1、,第八章,第三节,二元函数的极限与连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一.二元函数的极限,二.二元函数的连续,本节的教学要求,理解二元函数极限和连续的概念了解二元函数极限与连续和一元函数相关概念与性质的异同,重点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(一)二元函数的极限,定义8.3,也用邻域来定义极限.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数用两点间的距离,的邻域,点,来定义,用邻域定义了极限.,来定义,如果对于任意给定的正数,总存在一个正,数,使当,时,恒成立,则称当(x,y)趋于,时,函数,以A为极限,记作,或,一元函数用,点x0的邻域,或,例1,证:,机动 目录 上页 下页
2、返回 结束,所以当,因,恒成立,于是,只要取,又,当,证明,时,时,因此,例2 设,求证：,证:,故,总有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,要使,注意:,是以任意方式的,“趋近”方式比一元函数时复杂得多!,二元函数的,因,当,时,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,限不存在.,例3 讨论函数,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,时,当(x,y)沿y=k x 趋于(0,0)点时,可见,以不同方式趋近(0,0)函数
3、趋于不同数值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 讨论,是否存在.,解:,而当(x,y)沿y=k x2 趋于(0,0)点时,说明极限不存在.,一元函数极限存在的充分必要条件:,(1)极限的四则运算法则仍适用.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,(3)无穷小量的运算法则仍适用,(4)无穷小量的阶的概念仍适用,“左极限=右极限”,不再适用!,对于二元函数,(2)极限的复合运算法则仍适用.,(二)二元函数的连续性,(1)在点,则称函数,的间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设二元函数,满足条件:,的某邻域内有定义;,是函数,在点,否则称点,(2)极限,存在;,(3),
4、处连续,如果函数,在平面区域D内的每一点都连续,则称函数,在区域D内连续.,定义8.4,由定义8.4知函数,在点(0,0)的连续性.,在(0,0)点不连续.,在点(0,0)处极限不存在.,例5 讨论函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,例3已证,例6 求函数,上的所有点均为,故圆周,的间断点.,解:,由,知满足,的(x,y)使函,数无定义,函数的间断点.,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的连续域.,解:,求函数,(1)连续的四则运算法则；,(2)连续函数的复合运算法则；,对于二元函数,(4)“连续必定有极限”.,一元函数的下列法则仍成立：,(3)初等函数在其定义域中连续；,为初等函数.,其定义域,为连续域.,有界闭区域上二元连续函数的性质:,在有界闭区域D上连续,(2),(3)设,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),则在任意的,必存在点,则,在D上必定有界.,在D上的最小值和最大值分别为m和M,如果,在D上必取得最大值和最小值.,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有,1.多元函数的极限,2.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界性定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在其定义区域内连续,
