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1、中级微观经济学Intermediate microeconomics,Lecture 7不确定性Uncertain,內容,风险与不确定性不确定下的选择公理不确定下的决策问题：期望效用最大化效用函数与风险态度确定性等值与风险帖水保险,不确定性 vs.风险,许多个人决策中都面临未来所处状况不确定性的情况：是否会下雨？出门是否带伞？农产品价格是否足够好？如何按照农业生产？政府对房市宏观调控后，房价走势如何？如何进行购房决策？,不确定性 vs.风险,不确定的事件（uncertain event）指该事件的结果不只一种（例如明天天气降雨概率为90%），或对未来结果的预测（或预期）不是百分百准确（例如明天
2、温度为16-20度）。因此，不确定事件的结果具有随机性特性。,不确定性 vs.风险,各结果的概率分布若可经由客观事实或实证资料而得到，并据以做为决策的基础，即视该事件为具有“风险”的事件；否则为具有“不确定性”的事件（Knight,1933.Risk,Uncertainty and Profit）。,不确定性 vs.风险,在许多情况下，虽无客观概率，但决策决策者仍可能就有关结果的概率分布，根据其经验累积而做出主观的判断。此主观概率分布形成后，其决策问题将与Knight所认同的风险决策无所差异。因此有些学者将“不确定性”与“风险”等同视之。,不确定性 vs.风险,但有些学者还是主张加以区分，这是
3、因为：根据主观意识所形成的概率分布未必完全正确，形成概率的信息质量亦有所区别；不确定性的程度虽无法预测，但个人对于风险的程度，可赋予不同的高低顺序，而排列顺序不仅取决于风险的程度，而且与个人的风险态度有关。,不确定性 vs.风险,Robinson and Barry（1987）认为：如果不确定事件的结果会改变个人的福利，则称该事件为具有风险性的事件。简言之，不具风险的不确定事件，并不影响决策，故非我们关注的重点。现在主流的方法中,不确定性被定义为一个结果发生的概率小于1,而风险则度量的是不确定性程度。,不确定性 vs.风险,风险度：衡量风险的程度以及从风险活动中盈利的概率。描述并量化风险的方式
4、：（1）概率：频率、主观概率、概率分布（2）期望值：表示事件重复发生情况下的平均值；（3）方差与标准差：方差是观察结果与期望值之间的平方的概率加权平均值。标准差是方差的平方根。,不确定条件下的选择问题,赌博问题：考虑掷铜板论输赢的三种赌博如下：（铜板出现正、反面的概率各为0.5）,问题：你是否愿意参与赌博？如果愿意，你参加哪一种?,不确定条件下的选择问题,决策准则：预算限制？宗教信仰？行为规范？所得的期望值所得效用的期望值,按所得期望值法则决策,个人在第 i 种状态下所能获得的收入（或财富）为 wi（i=1,2,n），而发生的概率为 i（1+2+n=1），则所得的期望值为：E(w)=1w1+2
5、w2+nwn Game1:E(w)=0.5(100)+0.5(0.5)=49.75 Game2:E(w)=0.5(200)+0.5(100)=50 Game3:E(w)=0.5(20000)+0.5(10000)=5000,问题：“按所得期望值的多寡来做选择”是不是一个适当的决策准则？,示例：残酷的慈善家,示例：圣彼得堡悖论,假设某人面对下列两个赌局：赌局1是100%概率得到100美元，0概率什么也得不到，也就是说他能得到100美元确定支付；赌局2是50%的概率得到200美元，50%的概率什么也得不到。由于此人愿意支付100美元来购买平均价值正好是100美元的商品，那么他愿意支付100美元来参
6、加赌局2。,示例：圣彼得堡悖论,我们用“公平赌局”来描述个体要参加赌局必须支付与该赌局的期望货币值相同的赌局。如果在不确定条件下人们确实用期望货币值最大化来主导自己的行为，那么他们会接受任意的“公平赌局”。,示例：圣彼得堡悖论,丹尼尔伯努利主持了下面的游戏来证明人们不是期望货币值最大化者。假设我们抛硬币直到正面朝上的时候才停止游戏。每次抛掷，硬币都有50:50的概率是正面朝上的。支付规则：如果第1次就抛掷正面朝上，支付2美元；如果第2次抛掷正面朝上，支付22美元；如果第3次抛掷正面朝上，支付23美元；以此类推。,示例：圣彼得堡悖论,由于每次抛掷之间都是相互独立的，因此第1次抛掷正面朝上的概率是
7、1/2，到第2次抛掷正面朝上的概率是（1/2）2，到第3次抛掷正面朝上的概率是（1/2）3，以此类推。赌局的期望货币值：,示例：圣彼得堡悖论,如果某个人是期望货币值最大化者，那么他将愿意支付无穷大的货币数量来参加这个赌局游戏。但是在现实中。人们往往不会愿意支付无穷大数量的游戏来参加一个只能以很小概率得到一大笔报酬的赌局。,不确定条件下的选择公理,基本概念：（1）单赌：设事件结果会有n种可能,记为可能的结果集,则记Gs为关于A的单赌集合,Gs可以定义为:,不确定条件下的选择公理,示例:以掷硬币方式打赌,若币面出现,则赢一元;拖币背出现,则输一元,则A=(1,-1),p1=p2=1/2.该赌局记为
