教学课件第四节可逆矩阵与逆矩阵.ppt

上传人:牧羊曲112 文档编号:6289064 上传时间:2023-10-14 格式:PPT 页数:34 大小:742KB
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1、1,第三节 n阶方阵的行列式,1、定义:,设 A=(aij)nn 为 n阶方阵.由A 中,所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的,n阶行列式称为方阵A 的行列式,记作,det A,即,2,方阵与行列式的区别,方阵与行列式是两个不同的概念,,n2 个数按一定方式排成的,n 阶方阵是,所确定的一个数要清楚两者的含义,数表.而 n 阶行列式是按行列式的定义,注:,及记号的区别.,3,2、方阵行列式的性质,(1),设 A,B 均为n 阶方阵,(2),(3),推广:,为同 阶方阵,则,特别地:,4,例1 设,解,求,5,注:,例2 设 其中 是数,求 及,解,一般地,6,4、,退化矩阵:,设 A 为

2、n 阶方阵,若,则称 A是非,若,则称 A是退化,如:,A是非退化矩阵。,退化的或非奇异的;,的或奇异的。,7,第四节 可逆矩阵与逆矩阵,一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质,8,一、逆矩阵的定义,单位阵 具有与数1在数的乘法中类似的性质.,类似地,引入逆矩阵的概念,9,对于n 阶方阵A,如果存在n阶方阵B,,使得,成立,则矩阵A称为可逆矩阵,B 称为A 的,定义:,逆矩阵或逆阵。,的逆矩阵是.,由于 所以 是可逆矩阵,且,例如,说明:,零矩阵不是可逆矩阵。,10,同样,当 都不为零时,由,11,是其逆矩阵.,知对角矩阵 是可逆矩阵,且,一般地,若 都不为零,则对角矩阵,1

3、2,例,因为,即,所以A为可逆矩阵,B 为A 的逆矩阵。,同理 A 也是 B 的逆矩阵,A、B 互为逆矩阵。,13,注:,这是因为:,如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.,所以A的逆矩阵是唯一的.,今后将A的逆矩阵记作.,B、C 都是 A 逆矩阵,则有,即若AB=BA=E,则,14,注1,并不是A的-1次方,不能写成,的形式。,问题,是否所有的方阵都可逆呢?,否则,如何判别矩阵是否可逆?,若A为可逆矩阵,如何求,15,二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法,方阵可逆的必要条件:,命题:,设A可逆,则它有逆矩阵,使得,从而,若A可逆,则,证:,所以,16,伴随矩阵:,称为矩阵A 的伴随矩阵.,注

4、:,问题:,上述必要条件是不是充分的?即若,A一定可逆吗?,17,例1.设,求A 的伴随矩阵.,解:,18,19,例2:,设A 为n阶方阵,是A 的伴随矩阵,计算,20,所以,同理,故有,从而A可逆,且,21,这样我们得到下述定理:,说明:,定理:,n阶方阵A是可逆的充分必要条件是,即A是非退化的,而且,该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法,并且给出了求逆矩阵的一种方法,称之为伴随矩阵法。,22,例3:设,判断A是否可逆?,若可逆,求出,解:,因为,所以A可逆,且,23,因为,所以,24,下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法:,命题:,设A、B为n阶方阵,若,则,A、B 都可逆,且,因为,

5、所以,因此有,故A、B 都可逆,则有,证:,25,说明:,该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法,同时又可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵,问题:,可逆矩阵有哪些性质?,26,若A可逆,则,也可逆,且,性质1:,性质2:,若A可逆,则,也可逆,且,因为,所以,证:,三.性质,27,若A可逆,数,则kA可逆,且,若A、B 都可逆,,则AB 也可逆,且,因为,所以,证:,性质3:,性质4:,28,若n阶方阵,可逆,则,若A可逆,则,因为A可逆,,所以,推广:,证:,性质5:,29,例4:,设方阵A 满足,A 和 A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵。,试证,解:由,再由,30,设线性方程组为,若系数矩阵A 可逆,求,例5,解:,线性方程组的矩阵形式为,因为A可逆,所以,存在且有,31,例6:,设A为n阶方阵,且,求,解:,32,解,例7,设三阶矩阵A、B 满足关系,33,34,作 业,P8220,21,22(2)(5),24,26,27,

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