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1、第二章 统计概念,第一节 总体、样本与统计量,第二节 顺序统计量、经验分布函数 和直方图,第三节 抽样分布,第四节 应用案例,第一节 总体、样本与统计量,1 总体与个体,2 样本,3 常用统计量,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.总体（population）,研究对象的全体称为总体，,总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.,总体中每个成员称为个体，,因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.,总体可以用随机变量及其分布来描述.,在实际研究中,我们关心的是总体中的个体的某个或某些指标(如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量).,例1 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总
2、体就可以用随机变量 X 表示，或用其分布函数 F(x)表示.,某批灯泡的寿命,总体,寿命 X 可用一概率（指数）分布来刻划,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，用 X 和Y 分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.,统计中，总体就是一个概率分布.,2.样本（sample）,(1)定义,为了解总体的分布,从总体中随机地取 n 个有代表性的个体 X1,Xn,称 X1,Xn 为总体的一个样本;n 称为样本容量.,在实施抽样之后，得到 n 个实数 x1,xn,它们分别是 X1,Xn 的观测值，称为样本值，有时简称
3、样本.,注:样本的二重性,1.样本是随机变量:X1,X2,Xn,2.样本是一组数值:x1,x2,xn,例.啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为 640 g,由于随机性,事实上不可能使得所有的啤酒净含量均达到标准.现从某厂生产的啤酒中随机地抽取 10 瓶测定其净含量,记为X1，X2，X10，具体结果如下：,641 635 640 637 642 638 645 643 639 640,这是一容量为 10 的样本的观测值,对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量.,最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：,1.随机性：X1,X2,Xn 中每一个与所考察的总体有 相同的分布.,2.独立性：X1,X2
4、,Xn 是相互独立的随机变量.,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以看成是n个相互独立且与总体同分布的随机变量X1,X2,Xn.,(2)简单随机抽样,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn 是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,=F(x1)F(x2)F(xn),若总体 X 的分布函数为 F(x),则其简单随机样本(X1,X2,Xn)的联合分布函数为,若总体 X 为离散型,分布列为,其简单随机样本的联合概率分布列为,若总体 X 为连续型,分布密度为 p(x;),其简单随机样本的联合概率密度函数为,以后统一称为概率函数.,统计是从手中已有的
5、资料 样本值，去推断总体的情况总体分布 F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,注：总体、样本、样本值的关系,3.常用统计量,3.1 定义,3.常用统计量,3.2 样本均值,1、定义：设 X1,X2,Xn 是取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，即：,它反映了总体均值的信息,（2）数据观察值与均值的偏差平方和最小.即对任意常数 c 有,2、性质,（1）把样本中的数据与样本均值的差称为偏差。则样本所有偏差之和为 0.即：,定理 1,3、样本均值的分布,设 X1,X2,Xn 是来自某个总体 X 的样本
6、，,（1）若总体分布为，则,（2）若总体分布未知或不是正态分布，但,则 的渐近分布为。,（大样本场合）,n 取不同值时样本均值的分布,注:,总体：,样本：考虑投掷 n 次，X1,Xn 表示第 i 次投掷情况，,样本均值：,样本值：投掷 100 次后，得到正面的次数为 51 次，,样本均值：,3.常用统计量,3.2 样本方差,1、定义：设 X1,X 2,Xn 是取自某总体的样本，则称,为样本方差，其算术平方根 S 称为样本标准差。,它反映了总体方差的信息,注：定义中的 n 是样本容量,称为偏差平方和,n-1称为自由度.即自由变动的 r.v.的个数.这是由于,在 确定后,n 个偏差 中只有n-1个可以自由变动.,定理 2,设 X1,X 2,Xn 是取自某总体 X 的样本，且 X 具有二阶矩，即,则有,它反映了总体方差的信息,思考题,若总体四阶矩存在，考虑,3.常用统计量,3.3 样本矩,它反映了总体 k 阶原点矩的信息,为样本 k 阶原点矩.,k=1,2,定义：设 X1,X2,Xn 是取自某总体 X 的样本，称统计量,3.常用统计量,3.3 样本矩,为样本 k 阶中心矩.,它反映了总体 k 阶中心矩的信息,称统计量,k=2,3,