8、:,不确定条件下的选择公理,（2）合赌：凡彩票本身又成为赌博本身的赌博称为合赌。,不确定条件下的选择公理,公理：完备性：对于任何两种简易彩券A与B而言，决策者偏好A或偏好B，或对A与B无偏好差异。转移性：若 且，则连续性：若，则存在一个概率P,0P1，使得P(A)+(1-P)CB.连续性公理表明，差异很大的两个不确定结果的某种加权结果，会等同于某个确定的中间结果.,不确定条件下的选择公理,公理：独立性：,含义：把两个赌局分别和第三个赌局混合，对复赌的 偏好排序独立于所选择的第三个赌局。,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,在不确定环境里，个人的偏好顺序是否可以用一个效用函数来表示？个人的效
9、用函数型态如何？如何推导？预期效用假说是否足以合理解解释人在不确定条件下的决策行为？,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,期望效用假设：在面对风险时，人们会将可能支付转换为效用，然后选择支付带来的期望效用最高的赌局。,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,定义：对于一个单赌gs=(p1a1,p2a2,.pnan),如果称u(gs)为关于单赌gs的期望效用函数，又称VNM效用函数（冯诺依曼摩根斯坦效用函数）,假设原有所得为10,000，所得的效用函数为 U(w)=w1/2，则U(10,000)=100。参赌后的预期效用如下：,Game 1:EU(w)=0.5(10000+100)1/2+0
10、.5(100000.5)1/2=100.248 Game 2:EU(w)=0.5(10000+200)1/2+0.5(10000100)1/2=100.247 Game 3:EU(w)=0.5(10000+20000)1/2+0.5(1000010000)1/2=56.603,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,期望效用最大化：基数效用假设有三个对象：一根棒棒糖、一个桔子、一个苹果序数效用赋值一：100、50、70序数效用赋值二：5、2、4面临选择：确定性得到苹果和50：50的概率得到棒棒糖和桔子。,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,按序数效用赋值一计算：确定性事件的效用70 赌局的
11、期望效用1/21001/25075按序数效用赋值二计算：确定性事件的效用4 赌局的期望效用1/251/223.5,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,构建基数效用函数在风险事件或赌局中作出选择时，首先对每个奖金赋予一个基数效用值，然后选择期望效用值最大化的赌局。,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,构建基数效用函数,不确定条件下的决策问题：期望效用最大化,效用函数与风险态度,早期常用个人所得的效用函数 u=u(x)的型态来断定个人的风险态度。通常假定u(x)关于x是凹的,即u(x)0,u”(x)0效用函数凹性的经济含义:表示人们对于风险的态度是规避型的。,数量x,效用:u(x),0,由
12、于效用函数是条直线，个体收入的边际效用保持不变。赌局的期望效用等于确定支付的效用。,b,e,a,50,100,U(100),U(0),U(50),确定事件和赌局的期望效用,U,风险中性,数量X,效用:u(x),0,b,100,确定结果带来的效用要比不确定的结果所带来的效用水平高,a,0.5u(0）0.5u(100)赌局的期望效用,e,d,U(50),50,确定事件的效用,风险厌恶,数量X,效用:u(x),0,b,100,由于效用函数的斜率递增，个体收入的边际效用也是递增的。赌局的期望效用比确定支付的效用更高。,a,0.5u(0）0.5u(100)赌局的期望效用,e,d,U(50),50,确定事
13、件的效用,风险爱好,效用函数与风险态度,对所得的偏好,w,U(w),若边际效用递减，则称之为“风险规避者”；如边际效用递增，则称“风险爱好者”；如边际效用为固定常数，则称为“风险中性者”。,RA,RN,RL,示例：EU最大化下的决策,原始所得为100赌局的payoff为（w1,w2;1,2（20,20;0.5,0.5)。（1）若效用函数为Um2，是否接受该赌局？（2）若效用函数为Vm1/2，是否接受该赌局？,（1）U(100)=10,000;EU=0.5(100+20)2+0.5(10020)2=10,400（2）U(100)=10;EU=0.5(100+20)1/2+0.5(10020)1/
14、2=9.95,数量X,效用:u(x),0,U(100),100,a,20美元,e,g,U(20),80,80美元的效用,风险厌恶,20,84,0.2x200.8x100,假设个体有一栋现值100美元的房子，且他觉得可能被烧毁。如烧毁，仅有土地值20美元。从以往经验中可知，房子有20%的可能被烧毁。如果不采取任何措施，现在状态的价值是高度ee代表的效用。,e,g,ee包含的效用正好等于拥有确定的80美元的效用,如果以20美元购买保险，则不管火灾是否发生，个体的最后收入都是80美元。,确定性等值引例,确定性等值与风险帖水,假设一个赌局的支付（payoff）情境如下所示：（w1,w2,wn;1,2,
