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1、1,第三节 n阶方阵的行列式,1、定义：,设 A=(aij)nn 为 n阶方阵.由A 中,所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的,n阶行列式称为方阵A 的行列式,记作,det A,即,2,方阵与行列式的区别,方阵与行列式是两个不同的概念，,n2 个数按一定方式排成的,n 阶方阵是,所确定的一个数要清楚两者的含义,数表.而 n 阶行列式是按行列式的定义,注：,及记号的区别.,3,2、方阵行列式的性质,（1）,设 A，B 均为n 阶方阵,（2）,（3）,推广：,为同 阶方阵,则,特别地：,4,例1 设,解,求,5,注：,例2 设 其中 是数,求 及,解,一般地,6,4、,退化矩阵：,设 A 为
2、n 阶方阵,若,则称 A是非,若,则称 A是退化,如：,A是非退化矩阵。,退化的或非奇异的；,的或奇异的。,7,第四节 可逆矩阵与逆矩阵,一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质,8,一、逆矩阵的定义,单位阵 具有与数1在数的乘法中类似的性质.,类似地,引入逆矩阵的概念,9,对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，,使得,成立，则矩阵A称为可逆矩阵，B 称为A 的,定义：,逆矩阵或逆阵。,的逆矩阵是.,由于 所以 是可逆矩阵,且,例如,说明：,零矩阵不是可逆矩阵。,10,同样,当 都不为零时,由,11,是其逆矩阵.,知对角矩阵 是可逆矩阵,且,一般地,若 都不为零,则对角矩阵,1
3、2,例,因为,即,所以A为可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵。,同理 A 也是 B 的逆矩阵,A、B 互为逆矩阵。,13,注：,这是因为:,如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.,所以A的逆矩阵是唯一的.,今后将A的逆矩阵记作.,B、C 都是 A 逆矩阵,则有,即若AB=BA=E,则,14,注1,并不是A的-1次方，不能写成,的形式。,问题,是否所有的方阵都可逆呢？,否则，如何判别矩阵是否可逆？,若A为可逆矩阵，如何求,15,二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法,方阵可逆的必要条件：,命题：,设A可逆,则它有逆矩阵,使得,从而,若A可逆,则,证：,所以,16,伴随矩阵:,称为矩阵A 的伴随矩阵.,注
4、：,问题：,上述必要条件是不是充分的？即若,A一定可逆吗？,17,例1.设,求A 的伴随矩阵.,解:,18,19,例2:,设A 为n阶方阵,是A 的伴随矩阵,计算,20,所以,同理,故有,从而A可逆,且,21,这样我们得到下述定理：,说明：,定理:,n阶方阵A是可逆的充分必要条件是,即A是非退化的,而且,该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。,22,例3：设,判断A是否可逆？,若可逆，求出,解：,因为,所以A可逆，且,23,因为,所以,24,下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：,命题：,设A、B为n阶方阵，若,则，A、B 都可逆，且,因为,
5、所以,因此有,故A、B 都可逆,则有,证：,25,说明：,该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法，同时又可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵,问题：,可逆矩阵有哪些性质？,26,若A可逆，则,也可逆，且,性质1：,性质2：,若A可逆，则,也可逆，且,因为,所以,证：,三.性质,27,若A可逆，数,则kA可逆,且,若A、B 都可逆，,则AB 也可逆，且,因为,所以,证：,性质3：,性质4：,28,若n阶方阵,可逆，则,若A可逆，则,因为A可逆，,所以,推广：,证：,性质5：,29,例4:,设方阵A 满足,A 和 A+2E 都可逆，并求它们的逆矩阵。,试证,解：由,再由,30,设线性方程组为,若系数矩阵A 可逆，求,例5,解：,线性方程组的矩阵形式为,因为A可逆，所以,存在且有,31,例6：,设A为n阶方阵，且,求,解：,32,解,例7,设三阶矩阵A、B 满足关系,33,34,作 业,P8220，21，22(2)(5),24，26，27,
