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1、1,第三节 n阶方阵的行列式,1、定义：,设 A=(aij)nn 为 n阶方阵.由A 中,所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的,n阶行列式称为方阵A 的行列式,记作,det A,即,2,方阵与行列式的区别,方阵与行列式是两个不同的概念，,n2 个数按一定方式排成的,n 阶方阵是,所确定的一个数要清楚两者的含义,数表.而 n 阶行列式是按行列式的定义,注：,及记号的区别.,3,2、性质,（1）,设 A，B 均为n 阶方阵,（2）,（3）,推广：,为同 阶方阵,则,(4),4,例1 设,解,求,5,注：,例2 设 其中 是数,求 及,解,一般地,6,3、,退化矩阵：,设 A 为n 阶方阵,若
2、,则称 A是非,若,则称 A是退化,如：,A是非退化矩阵。,退化的或非奇异的；,的或奇异的。,7,第四节 可逆矩阵与逆矩阵,一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质,8,概念的引入：,单位阵 具有与数1在数的乘法中类似的性质.,类似地,引入逆矩阵的概念,9,对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，,使得,成立，则矩阵A称为可逆矩阵，B 称为A 的,定义：,逆矩阵或逆阵。,说明：,(1)不是任意方阵都是可逆的。如零矩阵不是可逆矩阵。,(2)若方阵A是方阵B的逆阵，则B也是A的逆阵。即A和B互为逆矩阵。,一、逆矩阵的定义,10,这是因为:,(3)如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯
3、一的.,所以A的逆矩阵是唯一的.,将A的逆矩阵记作.,若B、C 都是 A 的逆矩阵,则有,则若A 可逆,就有,注,并不是A的-1次方，不能写成,的形式。,11,当 都不为零时,有,单位阵：,特殊矩阵的逆阵:,对角阵：,12,从而,一般地,若 都不为零,则有,13,例,是否可逆？,问题:,（1）如何判别一个方阵是否可逆？,（2）若A为可逆矩阵，如何求,14,二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法,方阵可逆的必要条件：,命题：,设A可逆,则它有逆矩阵,使得,从而,若A可逆,则,证：,所以,15,伴随矩阵:,称为矩阵A 的伴随矩阵.,注：,问题：,上述必要条件是不是充分的？即若,A一定可逆吗？,若A可逆,
4、如何求A-1？,16,例1.设,求A 的伴随矩阵.,解:,17,18,例2:,设A 为n阶方阵,是A 的伴随矩阵,计算,19,所以,同理,故有,从而A可逆,且,20,这样我们得到下述定理：,说明：,定理:,n阶方阵A是可逆的充分必要条件是,即A是非退化的,而且,该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。,21,例3：设,判断A是否可逆？,若可逆，求出,解：,因为,所以A可逆，且,22,因为,所以,23,下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：,命题：,设A、B为n阶方阵，若,则A、B 都可逆，且,因为,所以,因此有,故A、B 都可逆,则有,证：,2
5、4,说明：,该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法，同时又可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵,例4:,设方阵A、B 满足,A-E 可逆，并求其逆。,试证,解：,25,例5:,设方阵A 满足,A 和 A+2E 都可逆，并求它们的逆矩阵。,试证,解：,26,若A可逆，则,也可逆，且,性质1：,性质2：,若A可逆，则,也可逆，且,因为,所以,证：,三.性质,27,若A可逆，数,则kA可逆,且,若A、B 都可逆，,则AB 也可逆，且,因为,所以,证：,性质3：,性质4：,28,若n阶方阵,可逆，则,若A可逆，则,因为A可逆，,所以,推广：,证：,性质5：,29,例6：,设A为n阶方阵，且,求,解：,30,解,例7,设三阶矩阵A、B 满足关系,31,32,设线性方程组为,若系数矩阵A 可逆，求,例8,解：,线性方程组的矩阵形式为,因为A可逆，所以,存在且有,33,作 业,P8224，27,注：28题之前的习题都可以做！,