15、n）则确定性等值（certainty equivalent,CE）满足下列条件：u(CE)=u(g),换言之，确定性等值是一个完全确定的收入量，在此收入水平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平。,确定性等值与风险帖水,w,u,u=u(w),CE：消费者为免除不确定性所愿意接受的确定性最高金额。,R,T,RP：指一个收入额度，当一个完全确定的收入E(g)减去该额度后所产生的效用水平仍等于不确定条件下期望的效用水平,即u(E(g)-P)=u(g)。,确定性等值与风险帖水,m,u,u=u(w),风险贴水指一个完全确定的收入E(g)转化为两个不确定的收入w1,w2时，消费者由于面临风险而付
16、出的代价。,R,T,一个确定的收入E(g)缩小为另一个确定的收入CE，这两个确定的收入之间的差距就是风险贴水。,风险规避者的选择,假设小华的原始所得为，考虑一个公平（fair）的赌局如果输，所得为 w1如果赢，所得为 w2所得期望值=原始所得。,不赌时，拥有确定的所得，效用为，参赌后的预期效用为 EU，因低于不赌时的效用，故不会参赌。所得期望值为 w3 时，小华对于是否参赌并无差异（indifferent），我们称 w3 为确定性当量（certainty equivalent,CE)。,确定性等值与风险帖水,在不同效用函数型态下，消费者的确定性等值（CE）及风险贴水（risk premium,
17、RP）将随之而异。因此有人用RP来衡量个人之风险态度：,示例：EU最大化下的决策,原始所得为100赌局的payoff为（w1,w2;1,2（20,20;0.5,0.5)。（1）若效用函数为Um2，是否接受该赌局？（2）若效用函数为Vm1/2，是否接受该赌局？,（1）U(100)=10,000;EU=0.5(100+20)2+0.5(10020)2=10,400（2）U(100)=10;EU=0.5(100+20)1/2+0.5(10020)1/2=9.95,示例：信息的价值,小华的所得效用函数为 U=11/m，其中m代表终身所得之折现值。如果小华成为老师，m将等于5，且概率为1；如果小华选择当
18、演员，成为影星之概率为0.01，m=400，无法成为明星时的所得为 m=2。如果算命先生对小华的未来命运的预言神准，请问小华最高愿意支付的算命代价（以$P表示之）是多少？,示例：信息的价值,示例：信息的价值,未咨询之前：任教：UT=1 1/5=0.8从影：EUA=0.01(1 1/400)+0.99(1 1/2)0.505故小华会选择任教 假设小华愿意支付的信息费为pEUI=0.01(1 1/(400 P)+0.99(1 1/(5 P)0.8可求出 P 0.0494。,图解说明：U(m)=11/m,0.802,5.0494,咨询前选择从影之预期所得为:0.01(400)+0.99(2)=5.9
19、8，EUA=0.505咨询后之预期所得为:0.01(400)+0.99(5)=8.95，EU=0.802，CE=5.0494P=5.04945=0.0494,确定性等值与风险帖水,示例：假定u(w)=In(w),令单赌赋予赢h和亏h各50%的概率。设消费者原来的资产水平为w。求CE与风险贴水BP.解：原来的资产w0=E(g)为确定的收入水平，不赌不会丢失；参赌：赢的收益为w0+h;输的收益为w0-hg=(0.5（w0+h），0.5（w0-h）In(CE)=In(g)=1/2In(w0+h）+1/2In（w0-h）=In(w0+h）（w0-h）1/2=In(w02-h2)1/2CE=(w02-h
20、2)1/20,确定性等值与风险帖水,有一种彩票，有赢或输两种概率。如赢，获900元，其概率为0.2；如输，只获100元，其概率为0.8。如消费者的效用函数形式为：问消费者愿意出多少钱去买这张彩票？风险贴水BP值是多少？,风险规避系数,风险程度和风险规避程度可以用效用曲线的曲度来反映。度量效用函数曲率的一个可能指标是u”（w），但是它会随着效用函数的正线性变换而改变，即存在度量不唯一的问题。为剔除这种变换的影响，我们可以运用指标：u”（w）/u。,风险规避系数,绝对风险规避函数（absolute risk aversion function）:相对风险规避函数（relative risk ave
21、rsion function）:,R（w）0，代表风险规避的；R（w）0，代表风险爱好的；R（w）=0，代表风险中立的；,风险规避系数,风险规避系数,递增（固定、递减）的绝对风险规避,递增绝对风险规避（IARA）：R(w)0.随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐增强，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富是递增的。固定绝对风险规避（CARA）：R(w)=0，随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减弱，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富是递减的。递减绝对风险规避（DARA）：R(w)0。随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减弱，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富是递减的。
22、,递增（固定、递减）的绝对风险规避,在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为？,递增（固定、递减）的绝对风险规避,保险,不确定条件下的预算约束：根据阿罗与迪布鲁的定义，虽是同一物品，但所处状态不同，应分属两种不同的商品。同一种但在不同状态下提供的商品称为或然商品。我们可以像描述一个消费者面临两种消费品一样来刻画不同状态下两种不同或然品的预算线。,保险,举例说明：假设某人开始拥有价值35000元的资产可能损失其中的10000元（发生概率）该消费者面临的财富的概率分布是：25000元的概率p=0.01;35000元的概率p=0.99,保险,举例说明：如果该消费者决定购买10000元的保险，按
23、1%费率需交纳100元的保险费保险后消费者面临的财富的概率分布是：34900元的概率p=0.01（初始资产35000-损失10000元保险偿付10000元-保险费100元）;34900元的概率p=0.99（资产35000-保险费100元）,保险,举例说明：如果该消费者购买的保险金额为K元,按费率交纳K的保险费保险后消费者面临的财富的概率分布是：财富为25000+K-K 的概率0.01;财富为35000-K的概率0.99,Wb,A(初始禀赋）,wg,35000,25000,B(选择),25000+K-K,35000-K,或然状态下的预算线,A是没投保时两种或然的结果组合B是买了价值为K的财产保险
24、后两种或然结果的组合,保险,预算约束线上每一点的价值（预期值）应该相等，即：P(25000+K-K)+(1-p)(35000-K)=0.9935000+0.0125000预算线的斜率为：,保险,不确定条件下的边际替代率：,保险,最优条件的表述：,“好”状态下消费的价格是1-“坏”状态下消费的价格是,保险,如果保险公司的保险价是公平价，其期望利润应为0：期望利润=K-pK-(1-P)0=0式中：K是保险公司稳获的保险费收入pK为在P的概率下出现灾祸保险公司的赔付，K-pK-(1-P)0=0 则=P,保险,将=P带入下式可得：,当消费者在不确定条件下消费行为达到最优时，必有其在两种状态下的边际效用
25、相等。,保险,保险,举例：考虑汽车保险中的一个示例。某人的一辆汽车，在没有遇上“小偷”时的价值为100000元；如果遇上“小偷”，车子有损失，汽车的价值会下降至80000元。设“遇上小偷”的概率为25%。车主的效用函数形式为InW.问（1）在公平保险价下，他买多少数额的保险才是最优的？（2）保险公司的净赔率为多少？（3）车主按公平保险费投保与不投保相比，其效用水平会有多少改进？,保险,解：1）预算约束为：0.75100000+0.2580000=0.75Wg*+0.25Wb*Wg*=Wb*=95000 初始禀赋（不买保险）时，Wg（好状态下的价值）为100000元，wb（坏状态下的价值）为80
26、00元。为达到最优配置，该车主应使wg降至95000元，使Wg*=95000;同时使Wb上升至95000元，从而要购买2万元价值的财产保险，付出5000元（2万0.25）的保险金。,保险,解：2）净赔率指投保人在遇灾时从保险公司所获净赔额与其所付保险费的比率。本例中，净赔额为1.5万元，保险费为0.5万元，净赔率为3。3）没有保险时，期望效用水平为：0.75In100000+0.25In80000=11.457购买保险后wb*=wg*=95000，效用水平为：0.75In95000+0.25In95000=11.461,例：假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车。该户居民所
27、在地区时常发生盗窃。假定该户居民的效用函数为u(w)=In(w),其中，w表示财富价值。（1）计算该户居民的效用期望值（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？（3）如果该户居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿。试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？（4）在该保险费中“公平”的保险费是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少？,解：（1）效用期望值E(u(w)=0.25In(100000-20000)+0.75In(100000)=11.45(元）（2）u(w)=Inw u(w)=1/w u”(w)=-1/w20 所以该户居民是风险规避的。（3）如果不支付保费的期望效用为11.45；如果购买保费进行风险规避，当支付最高保费时，购买保险与不购买保险无区别。In(100000-R)=11.45 R=5426元（4）公平保费=0.2520000=5000 保险公司扣除公平保费后的纯收入=5426-5000=426元,
